2021-2022學年湖南省常德市市第十中學高三數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.定義集合運算:.設,,則集合的所有元素之和為(

)A．0

B．2

C．3

D．6參考答案：D略2.已知函數(shù)，若對任意，總存在，使，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.參考答案：C【分析】求出兩個函數(shù)的值域，結(jié)合對任意，總存在，使，等價為的值域是值域的子集，利用數(shù)形結(jié)合進行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】對任意，則，即函數(shù)的值域為，若對任意，總存，使，設函數(shù)值域為A，則滿足，即可，當時，函數(shù)減函數(shù)，則此時，當時，，①當時，（紅色曲線），即時，滿足條件，②當時，此時，要使成立，則此時，此時滿足（藍色曲線），即，得，綜上或，故選：C．【點睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應用，求出函數(shù)的值域，轉(zhuǎn)化為的值域是值域的子集，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關鍵．3.已知f(x)=sinx，g(x)=cosx，則下列結(jié)論中正確的是A．函數(shù)y=fix)·(x)是偶函數(shù)B．函數(shù)Y=f(X)·g(x)的最大值為1C．將f(x)的圖象向右移個單位長度后得到g(x)的圖象D．將f(x)的圖象向左移個單位長度后得到g(x)的圖象參考答案：答案:D4.已知拋物線，過焦點F的直線與此拋物線交于A，B兩點，點A在第一象限，過點A作拋物線準線的垂線，垂足為，直線的斜率為，則的面積為（）A. B. C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，求出點A的坐標，得到，利用三角形的面積公式，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，拋物線的焦點為，準線方程為，設，則，因為直線的斜率為，所以，所以，所以，所以的面積為，故選A．【點睛】本題主要考查了拋物線的性質(zhì)的應用，以及三角形面積的計算，其中解答中熟練應用拋物線的幾何性質(zhì)，合理準確計算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．5.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點，若點F1關于雙曲線漸近線的對稱點P滿足∠OPF2＝∠POF2（O為坐標原點），則雙曲線的離心率為（

）A．

B．2

C．

D．參考答案：B6.設函數(shù)，右上圖是函數(shù)圖象的一部分，則是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C7.某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球半徑為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】由三視圖可知該棱錐的一條側(cè)棱垂直底面，且高為2，由三視圖所給數(shù)據(jù)可知相鄰的兩個側(cè)面是全等的等腰直角三角形，其外接圓圓心為斜邊中點，故可找到球心，且球心到底面距離為1，由正弦定理求底面外接圓半徑，利用即可求解.【詳解】由三視圖可知三棱錐的直觀圖如圖：由三視圖可知底面三角形是邊長為2，頂角的三角形，所以外接圓半徑可由正弦定理得；，由側(cè)面為兩等腰直角三角形，可確定出外接圓圓心，利用球的幾何性質(zhì)可確定出球心，且球心到底面的距離，所以球半徑，故選C.8.已知函數(shù)，且關于x的方程f（x）+x﹣a=0有且只有一個實根，則實數(shù)a的范圍是（）A．（﹣∞，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（1，+∞）參考答案：D【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】本題可采用數(shù)形結(jié)合的方法解答，在同一坐標系內(nèi)分別作出y1=f（x），y2=﹣x+a的圖象，其中a表示直線在y軸的截距，結(jié)合圖形可知當a＞1時，直線y2=﹣x+a與y1=log2x只有一個交點．即關于x的方程f（x）+x﹣a=0有且只有一個實根【解答】解：關于x的方程f（x）+x﹣a=0有且只有一個實根，即函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=﹣x+a的圖象有且只有一個交點，如圖，在同一坐標系內(nèi)分別作出y1=f（x），y2=﹣x+a的圖象，數(shù)形結(jié)合可知，當a＞1時，直線y2=﹣x+a與y1=log2x只有一個交點．即a∈（1，+∞）．故選D9.已知角的終邊經(jīng)過,則等于A．

B．

C． D．參考答案：A10.設a，b∈R，則“a＞b”是“|a|＞|b|”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：D考點： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷．

專題： 簡易邏輯．分析： 根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．解答： 解：若a=1，b=﹣2，滿足a＞b，但|a|＞|b|不成立，若a=﹣2，b=1，滿足|a|＞|b|，但a＞b不成立，即“a＞b”是“|a|＞|b|”的既不充分也不必要條件，故選：D．點評： 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，比較基礎．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下面四個命題：①函數(shù)的圖象必經(jīng)過定點（0,1）；②已知命題：，則：；③過點且與直線垂直的直線方程為；④在區(qū)間上隨機抽取一個數(shù)，則的概率為。其中所有正確命題的序號是：_____________。參考答案：①③當時，，所以恒過定點，所以①正確；命題的否定為：，所以②錯誤；直線的斜率為，所以和垂直的直線斜率為，因為直線過點，所以所求直線方程為，即，所以③正確；由得，，所以相應的概率為，所以④錯誤，所以正確的命題有①③。12.如圖所示，在一個坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25m的建筑物CD，為了測量該山坡相對于水平地面的坡角θ，在山坡的A處測得∠DAC＝15°，沿山坡前進50m到達B處，又測得∠DBC＝45°，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cosθ＝____________．參考答案：

13.如圖，正方體中，，分別為棱，上的點．已知下列判斷：①平面；②在側(cè)面上的正投影是面積為定值的三角形；③在平面內(nèi)總存在與平面平行的直線；④平面與平面所成的二面角（銳角）的大小與點的位置有關，與點的位置無關．其中正確結(jié)論的序號為_____________（寫出所有正確結(jié)論的序號）.參考答案：②③略14.已知橢圓C：mx2＋y2＝1(0＜m＜1)，直線l：y＝x＋1，若橢圓C上總存在不同的兩點A與B關于直線l對稱，則橢圓C的離心率e的取值范圍

．參考答案：設AB中點P，由中點弦問題可知kAB?kOP＝－m，kAB＝－1，kOP＝m，聯(lián)立直線l與直【說明】考查點關于直線對稱問題的處理方法及橢圓中點弦問題、點與橢圓位置關系．15.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為

。參考答案：略16.在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,則

參考答案：1::2

因為∠A:∠B:∠C=1:2:3,則可知A,B,C分別為，根據(jù)直角三角形中邊的比例關系可知，

17.已知函數(shù)f（x）=3x2+2x+1，若成立，則a=___________。參考答案：a=-1或a=-三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知圓M與直線相切于點，圓心M在x軸上（1）求圓M的方程；（2）過點M且不與x軸重合的直線與圓M相交于A，B兩點，O為坐標原點，直線OA，OB分別與直線x＝8相交于C，D兩點，記△OAB，△OCD的面積分別是S1、S2．求的取值范圍參考答案：19.（本小題滿分13分）已知拋物線，圓的圓心M到拋物線的準線的距離為，點P是拋物線上一點，過點P、M的直線交拋物線于另一點Q，且，過點P作圓的兩條切線，切點為A、B.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）求直線PQ的方程及的值.參考答案：解析：（Ⅰ），∴，

…………1分拋物線的準線方程是，依題意：，∴，

…………3分∴拋物線的方程為：.

…………4分（Ⅱ）設PQ的方程：，設，則，，∵，∴，…①又…②，…③，由①②③得，∴PQ的方程為：

………9分取PQ的方程：，和拋物線聯(lián)立得P點坐標為P（4,8）∴，連接，，設，則，

……………11分∴==

.…13分

略20.如圖所示，四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=，E為PD上一點，PE=2ED．（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D﹣AC﹣E的余弦值；（Ⅲ）在側(cè)棱PC上是否存在一點F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F點的位置，并證明；若不存在，說明理由．參考答案：考點：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．專題：計算題；證明題；綜合題．分析：（I）根據(jù)勾股定理的逆定理，得到△PAD是以PD為斜邊的直角三角形，從而有PA⊥AD，再結(jié)合PA⊥CD，AD、CD相交于點D，可得PA⊥平面ABCD；（II）過E作EG∥PA交AD于G，連接BD交AC于O，過G作GH∥OD，交AC于H，連接EH．利用三垂線定理結(jié)合正方形ABCD的對角線互相垂直，可證出∠EHG為二面角D﹣AC﹣E的平面角．分別在△PAB中和△AOD中，求出EH=，GH=，在Rt△EHG中利用三角函數(shù)的定義，得到tan∠EHG==．最后由同角三角函數(shù)的關系，計算得cos∠EHG=．（III）以AB，AD，PA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．分別給出點A、B、C、P、E的坐標，從而得出=（1，1，0），=（0，，），利用向量數(shù)量積為零的方法，列方程組可算出平面AEC的一個法向量為=（﹣1，1，﹣2）．假設側(cè)棱PC上存在一點F，使得BF∥平面AEC，則=+=（﹣λ，1﹣λ，λ），且有?=0．所以?=λ+1﹣λ﹣2λ=0，解之得λ=，所以存在PC的中點F，使得BF∥平面AEC．解答： 解：（Ⅰ）∵PA=AD=1，PD=，∴PA2+AD2=PD2，可得△PAD是以PD為斜邊的直角三角形∴PA⊥AD﹣﹣﹣又∵PA⊥CD，AD、CD相交于點D，∴PA⊥平面ABCD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）過E作EG∥PA交AD于G，∵EG∥PA，PA⊥平面ABCD，∴EG⊥平面ABCD，∵△PAB中，PE=2ED∴AG=2GD，EG=PA=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣連接BD交AC于O，過G作GH∥OD，交AC于H，連接EH．∵OD⊥AC，GH∥OD∴GH⊥AC∵EG⊥平面ABCD，HG是斜線EH在平面ABCD內(nèi)的射影，∴EH⊥AC，可得∠EHG為二面角D﹣AC﹣E的平面角．﹣﹣﹣﹣﹣∴Rt△EGH中，HG=OD=BD=，可得tan∠EHG==．由同角三角函數(shù)的關系，得cos∠EHG==．∴二面角D﹣AC﹣E的平面角的余弦值為﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）以AB，AD，PA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），E（0，，），=（1，1，0），=（0，，）﹣﹣﹣設平面AEC的法向量=（x，y，z），根據(jù)數(shù)量積為零，可得，即：，令y=1，得=（﹣1，1，﹣2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣假設側(cè)棱PC上存在一點F，且=λ，（0≤λ≤1），使得：BF∥平面AEC，則?=0．又∵=+=（0，1，0）+（﹣λ，﹣λ，λ）=（﹣λ，1﹣λ，λ），∴?=λ+1﹣λ﹣2λ=0，∴λ=，所以存在PC的中點F，使得BF∥平面AEC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣點評：本題給出一個特殊的棱錐，通過證明線面垂直和求二面角的大小，著重考查了用空間向量求平面間的夾角、直線與平面平行的判定與性質(zhì)和直線與平面垂直的判定與性質(zhì)等知識點，屬于中檔題．21.為迎接夏季旅游旺季的到來，少林寺單獨設置了一個專門安排游客住宿的客棧，寺廟的工作人員發(fā)現(xiàn)為游客準備的一些食物有些月份剩余不少，浪費很嚴重，為了控制經(jīng)營成本，減少浪費，就想適時調(diào)整投入．為此他們統(tǒng)計每個月入住的游客人數(shù)，發(fā)現(xiàn)每年各個月份來客棧入住的游客人數(shù)會發(fā)生周期性的變化，并且有以下規(guī)律：①每年相同的月份，入住客棧的游客人數(shù)基本相同；②入住客棧的游客人數(shù)在2月份最少，在8月份最多，相差約400人；③2月份入住客棧的游客約為100人，隨后逐月遞增直到8月份達到最多．(1)試用一個正弦型三角函數(shù)描述一年中入住客棧的游客人數(shù)與月份之間的關系；(2)請問哪幾個月份要準備400份以上的食物？參考答案：略22.(本小題滿分12分)已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，一個頂點為，且其右焦點到直線的距離為3．(1)求橢圓的方程；(2)是否存在斜率為

，且過定點的直線，使與橢圓交于兩個不同的點、，且？若存在，求出直線的方程;若不存在,請說明理由．參考答案：解：（Ⅰ）設橢圓的方程為,由已知得.