第講面向量（知點(diǎn)串講）知整1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)(或)(2)零向量：長(zhǎng)度為0的量，其方向是任意的．(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反非零向量．平行向量又叫共線向.規(guī)定0與任向量平.(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向同的向量．(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向反的向量．例、判斷下列結(jié)論的正(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×)(1)向量不能比較大小，但向量的可以比較大小()→→→(2)＝OA－OB.()→→(3)向量B向量CD是共線向量，則，，，四在一條直線上()(4)已知，是兩個(gè)非零向量，當(dāng)a，共時(shí)，一定有＝λ為數(shù)，反之也成()【答案】(1)√√

×√[跟蹤訓(xùn)練→→有列命題①兩個(gè)相等向量們的起點(diǎn)相同終點(diǎn)也相同②若＝b則＝③＝DC，四邊形是行四邊形；④若n，＝k，則k⑤若abbc則a∥；有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中，假命題的個(gè)數(shù)()A2C．

B3D．【答案C[|b→→→→ab|DCABn∥bb∥b0∥4]知整2．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算加法

定義求兩個(gè)向量和的運(yùn)算

法則(或幾何意義)三角形法則

運(yùn)算律交換律a＋＝＋；結(jié)合律：ab)＋＝＋＋)

→→→→平行四邊形法則減法數(shù)乘

求與b的反向量的和的運(yùn)算求實(shí)數(shù)λ與向量的的運(yùn)算

三角形法則|||λa，λ＞時(shí)λa與的方向相同；當(dāng)＜時(shí)，a與的向反；λ＝時(shí)λ＝0

a－b＝＋－)λ(μa)＝λ)；(λ＋μ)＝λa＋a；λa＋b＝aλb3．平面向量基本定理如果ee是一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)λ

，λ，使a＝＋λe.其中，不共線的向量，叫做表示這一面內(nèi)所有向量的一組基.→→→例2(2019·山東營(yíng)檢)如圖所示BC＝CDO在段上且不端點(diǎn)CD重AO→→＋－)，實(shí)數(shù)m的值圍為_(kāi)【答案】－，[OkBCk→→→→→→→→→→AOACkBCAC(AC)(1)ACkAB→→→OmAC.1k，.][跟蹤訓(xùn)練2(2019·山濰坊調(diào))如圖在行四邊形ABCD中交于點(diǎn)E為段中點(diǎn)若→→→BE＋BD(，∈R)，則＋等()A1C．

BD．

→→1→→11→→→11→→1→→11→→→11322→→→→→→→1→→t【答案B[AOBABDλBAλ＋.]知整4．共線向量定理向量a(a≠與共，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)λ，使＝λa(1)一般地尾次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量＋AAA＋…，別地，一個(gè)封閉圖形，首尾連接而成的向量和零向量．n→1→→(2)若P為線AB的中點(diǎn)，為平面內(nèi)任一點(diǎn)，＝OAOB)．2(3)＝＋(，為實(shí))，若點(diǎn)A，，共，則＋＝1.→→→→→例、山東青州月考)已知O△內(nèi)一點(diǎn)，且AO＋，＝tAC若B，OD三點(diǎn)共線，則t值為)AC．

BD．【答案B[BC→→→OCOM→→→→→2AOO→1→→OAM(AB)4AB4BD.]4t3[跟蹤訓(xùn)練、設(shè)兩個(gè)非零向量a與不線．→→→(1)若AB＝a＋b，＝＋，＝a)，求證：A，，三共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使kab和＋kb線．→→→【答案】(1)證明ABabab)→→→BDBCCD2a8b)→283a3b5(ab5

→→xy2→1→→xy2→1→→→→AD(2)kabkλ(a)()(λk1).abkλk0.kk知整5．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量的加法、減法、數(shù)乘向及向量的模：設(shè)a＝，，＝(，y，a＋＝x＋，，a－＝－，－)，λ＝λx，λ，a＝＋(2)向量坐標(biāo)的求法：①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x，)，(，)則＝(－x，－)||＝

x－

y－

.6．平面向量共線的坐標(biāo)表示x設(shè)a＝，，＝(，y，中b≠，a∥b＝.y－＝→→→例、(2019·山濰)如圖，正方形ABCD中EDC的點(diǎn)，E＝＋，則λ＋的為()A

B－C．【答案A

D．→→→→→1→→1→1[AEADABABACλABx)1(0,0)B(1,0)CE1μ(1,1)μ.]

1AEAC(1,1)

→→|→→|b|[跟蹤訓(xùn)練、(2019·東青島調(diào)研已知向量＝(－，＝，m，若∥＋)則＝()A2C．【答案D

B2D．[a(1,1)b)ab1)∥ab(

1)m知整7．向量的夾角已知兩個(gè)非零向量和bOa＝則就向量a與b的夾角向量夾角的范圍是，π].8．平面向量的數(shù)量積定義投影幾何意義

設(shè)兩個(gè)非零向量ab的角θ，則數(shù)||||cosθ叫ab的量積，記作b||cosθ叫向量a在b方向的投影，||cosθ叫向量b在a方向的投影數(shù)量積ab等a的長(zhǎng)|與b在的向上的投影|cosθ的乘積9．(1)平向量數(shù)量積的運(yùn)算律①交換律：·＝·；②數(shù)乘結(jié)合律：(ab＝λ(a·)＝·(λ)；③分配律：·＋c＝a·b＋·c(2)平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用式①a＋·a－)＝－.②(a＋b＝＋a＋b.③ab＝a－b＋

.10．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其標(biāo)表示設(shè)非零向量＝(，)，＝，，θ＝〈，b結(jié)論模數(shù)量積

幾何表示|a＝·＝ab|cosθ

坐標(biāo)表示|a＝x＋a·b＝x＋yy夾角

cosθ＝

a·b

cosθ＝

xx＋yx＋·x＋a⊥·b＝＋＝|·b與ab的系|·b≤|a||b|

|x＋y|≤＋·x＋y

2222注個(gè)向量a的角為銳角·>0且不線個(gè)量ab的夾角為鈍a<0且a，b不線．例5(2018·天卷)如圖，在平面四邊形中⊥，⊥，∠＝120°，AB＝＝→→若點(diǎn)E為邊CD上動(dòng)點(diǎn)，的最小值為()AC．

BD．【答案A[DACCAD60°→ACDACB30°D(0,0)(1,0)CE)(0≤y≤(1→3y)－，y→→33BE＋y

→→[跟蹤訓(xùn)練→→→、(2018·天