宜賓市四中高2020級(jí)高三二診模擬考試數(shù)學(xué)（理工類）注意事項(xiàng)：答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．考試結(jié)束后，請將答題卡交回。第=1\*ROMANI卷選擇題（60分）一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則=A． B． C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則A． B． C． D．3．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則=.A．90 B．125 C．155 D．1804．采購經(jīng)理指數(shù)（PMI），是通過對企業(yè)采購經(jīng)理的月度調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)匯總、編制而成的指數(shù)，它涵蓋了企業(yè)采購、生產(chǎn)、流通等各個(gè)環(huán)節(jié)，包括制造業(yè)和非制造業(yè)領(lǐng)域，是國際上通用的檢測宏觀經(jīng)濟(jì)走勢的先行指數(shù)之一，具有較強(qiáng)的預(yù)測、預(yù)警作用．制造業(yè)PMI高于時(shí)，反映制造業(yè)較上月擴(kuò)張；低于，則反映制造業(yè)較上月收縮．下圖為我國2021年1月—2022年6月制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖分析，下列結(jié)論最恰當(dāng)?shù)囊豁?xiàng)為A．2021年第二、三季度的各月制造業(yè)在逐月收縮B．2021年第四季度各月制造業(yè)在逐月擴(kuò)張C．2022年1月至4月制造業(yè)逐月收縮D．2022年6月PMI重回臨界點(diǎn)以上，制造業(yè)景氣水平呈恢復(fù)性擴(kuò)張5．若的展開式中的系數(shù)為15，則A．2 B．3. C．4 D．56．已知雙曲線的一條漸近線為，則它的離心率為A． B． C． D．7．在長方體中，已知異面直線與，與AB所成角的大小分別為和，則直線和平面所成的角的余弦值為A． B． C． D．8．某大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲從人工智能領(lǐng)域的語音識(shí)別、人臉識(shí)別，數(shù)據(jù)分析、機(jī)器學(xué)習(xí)、服務(wù)器開發(fā)五個(gè)方向展開研究，且每個(gè)方向均有研究生學(xué)習(xí)，其中劉澤同學(xué)學(xué)習(xí)人臉識(shí)別，則這6名研究生不同的分配方向共有A．480種 B．360種 C．240種 D．120種9．若函數(shù)在處有極大值，則實(shí)數(shù)的值為A．1 B．或 C． D．10．某地錳礦石原有儲(chǔ)量為萬噸，計(jì)劃每年的開采量為本年年初儲(chǔ)量的（，且為常數(shù)）倍，那么第（）年在開采完成后剩余儲(chǔ)量為，并按該計(jì)劃方案使用10年時(shí)間開采到原有儲(chǔ)量的一半．若開采到剩余儲(chǔ)量為原有儲(chǔ)量的70%時(shí)，則需開采約（

）年．（參考數(shù)據(jù)：）A．4 B．5 C．6 D．811．某四棱錐的底面為正方形，頂點(diǎn)在底面的射影為正方形中心，該四棱錐內(nèi)有一個(gè)半徑為1的球，則該四棱錐的表面積最小值是A．16 B．8 C．32 D．2412．已知函數(shù)=則關(guān)于x的方程的解的個(gè)數(shù)的所有可能值為A．3或4或6 B．1或3 C．4或6 D．3第2卷非選擇題（90分）二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．13．曲線在點(diǎn)處的切線方程為_______．14．兩個(gè)非零向量，，定義．若，，則___________．15．2021年第屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將在成都舉行．為營造“愛成都迎大運(yùn)”全民運(yùn)動(dòng)和全民健身活動(dòng)氛圍，某社區(qū)組織甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一場足球比賽，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)知，甲隊(duì)獲勝的概率是，兩隊(duì)打平的概率是，則這次比賽乙隊(duì)不輸?shù)母怕适莀______________________．16．已知函數(shù)，.下列有關(guān)的說法中，正確的是______(填寫你認(rèn)為正確的序號(hào)).①不等式的解集為或；②在區(qū)間上有四個(gè)零點(diǎn)；③的圖象關(guān)于直線對稱；④的最大值為；⑤的最小值為；三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必做題：共60分．17．（12分）在中，角所對的邊分別為，且滿足（1）求角;（2）若外接圓的半徑為，且邊上的中線長為，求的面積18．（12分）一網(wǎng)絡(luò)公司為某貧困山區(qū)培養(yǎng)了名“鄉(xiāng)土直播員”，以幫助宣傳該山區(qū)文化和銷售該山區(qū)的農(nóng)副產(chǎn)品，從而帶領(lǐng)山區(qū)人民早日脫貧致富．該公司將這名“鄉(xiāng)土直播員”中每天直播時(shí)間不少于小時(shí)的評(píng)為“網(wǎng)紅鄉(xiāng)土直播員”，其余的評(píng)為“鄉(xiāng)土直播達(dá)人”．根據(jù)實(shí)際評(píng)選結(jié)果得到了下面列聯(lián)表：網(wǎng)紅鄉(xiāng)土直播員鄉(xiāng)土直播達(dá)人合計(jì)男104050女203050合計(jì)3070100（1）根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為“網(wǎng)紅鄉(xiāng)土直播員”與性別有關(guān)系？（2）在“網(wǎng)紅鄉(xiāng)土直播員”中按分層抽樣的方法抽取人，在這人中選人作為“鄉(xiāng)土直播推廣大使”．設(shè)被選中的名“鄉(xiāng)土直播推廣大使”中男性人數(shù)為，求的分布列和期望．附：，其中．19．（12分）如圖，四棱錐中，底面，，，，且，，分別為，的中點(diǎn).（1）若，求證：平面；（2）若四棱錐的體積為2，求二面角的余弦值.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線：交于，兩點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，.（1）求的值；（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，拋物線在點(diǎn)處的切線與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，證明：軸.21．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．（二）選做題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題記分．22．（10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，曲線是圓心在，半徑為的圓，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)且），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）若曲線與坐標(biāo)軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)，直線與曲線交于點(diǎn)（異于原點(diǎn)），求的最大值．23．（10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若的最小值為，且實(shí)數(shù)，滿足，求證：.宜賓市四中高2020級(jí)高三二診模擬考試數(shù)學(xué)（理工類）參考答案：1．A2．D3．C4．D5．B6．A7．A8．B9．D10．B11．C12．D13．14．15．16．③④17．解：（1）由，得.利用正弦定理得：，即，化簡得.，，.又，.（2）由正弦定理得.設(shè)為邊上的中點(diǎn)，則，利用向量加法法則得：兩邊平方得：，即由余弦定理，即，兩式相減得，即.由三角形面積公式得：.18．解：（1）由題中列聯(lián)表，可得．∴有的把握認(rèn)為“網(wǎng)紅鄉(xiāng)土直播員”與性別有關(guān)系．（2）在“網(wǎng)紅鄉(xiāng)土直播員”中按分層抽樣的方法抽取6人，男性人數(shù)為人；女性人數(shù)為人．由題，隨機(jī)變量所有可能的取值為，，．，，，∴的分布列為012∴的數(shù)學(xué)期望．19．解：（1）當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，又平面，，且，，平面，平面，，又，平面；（2），解得：，如圖，以為原點(diǎn)，，為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，，顯然平面，設(shè)平面的法向量，，二面角是銳二面角，二面角的余弦值是.20．解：（1）設(shè)，，將直線代入中整理得：，∴，，∴，解得：.（2）同（1）假設(shè)，，由，得，從而拋物線在點(diǎn)點(diǎn)處的切線方程為，即，令，得，由（1）知，從而，這表明軸.21．解：由，得．（1）時(shí)，可得，，則切線方程為，即．（2）（?。┊?dāng)時(shí)，，知，，又為的增函數(shù)，且，所以僅有一個(gè)零點(diǎn)．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，由得，為減函數(shù)；得，為增函數(shù)．∴，又，∴存在使，故在有唯一零點(diǎn)．又當(dāng)時(shí)，，即，所以，而圖象開口向上，故存在，使得，也即有，則存在使得，故在有唯一零點(diǎn)，此時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．（ⅲ）當(dāng)時(shí)，由得或，①若，即，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增．而，，此時(shí)，僅有一個(gè)零點(diǎn)．②若，即，則，為上的增函數(shù)，因?yàn)?，，此時(shí)僅有一個(gè)零點(diǎn)．③若，即，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增．因，則，，結(jié)合知僅有1個(gè)零點(diǎn)，綜上，當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．22．解：（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為，即，所以曲線的極坐標(biāo)方程為，即；（2）曲線的參數(shù)方程為，因?yàn)榍€與兩坐標(biāo)軸相交，所以曲線交軸于