山東省濱州市2023屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)模擬試題2023.3一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位，則z的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．3．在平行四邊形中，設(shè)為線段上靠近的三等分點，為線段上靠近的三等分點，，，則向量（

）A． B． C． D．4．《九章算術(shù)》卷5《商功》記載一個問題“今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.問積幾何？答曰：二千一百一十二尺.術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.這里所說的圓堡瑽就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一”.就是說：圓堡瑽（圓柱體）的體積為(底面圓的周長的平方高)，則由此可推得圓周率的取值為A． B． C． D．5．從名大學(xué)畢業(yè)生中選人擔(dān)任村長助理，則甲、乙至少有人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，直線為的圖象的一條對稱軸，且在上單調(diào)，則下列結(jié)論正確的是A．的最小正周期為B．為的一個零點C．在上的最小值為D．的單調(diào)遞增區(qū)間為7．已知則之間的大小關(guān)系是A． B． C． D．無法比較8．已知，在區(qū)間上存在三個不同的實數(shù)，使得以為邊長的三角形是直角三角形，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題9．如圖，正方體的棱長為1，則下列四個命題正確的是（

）A．兩條異面直線和所成的角為B．直線與平面所成的角等于C．點D到面的距離為D．三棱柱外接球半徑為10．已知曲線在點處的切線為，且與曲線也相切．則（

）A．B．存在的平行線與曲線相切C．任意，恒成立D．存在實數(shù)，使得任意恒成立11．已知拋物線的焦點為F，準線為l，過拋物線C上一點P作的垂線，垂足為Q，則下列說法正確的是（

）A．準線l的方程為B．若過焦點F的直線交拋物線C于兩點，且，則C．若，則的最小值為3D．延長交拋物線C于點M，若，則12．定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則有(

)A．為奇函數(shù) B．存在非零實數(shù)a，b，使得C．為增函數(shù) D．三、填空題13．若的展開式中二項式系數(shù)之和為32，則的展開式中的系數(shù)為_________．14．兩圓x2+y2+6x-4y+9=0和x2+y2-6x+12y-19=0的位置關(guān)系是___________________.15．已知函數(shù)，則其在處的切線方程為（填寫一般式方程）____________；16．已知橢圓，的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與交于，兩點，的周長是13，則_____．四、解答題17．已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足，．（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．18．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若，求．19．已知菱形的邊長為2，，對角線、交于點O，平面外一點P在平面內(nèi)的射影為O，與平面所成角為30°.（1）求證：；（2）點N在線段上，且，求的值.20．第24屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月4日開幕，觀眾可以通過中央電視臺綜合頻道觀看比賽實況．某機構(gòu)對某社區(qū)群眾每天觀看比賽的情況進行調(diào)查，將每天觀看比賽時間超過3小時的人稱為“冬奧迷”，否則稱為“非冬奧迷”，從調(diào)查結(jié)果中隨機抽取50份進行分析，得到數(shù)據(jù)如表所示：冬奧迷非冬奧迷總計男2026女14總計50(1)補全列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為是否為“冬奧迷”與性別有關(guān)？(2)現(xiàn)從抽取的“冬奧迷”人群中，按性別采用分層抽樣的方法抽取6人，然后從這6人中隨機抽取2人，記這2人中男“冬奧迷”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，其中．0.0500.0100.0013.8416.63510.82821．如圖,為坐標原點,橢圓的左右焦點分別為,離心率為;雙曲線的左右焦點分別為,離心率為,已知,且.(1)求的方程;(2)過點作的不垂直于軸的弦,為的中點,當(dāng)直線與交于兩點時,求四邊形面積的最小值.22．已知函數(shù).(1)試確定的取值范圍，使得函數(shù)在（）上為單調(diào)函數(shù)；(2)若為自然數(shù)，則當(dāng)取哪些值時，方程在上有三個不相等的實數(shù)根，并求出相應(yīng)的實數(shù)的取值范圍.山東省濱州市2023屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)模擬試題2023.3一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解出不等式，求出值域，分別得到集合，即可求解.【詳解】依題意，，故.故選:A.【點睛】此題考查解不等式和求函數(shù)的值域，并求不等式解集與函數(shù)值域的交集.2．已知復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位，則z的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算公式求復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再求其共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】，所以z的共軛復(fù)數(shù)為，故選：B.3．在平行四邊形中，設(shè)為線段上靠近的三等分點，為線段上靠近的三等分點，，，則向量（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出圖形，利用平面向量加法的三角形法則可得出關(guān)于、的表達式.【詳解】如下圖所示：，，則.故選：B.4．《九章算術(shù)》卷5《商功》記載一個問題“今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.問積幾何？答曰：二千一百一十二尺.術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.這里所說的圓堡瑽就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一”.就是說：圓堡瑽（圓柱體）的體積為(底面圓的周長的平方高)，則由此可推得圓周率的取值為A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)圓柱體的底面半徑為，高為，由圓柱的體積公式得體積為：.由題意知.所以，解得.故選A.5．從名大學(xué)畢業(yè)生中選人擔(dān)任村長助理，則甲、乙至少有人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別在甲、乙有且僅有人入選和甲、乙人都入選的情況下確定選法種數(shù)，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可求得結(jié)果.【詳解】甲、乙有且僅有人入選、丙沒有入選的情況有：種；甲、乙人都入選、丙沒有入選的情況有：種；甲、乙至少有人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)有種.故選：C.6．已知函數(shù)，直線為的圖象的一條對稱軸，且在上單調(diào)，則下列結(jié)論正確的是A．的最小正周期為B．為的一個零點C．在上的最小值為D．的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】D【分析】利用的對稱軸和在區(qū)間上的單調(diào)性，求得的值，進而求得的最小正周期，判斷出點的零點、單調(diào)區(qū)間以及在區(qū)間上的最小值，由此確定正確選項.【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)，所以，得.又直線為的圖象的對稱軸，所以，得，所以.的最小正周期為，故A錯誤；，故B錯誤；當(dāng)時，，則的最小值為0，故C錯誤；令，解得，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，故D正確.故選：D【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.7．已知則之間的大小關(guān)系是A． B． C． D．無法比較【答案】A【分析】根據(jù)題意，可設(shè)，表示出，，然后再計算出和的值，進而可比較和的大小，從而可得答案.【詳解】設(shè)，則，.∴，∵∴，即.故選A.【點睛】本題考查數(shù)的大小的比較，解答本題的關(guān)鍵是通過題設(shè)構(gòu)造新函數(shù)，再去求出和的值.8．已知，在區(qū)間上存在三個不同的實數(shù)，使得以為邊長的三角形是直角三角形，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出，，由題意轉(zhuǎn)化為，解不等式即可.【詳解】，則，令可得或.所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，則.又，所以.∵在區(qū)間上存在三個不同的實數(shù)，使得以為邊長的三角形是直角三角形，∴，即，解得.又已知，∴．故選：D．二、多選題9．如圖，正方體的棱長為1，則下列四個命題正確的是（

）A．兩條異面直線和所成的角為B．直線與平面所成的角等于C．點D到面的距離為D．三棱柱外接球半徑為【答案】BCD【分析】對于A：根據(jù)異面直線的求法易得：異面直線和所成的角為∠；對于B：可證平面，則直線與平面所成的角為；對于C：根據(jù)等體積轉(zhuǎn)換，求點D到面的距離；對于D：三棱柱的外接球即為正方體的外接球，直接求正方體外接球的半徑即可．【詳解】連接、∵∥且，則四邊形為平行四邊形，∴異面直線和所成的角為∠∵，則△為正三角形，即∠A不正確；連接在正方形中，∵平面，平面∴，則平面∴直線與平面所成的角為B正確；根據(jù)等體積轉(zhuǎn)換可知：即，則C正確；三棱柱的外接球即為正方體的外接球則外接球的半徑即為正方體體對角線的一半，即D正確；故選：BCD．10．已知曲線在點處的切線為，且與曲線也相切．則（

）A．B．存在的平行線與曲線相切C．任意，恒成立D．存在實數(shù)，使得任意恒成立【答案】AC【分析】由得，求出切線，與聯(lián)立，由可得，由此判斷A；由反證法可判斷B；構(gòu)造函數(shù)，通過研究其最小值和極限可判斷C和D.【詳解】對于選項A：由得，所以，則，所以切線的斜率為，所以切線的方程為.又直線也與相切，聯(lián)立得，由得，故A正確；對于選項B：假設(shè)存在與平行的直線與曲線相切于點，則，顯然.令（）,則，所以當(dāng)時，即單調(diào)遞增，又，所以，即與重合，這與與平行矛盾，故B錯誤；對于選項C：構(gòu)造函數(shù)（），則，由得.當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.所以.所以對，即恒成立.故C正確；對于選項D：因為在上單調(diào)遞增，又時，，所以不存在實數(shù)，使得即對任意恒成立.故D錯誤.故選：AC.11．已知拋物線的焦點為F，準線為l，過拋物線C上一點P作的垂線，垂足為Q，則下列說法正確的是（

）A．準線l的方程為B．若過焦點F的直線交拋物線C于兩點，且，則C．若，則的最小值為3D．延長交拋物線C于點M，若，則【答案】ACD【分析】由拋物線標準方程結(jié)合拋物線的性質(zhì)，即可求焦點坐標、準線方程、焦點弦長、拋物線上的點到焦點和定點距離之和的最小值等.【詳解】因為拋物線C的方程為，所以，所以準線l的方程為，A正確；由題意可知焦點弦長，B錯誤；由拋物線C上的點到焦點F與到準線的距離相等可知，所以當(dāng)Q，P，E三點共線時，取得最小值，即為點E到準線的距離，所以最小值為3，C正確；如圖所示，不妨設(shè)P在第一象限，過P作軸于點H，過M作軸于點N，過M作準線的垂線，垂足為D，設(shè)準線與x軸的交點為G，則，，易知，則有，即，解得，則，D正確，故選：ACD.12．定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則有(

)A．為奇函數(shù) B．存在非零實數(shù)a，b，使得C．為增函數(shù) D．【答案】ABC【分析】對于A，對適當(dāng)賦值即可判斷；對于B，利用奇偶性和單調(diào)性轉(zhuǎn)化為方程有解的問題進行判斷；對于C，利用定義法進行判斷；對于D，利用賦值法和單調(diào)性判斷.【詳解】令，得，所以；令，得，故，為奇函數(shù)，故A正確;任取，則，因為，故，，，故為增函數(shù)，所以C正確；，所以D錯誤；，所以，則，，當(dāng)，，所以存在，使得，所以B正確.故選：ABC.三、填空題13．若的展開式中二項式系數(shù)之和為32，則的展開式中的系數(shù)為_________．【答案】【分析】由二項式系數(shù)之和公式求得，結(jié)合二項式展開式通項公式即可得到的系數(shù)【詳解】由的展開式中二項式系數(shù)之和為32得，，故，的展開式通項為，故的項為，，即，故答案為：14．兩圓x2+y2+6x-4y+9=0和x2+y2-6x+12y-19=0的位置關(guān)系是___________________.【答案】外切【分析】先把兩個圓的方程變?yōu)闃藴史匠蹋謩e得到圓心坐標和半徑，然后利用兩點間的距離公式求出兩個圓心之間的距離與半徑比較大小來判別得到這兩個圓的位置關(guān)系．【詳解】由x2+y2+6x-4y+9=0得：（x+3）2+（y-2）2=4，圓心O（-3，2），半徑為r=2；由x2+y2-6x+12y-19=0得：（x-3）2+（y+6）2=64，圓心P（3，-6），半徑為R=8．則兩個圓心的距離，所以兩圓的位置關(guān)系是：外切．即答案為外切【點睛】本題考查學(xué)生會利用兩點間的距離公式求兩點的距離，會根據(jù)兩個圓心之間的距離與半徑相加相減的大小比較得到圓與圓的位置關(guān)系．15．已知函數(shù)，則其在處的切線方程為（填寫一般式方程）____________；【答案】【分析】根據(jù)，求導(dǎo)，再求得，寫出切線方程.【詳解】因為，所以，所以，所以在處的切線方程為，即.故答案為：【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.16．已知橢圓，的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與交于，兩點，的周長是13，則_____．【答案】6【分析】由題意可知為等邊三角形，為線段的垂直平分線，利用定義轉(zhuǎn)化的周長為4a，即可求出a，b，c，設(shè)的方程為，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理，根據(jù)弦長公式求解即可.【詳解】如圖，連接，因為的離心率為，所以，即，所以，因為，所以為等邊三角形，又，所以直線為線段的垂直平分線，所以，，則的周長為，，而，所以直線的方程為，代入橢圓的方程，得，設(shè)，，則，所以，故答案為：6.四、解答題17．已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足，．（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由等差數(shù)列的基本量運算求得公差和首項可得通項公式；（2）求出，用裂項相消法求得和．【詳解】（1）設(shè)的公差為，則，解得，所以；（2）由（1），所以．18．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若，求．【答案】(1)(2)【分析】(1)用誘導(dǎo)公式和平方關(guān)系化簡成含余弦的二次方程，然后可解；(2)用正弦定理邊換角，結(jié)合(1)中結(jié)論可解.(1)因為，整理得，解得．因為，所以．(2)由（1）知，．因為，所以，整理得．因為，所以，所以，即所以．19．已知菱形的邊長為2，，對角線、交于點O，平面外一點P在平面內(nèi)的射影為O，與平面所成角為30°.（1）求證：；（2）點N在線段上，且，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）由面得，然后證明出面即可（2）由面得與平面所成角為，然后利用算出點D到平面的距離為，然后利用即可算出答案.【詳解】（1）由題意面，∴，菱形中，，又，則面，所以；（2）因為面，所以與平面所成角為，又菱形邊長為2，，所以，，，，.所以，.設(shè)，點D到平面的距離為由得，即，解得所以D到平面的距離也為.所以.所以.【點睛】常用等體積法求點到平面的距離.20．第24屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月4日開幕，觀眾可以通過中央電視臺綜合頻道觀看比賽實況．某機構(gòu)對某社區(qū)群眾每天觀看比賽的情況進行調(diào)查，將每天觀看比賽時間超過3小時的人稱為“冬奧迷”，否則稱為“非冬奧迷”，從調(diào)查結(jié)果中隨機抽取50份進行分析，得到數(shù)據(jù)如表所示：冬奧迷非冬奧迷總計男2026女14總計50(1)補全列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為是否為“冬奧迷”與性別有關(guān)？(2)現(xiàn)從抽取的“冬奧迷”人群中，按性別采用分層抽樣的方法抽取6人，然后從這6人中隨機抽取2人，記這2人中男“冬奧迷”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，其中．0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析，沒有99%的把握認為是否為“冬奧迷”與性別有關(guān)(2)分布列見解析，【分析】（1）由題完善列聯(lián)表計算查表可得解（2）由（1）利用分層抽樣確定6人中男“冬奧迷”與女“冬奧迷”的人數(shù)，根據(jù)超幾何分布寫分布列和計算數(shù)學(xué)期望(1)解：（1）補全的列聯(lián)表如下：冬奧迷非冬奧迷總計男20626女101424總計302050，（關(guān)鍵：根據(jù)“是否有99%的把握”，在臨界值表中查找對應(yīng)的值與觀測值進行比較）所以沒有99%的把握認為是否為“冬奧迷”與性別有關(guān)．(2)由（1）知抽取的“冬奧迷”有30人，其中男“冬奧迷”有20人，女“冬奧迷”有10人，由分層抽樣的知識知抽取的6人中，男“冬奧迷”有4人，女“冬奧迷”有2人，則的所有可能取值為0，1，2，，，，所以的分布列為012（提示：注意利用分布列中的各個概率之和為1檢驗所得分布列是否正確）所以．21．如圖,為坐標原點,橢圓的左右焦點分別為,離心率為;雙曲線的左右焦點分別為,離心率為,已知,且.(1)求的方程;(2)過點作的不垂直于軸的弦,為的中點,當(dāng)直線與交于兩點時,求四邊形面積的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】試題分析:(1)利用橢圓和雙曲線之間的關(guān)系可以用分別表示雙曲線和橢圓的離心率和焦點,由題目和即可得到之間的兩個方程,聯(lián)立方程消元即可求出的值,得到雙曲線和橢圓的標準方程.(2)利用(1)求出焦點的坐標,設(shè)出弦的直線的方程,聯(lián)立直線與橢圓消得到關(guān)于的一元二次方程,再利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩點縱坐標之間的和與積,進而得到點的縱坐標帶入AB直線即可得到的橫坐標,進而求出直線的方程,即為直線的方程,聯(lián)立直線的方程得到的取值范圍和求出點的坐標得到的長度,利用點到直線的距離得到到直線的距離表達式,進而用表示四邊形的面積,利用不等式的性質(zhì)和的取值范圍即可得到面積的最小值.(1)由題可得,且,因