2023屆福建省石獅市永寧中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)摸底考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：,,故選D.【解析】復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)相關(guān)的概念.2．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】先求出集合，再利用集合的交集運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以．故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算.屬于容易題.3．如圖1，《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“折竹抵地”問題:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，問折者高幾何?意思是:有一根竹子,原高一丈（1丈=10尺）,現(xiàn)被風(fēng)折斷，尖端落在地上，竹尖與竹根的距離三尺，問折斷處離地面的高為尺.

A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，已知，，

∴，解得

，∴，解得

.∴折斷后的竹干高為4.55尺故選B.4．的展開式中的系數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先寫出展開式通項(xiàng)，然后令的指數(shù)部分為，由此求解出的值，則項(xiàng)的系數(shù)可求.【詳解】由二項(xiàng)展開式知其通項(xiàng)為，令，解得.所以的系數(shù)為.故選：B.5．已知向量，且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算，代入化簡即可得解.【詳解】向量，且，則，所以，則，即.故選：A6．兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件.加工為一等品的概率分別為和，兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，分析可得，這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品包含僅第一個(gè)實(shí)習(xí)生加工一等品與僅第二個(gè)實(shí)習(xí)生加工一等品兩種互斥的事件，而兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，進(jìn)而由互斥事件與獨(dú)立事件的概率計(jì)算可得答案．【詳解】記兩個(gè)零件中恰好有一個(gè)一等品的事件為A，即僅第一個(gè)實(shí)習(xí)生加工一等品為事件，僅第二個(gè)實(shí)習(xí)生加工一等品為事件兩種情況，則，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率與互斥事件的概率加法公式，解題前，注意區(qū)分事件之間的相互關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.7．已知函數(shù)，為了得到的圖象，只需把的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向右平移個(gè)單位長度 D．向左平移個(gè)單位長度【答案】D【分析】由于，由此根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律得出結(jié)論．【詳解】，故把函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度，即可得到的圖象．故選：D.8．拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，其周長為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】由已知結(jié)合拋物線的定義可得，垂直的準(zhǔn)線于，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于，通過解直角三角形，求出等邊三角形的邊長；或設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，利用，即可求出結(jié)論.【詳解】方法一、因?yàn)闉榈冗吶切危源怪钡臏?zhǔn)線于，軸，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于，，所以的周長為；方法二、因?yàn)闉榈冗吶切?，，所以垂直的?zhǔn)線于，設(shè)，則，所以，又因?yàn)?，且，所以，解得，所以，所以的周長為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的概念與性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，注意定義在解題中的應(yīng)用，屬于中檔題.二、多選題9．下圖為某地區(qū)2008年2020年地方財(cái)政預(yù)算內(nèi)收入?城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄年末余額折線圖.根據(jù)該折線圖可知，該地區(qū)2008年2020年（

）A．財(cái)政預(yù)算內(nèi)收入?城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄年末余額均呈增長趨勢B．財(cái)政預(yù)算內(nèi)收入?城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄年末余額的逐年增長速度相同C．財(cái)政預(yù)算內(nèi)收入年平均增長量高于城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄年末余額年平均增長量D．城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄年末余額與財(cái)政預(yù)算內(nèi)收入的差額逐年增大【答案】AD【分析】根據(jù)折線圖，觀察圖象的變化情況，逐項(xiàng)分析即可得出答案.【詳解】由圖可以看出兩條曲線均在上升，選項(xiàng)正確；圖中兩曲線間隔越來越大，說明年增長速度不同，差額逐年增大，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確；又從圖中可以看出財(cái)政預(yù)算內(nèi)收入年平均增長量應(yīng)該小于城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄年末余額年平均增長量，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.故選：AD10．已知函數(shù)，則（

）A．定義域?yàn)?B．值域?yàn)镃．在的切線方程為 D．與只有一個(gè)交點(diǎn)【答案】AC【分析】對A、B：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義域和值域分析判斷；對C：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析運(yùn)算；對D：構(gòu)建，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而可以判斷與的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】對A：定義域?yàn)椋珹正確；對B：∵，則，即值域?yàn)?，B錯(cuò)誤；對C：∵，則，可得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，故切線方程為，C正確；對D：構(gòu)建，則，令，則，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，且，故在內(nèi)均存在零點(diǎn)，即與有兩個(gè)交點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選：AC.11．已知雙曲線過點(diǎn)且漸近線為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的方程為 B．的離心率為C．的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1 D．直線與只有一個(gè)交點(diǎn)【答案】ACD【分析】由雙曲線的漸近線，設(shè)出雙曲線方程，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)，求出雙曲線方程可判斷A；求出離心率可判斷B；求出焦點(diǎn)到漸近線的距離可判斷C；聯(lián)立直線與雙曲線方程解方程組可判斷D．【詳解】由雙曲線的漸近線方程為，可設(shè)雙曲線方程為，把點(diǎn)代入，得，解得，則雙曲線的方程為，故A正確；由，得，則雙曲線的離心率為，故B錯(cuò)誤；雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，故C正確；聯(lián)立方程，解得，，則直線與只有一個(gè)交點(diǎn)，故D正確.故選：ACD.12．函數(shù)的定義域?yàn)镽，且與都為奇函數(shù)，則A．為奇函數(shù) B．為周期函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)【答案】ABC【分析】利用與都為奇函數(shù)，可知是以2為周期的函數(shù).從而得到結(jié)果.【詳解】由與都為奇函數(shù)知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)，對稱，所以，，所以，即所以是以2為周期的函數(shù).又與都為奇函數(shù)，所以，均為奇函數(shù).故選ABC.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的對稱性與周期性，考查推理能力，屬于中檔題.三、填空題13．已知，則__________________．【答案】【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化弦為切，再將代入即可求解.【詳解】，故答案為：.14．是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是____________.【答案】【分析】利用相關(guān)點(diǎn)法求點(diǎn)的軌跡方程，設(shè)，用點(diǎn)表示點(diǎn)，代入圓C即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，解得，即，則，整理得，故點(diǎn)的軌跡方程是.故答案為：.四、雙空題15．已知籃球運(yùn)動(dòng)員投三分球命中率為，且每次投籃是否命中相互獨(dú)立，若連續(xù)3次三分線外投籃，記命中次數(shù)為，得分為，則_____，_____.【答案】

1

6【分析】由題意可得滿足二項(xiàng)分布，然后利用二項(xiàng)分布的均值和方差公式進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】由題意可得滿足二項(xiàng)分布，所以，，由于，所以故答案為：1；6五、填空題16．在三棱錐中，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為____________.【答案】##【分析】根據(jù)題意分析可知二面角的平面角為，進(jìn)而可確定的形狀，根據(jù)外接球的性質(zhì)確定的外接球的球心所在位置，進(jìn)而可求半徑和面積.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，∵，則，且，∴二面角的平面角為，故為等邊三角形，即，則，∵，則，設(shè)的外接圓圓心分別為，半徑為，則，即，故在的延長線上，同理的外接圓圓心分別為在的延長線上，∵平面，∴平面，且平面，平面，故平面平面，平面平面，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，連接，則平面，平面，故平面，連接，則，可得，則三棱錐的外接球的半徑，故三棱錐的外接球的表面積.故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）球的任何截面均為圓面；（2）球心和截面圓心的連線垂直于該截面，故外接球的球心位于過底面的外心的垂線上.六、解答題17．在銳角△中角所對的邊分別為，且.(1)求角的大??；(2)若△面積為，求邊的最小值.【答案】(1)(2)2【分析】（1）利用正弦定理，結(jié)合角范圍求解即可；（2）根據(jù)三角形面積公式得，利用余弦定理得，利用基本不等式即可求出得最小值.【詳解】（1）由正弦定理得，，因?yàn)?，故，又因?yàn)殇J角，,.（2）由題意得，則，由余弦定理得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故.18．已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）由題意可得，即，解得：，∴，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2），==．19．為抗擊新型冠狀病毒，普及防護(hù)知識(shí)，某校開展了“疫情防護(hù)”網(wǎng)絡(luò)知識(shí)競賽活動(dòng).現(xiàn)從參加該活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，將他們的比賽成績（滿分為100分）分為6組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求的值，并估計(jì)這100名學(xué)生的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）在抽取的100名學(xué)生中，規(guī)定：比賽成績不低于80分為“優(yōu)秀”，比賽成績低于80分為“非優(yōu)秀”.請將下面的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”？優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)男生40女生50合計(jì)100參考公式及數(shù)據(jù)：.0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828【答案】（1），74.5分；（2）表格見解析，有【解析】（1）根據(jù)頻率和為1，求出，按照平均數(shù)公式，即可求解；（2）由頻率直方圖求出，在抽取的100名學(xué)生中，比賽成績優(yōu)秀的人數(shù)，補(bǔ)全列聯(lián)表，求出的觀測值，結(jié)合提供數(shù)據(jù)，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題可得，解得.因?yàn)?，所以估?jì)這100名學(xué)生的平均成績?yōu)?4.5分（2）由（1）知，在抽取的100名學(xué)生中，比賽成績優(yōu)秀的有人，由此可得完整的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)男生女生合計(jì)∵的觀測值，∴有的把握認(rèn)為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”.【點(diǎn)睛】本題主要考查概率與統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.20．在底面為菱形的四棱柱中，平面.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）由已知可證，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)已知可證平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求出坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面和平面的法向量坐標(biāo)，由空間向量的二面角公式，即可求解.【詳解】方法一：（1）依題意，且∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）∵平面，∴，∵且為的中點(diǎn)，∴，∵平面且，∴平面，以為原點(diǎn)，分別以為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴設(shè)平面的法向量為，則，∴，取，則.設(shè)平面的法向量為，則，∴，取，則.∴，設(shè)二面角的平面角為，則，∴二面角的正弦值為.方法二：（1）證明：連接交于點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以為中點(diǎn)，又因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以為中點(diǎn)，∴在中，且，∵平面，平面，∴平面（2）略，同方法一.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的證明，考查空間向量法求面面角，意在考查直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，屬于中檔題.21．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，上頂點(diǎn)為，是上的一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.(1)求的方程；(2)若直線與交于另一點(diǎn)，直線分別與軸交于點(diǎn)，試判斷是否為定值.【答案】(1)(2)是定值，【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，即可得結(jié)果；（2）設(shè)，求點(diǎn)的坐標(biāo)，代入結(jié)合韋達(dá)定理分析運(yùn)算.【詳解】（1）由題意可得：，解得，故橢圓的方程.（2）由（1）可得，由題意可知：直線的斜率為存在，設(shè)為，則直線，聯(lián)立方程，消去得，則，解得或，且直線的方程為，令，解得，即，同理可得，則，故（定值）.【點(diǎn)睛】方法定睛：求解定值問題的三個(gè)步驟（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．22．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值點(diǎn)；(2)當(dāng)時(shí),當(dāng)函數(shù)恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見詳解(2)【分析】（1）求導(dǎo)，分情況討論原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得極值；（2）求導(dǎo)，分情況討論原函數(shù)的單調(diào)性，注意到，并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷在上的零點(diǎn)，進(jìn)而求在上的零點(diǎn)，即可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意可得：，且的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)恒成立，故在內(nèi)單調(diào)遞增，即無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則有極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)；綜上所述：當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn).（2）由題意可得：，且的定義域?yàn)?，則，∵，構(gòu)建，則的開口向下，對稱軸，當(dāng)，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)恒成立，故在內(nèi)單調(diào)遞減，則在定義域內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)，即時(shí)，設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)為，不妨設(shè)，則有：，可得，令，則，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減