2022-2023學(xué)年河北省邯鄲市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．橢圓的短軸長(zhǎng)是焦距的（

）A．1倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出短軸長(zhǎng)和焦距可得答案.【詳解】因?yàn)?233，所以，，，則，，，，.故橢圓的短軸長(zhǎng)是焦距的倍.故選：B2．已知平面ABC，，，，則空間的一個(gè)單位正交基底可以為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正交基地的定義可知，三個(gè)向量?jī)蓛苫ハ啻怪?，且模長(zhǎng)為1.【詳解】因?yàn)槠矫鍭BC，AB、AC都在面ABC內(nèi)，所以，.因?yàn)椋?，，所以，又SA=1，所以空間的一個(gè)單位正交基底可以為.故選：A3．若數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)遞推公式和首項(xiàng)可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，則，，則.故選：C4．北京永定河七號(hào)橋是豐沙鐵路下行線珠窩站和沿河城站間跨越永定河的鐵路橋，為中國(guó)最大跨度的鋼筋混凝土鐵路拱橋，全長(zhǎng)217.98米，矢高40米，主跨150米，則該拱橋?qū)?yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離約為（

）A．70.3米 B．70.5米 C．70.7米 D．70.9米【答案】A【分析】以拱橋?qū)?yīng)的拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法可求出結(jié)果.【詳解】以拱橋?qū)?yīng)的拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系（橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的單位均為米），依題意可得，設(shè)該拋物線的方程為，將A的坐標(biāo)代入，得,所以該拱橋?qū)?yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離約為70.3米.故選：A5．在等差數(shù)列中已知，，則的前17項(xiàng)和為（

）A．166 B．172 C．168 D．170【答案】D【分析】方法1：由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與等差數(shù)列的等和性計(jì)算可得結(jié)果；方法2：由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】方法1：∵為等差數(shù)列，∴，∴，∴的前17項(xiàng)和為.方法2：∵為等差數(shù)列，設(shè)公差為，∴，解得，∴.故選：D.6．設(shè)A是函數(shù)圖象上一點(diǎn)，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，則函數(shù)的圖象是雙曲線的一部分.因?yàn)?，所以，是雙曲線的焦點(diǎn)，則，又，所以.故選：B7．已知數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，且，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以，則.故選：D8．在四棱錐中，底面ABCD為菱形，底面ABCD，，，則的重心到平面PAD（的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，直接建系，利用法向量，可求解.【詳解】設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，.設(shè)平面PAD的法向量為，則令，得.因?yàn)榈闹匦腉的坐標(biāo)為，即，所以，故點(diǎn)G到平面PAD的距離為.故答案為：C二、多選題9．已知與圓沒有公共點(diǎn)，則的值可以是（

）A． B． C． D．1【答案】BC【分析】根據(jù)兩圓的位置關(guān)系，利用圓心距和半徑之間的關(guān)系即可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑；圓心距，易知兩圓相離或兩圓內(nèi)含；可得或，解得，又，所以且．故選：BC10．某公司超額完成上一年度制定的銷量計(jì)劃，準(zhǔn)備在年終獎(jiǎng)的基礎(chǔ)上再增設(shè)20個(gè)“幸運(yùn)獎(jiǎng)”，隨機(jī)抽取“幸運(yùn)獎(jiǎng)”，按照名次，發(fā)放的獎(jiǎng)金數(shù)由多到少依次成等差數(shù)列.已知第3名對(duì)應(yīng)的“幸運(yùn)獎(jiǎng)”獎(jiǎng)金為1500元，前8名對(duì)應(yīng)的“幸運(yùn)獎(jiǎng)”獎(jiǎng)金共11400元，則（

）A．第1名對(duì)應(yīng)的“幸運(yùn)獎(jiǎng)”獎(jiǎng)金為1600元B．第1名對(duì)應(yīng)的“幸運(yùn)獎(jiǎng)”獎(jiǎng)金為1650元C．該公司共需準(zhǔn)備“幸運(yùn)獎(jiǎng)”獎(jiǎng)金22000元D．該公司共需準(zhǔn)備“幸運(yùn)獎(jiǎng)”獎(jiǎng)金22500元【答案】AD【分析】建立等差數(shù)列模型，設(shè)第1名，第2名，…，第20名所得“幸運(yùn)獎(jiǎng)”獎(jiǎng)金分別為元，元，…，元，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)第1名，第2名，…，第20名所得“幸運(yùn)獎(jiǎng)”獎(jiǎng)金分別為元，元，…，元，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為d，依題意可知，，解得，，則，故第1名對(duì)應(yīng)的“幸運(yùn)獎(jiǎng)”獎(jiǎng)金為1600元，該公司共需準(zhǔn)備“幸運(yùn)獎(jiǎng)”獎(jiǎng)金22500元.故選：AD11．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是C上任意一點(diǎn)（異于左右頂點(diǎn)），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M，N分別為線段，的中點(diǎn)，若四邊形PMON的周長(zhǎng)為6，則（

）A．C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為3 B．C的離心率為C． D．【答案】BCD【分析】A選項(xiàng)，結(jié)合三角形中位線定理，由四邊形PMON的周長(zhǎng)為6，可得；B選項(xiàng)，直接計(jì)算離心率即可；CD選項(xiàng)，利用，可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】A選項(xiàng)，如圖，由，，，可得，，，，則四邊形PMON是平行四邊形，且四邊形PMON的周長(zhǎng)為，則，得橢圓長(zhǎng)軸為.故A錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，則.故B正確；CD選項(xiàng)，因?yàn)镻是C上異于左、右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，所以，，得，，，則，.故CD正確.故選：BCD.12．若不是等比數(shù)列，但中存在互不相同的三項(xiàng)可以構(gòu)成等比數(shù)列，則稱是局部等比數(shù)列.下列數(shù)列中是局部等比數(shù)列的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】對(duì)于ABD，直接取特定項(xiàng)驗(yàn)證即可；對(duì)于C，定義法可證為等比數(shù)列后即可判斷.【詳解】對(duì)于A：若，則，，，由，得，，成等比數(shù)列，因?yàn)椴皇堑缺葦?shù)列，所以是局部等比數(shù)列.故A正確；對(duì)于B：若，則，，，由，得，，成等比數(shù)列，因?yàn)椴皇堑缺葦?shù)列，所以是局部等比數(shù)列.故B正確；對(duì)于C：若，則，則是等比數(shù)列，所以不是局部等比數(shù)列.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，則，，，由，得，，成等比數(shù)列，因?yàn)椴皇堑缺葦?shù)列，所以是局部等比數(shù)列.故D正確.故選：ABD.三、填空題13．若直線的傾斜角為，則直線的傾斜角為______.【答案】【分析】根據(jù)斜率互為相反數(shù)得傾斜角互補(bǔ)即可解決.【詳解】因?yàn)橹本€與直線的斜率互為相反數(shù)，所以它們的傾斜角互補(bǔ)，所以直線的傾斜角為.故答案為：14．在正方體中，，，則異面直線BE與所成角的余弦值為______.【答案】【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得，，利用空間向量的夾角公式可求出結(jié)果.【詳解】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，因?yàn)椋?，所以，，所以，，所以，故異面直線BE與所成角的余弦值為.故答案為：15．若數(shù)列是等比數(shù)列且，，，則______.【答案】【分析】求出等比數(shù)列的公比后，得的通項(xiàng)公式，再用累加法可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，則，當(dāng)時(shí)，.因?yàn)橐策m合上式，所以.故答案為：.四、雙空題16．直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)作軸的垂線，垂足分別為，，則的最小值為______，此時(shí)______.【答案】

【分析】聯(lián)立直線方程與拋物線方程，從而利用韋達(dá)定理得到，再利用基本不等式求解即可.【詳解】聯(lián)立與，得，則，，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，，即，或，時(shí)，等號(hào)成立，所以，此時(shí)，解得.故答案為：；.五、解答題17．經(jīng)過點(diǎn)且與直線相切的圓C的圓心在直線上.(1)求圓C的方程；(2)直線l：與圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若，求k.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)圓心，半徑為，根據(jù)圓心在直線上，得，再根據(jù)直線與圓相切列式求出可得圓C的方程；（2）由，得，得點(diǎn)C到l的距離為，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列式可求出.【詳解】（1）設(shè)圓心，半徑為，因?yàn)閳A心在直線上，所以，即，，因?yàn)閳AC與直線相切，所以，又圓C經(jīng)過點(diǎn)，所以，則，整理得，解得，則圓心，半徑，故圓C的方程為.（2）因?yàn)椋?設(shè)點(diǎn)C到l的距離為d，則，又，則，解得.18．在等差數(shù)列中，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若的公差大于0，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件求出公差，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出結(jié)果；（2）討論的奇偶，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋?，設(shè)公差為d，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，綜上所述：或.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，，故.19．已知橢圓的離心率為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率求法解決即可；（2）得，運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）由題知，橢圓的離心率為，設(shè)橢圓的焦距為，因?yàn)椋?，，又因?yàn)椋?，所以，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，，所以，所以，所以，所以.所以數(shù)列的前項(xiàng)和.20．如圖，在直三棱柱中，，，且二面角為為45°.(1)求棱AC的長(zhǎng)；(2)若D為棱的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的正切值.【答案】(1)2(2)【分析】（1）由圖及題意可得是二面角的平面角，后可得棱AC的長(zhǎng)；（2）建立以C為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法可得答案.【詳解】（1）因平面ABC，平面ABC，則.又，，平面，平面，則平面.又平面，則，故是二面角的平面角，則.又，則.（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.可得，，，.設(shè)平面的法向量為，則，取，得.設(shè)平面的法向量為，則，取，得由，得平面與平面的夾角為60°，故平面與平面的夾角的正切值為.21．在數(shù)列中，，且.(1)證明：，都是等比數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式；(3)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和，并比較與的大?。弧敬鸢浮?1)證明見解析(2)(3)，【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義證明；（2）根據(jù)數(shù)列為等比數(shù)列，可寫出通項(xiàng)；（3）利用裂項(xiàng)相消和分組求和，求數(shù)列的前n項(xiàng)和，根據(jù)結(jié)果比較與的大小.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，且，所以?因?yàn)?，所以，，則是首項(xiàng)為16公比為16的等比數(shù)列，是首項(xiàng)為4公比為16的等比數(shù)列；（2）則，都是公比為16的等比數(shù)列，且，所以是首項(xiàng)為4，公比也為4的等比數(shù)列，故；（3）因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，所?【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)在數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列的通項(xiàng)經(jīng)過化簡(jiǎn)后，分母是，即的模型，分子則配成的形式，從而達(dá)到裂項(xiàng)并且能夠相消的目的.22．已知雙曲線C：的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，P是直線l：上一點(diǎn)，且P不在x軸上，以點(diǎn)P為圓心，線段PF的長(zhǎng)為半徑的圓弧AF交C的右支于點(diǎn)N.(1)證明：；(2)若直線PF與C的左、右兩支分別交于E，D兩點(diǎn)，過E作l的垂線，垂足為R，試判斷直線DR是否過定點(diǎn).若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)是，【分析】（1）過N作l的垂線，垂足為H，且與圓弧AF交于點(diǎn)M，則，結(jié)合圓的知識(shí)可得，，設(shè)點(diǎn)，則，由，可得，即得，由相等弦長(zhǎng)所對(duì)的圓心角相等，得，進(jìn)而求解；（2）設(shè)直線PF的方程為，由題意可得，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理可得，，由題知，直線DR的方程為，令，化簡(jiǎn)即可求解.【詳解