吉林省吉林市普通中學(xué)2021屆下學(xué)期高三年級(jí)第四次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（理科）本試卷共23小題，共150分，考試時(shí)間120分鐘。第I卷（共60分）一、選擇題：本大題共12題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求1已知全集，，則集合=A BC D2已知是第二象限角，則A BC D3已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則A BC或 D4甲，乙，丙三名運(yùn)動(dòng)員在某次測(cè)試中各射擊20次，三人測(cè)試成績(jī)的頻率分布條形圖分別如圖1，圖2和圖3，若，，分別表示他們測(cè)試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差，則A． B．C．D．5已知隨機(jī)變量，且，，則為A．B．C．D．6若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則弦所在直線方程為A．B．C．D．7設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是A．B．C．D．8已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且，則為A BC D9已知，則的大小關(guān)系是ABCD10一副三角板有兩種規(guī)格，一種是等腰直角三角形，另一種是有一個(gè)銳角是的直角三角形，如圖兩個(gè)三角板斜邊之比為四邊形就是由三角板拼成的，，則的值為A B C D11已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上有且僅有一個(gè)解，則的取值范圍是A B C D12．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓與軸交于兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，若拋物線上存在一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于下面四個(gè)命題：①拋物線的方程是 ②拋物線的準(zhǔn)線方程是③的最小值是 ④線段長(zhǎng)的最小值是其中正確的命題的個(gè)數(shù)是A． B． C． D．第II卷（共90分）二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分其中第16題的第一個(gè)空填對(duì)得2分，第二個(gè)空填對(duì)得3分13已知變量和需滿足約束條件，則的最小值為________14宋元時(shí)期是我國(guó)古代數(shù)學(xué)非常輝煌的時(shí)期，涌現(xiàn)了一大批卓有成就的數(shù)學(xué)家，其中秦九韶、李冶、楊輝和朱世杰成就最為突出，被譽(yù)為“宋元數(shù)學(xué)四大家”數(shù)學(xué)周老師將秦九韶的《數(shù)書九章》、李冶的《測(cè)圓海鏡》《益古演段》、楊輝的《詳解九章算法》、朱世杰的《算學(xué)啟蒙》《四元玉鑒》這六部著作平均分給班級(jí)的3個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組，則有________種不同的分配方式15．已知函數(shù)，設(shè)，其中且，則16．如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面交棱于點(diǎn)，則四棱錐的體積為，截面四邊形的周長(zhǎng)的最小值為三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答（一）必考題：共60分17（本小題滿分12分）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和（Ⅰ）求的值，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求18（本小題滿分12分）已知斜三棱柱，側(cè)面與底面垂直，，，，且（Ⅰ）試判斷與平面是否垂直，并說明理由；（Ⅱ）求二面角的余弦值19（本小題滿分12分）江蘇衛(wèi)視推出的大型科學(xué)競(jìng)技真人秀《最強(qiáng)大腦（8）》現(xiàn)已進(jìn)入聯(lián)盟搶分賽環(huán)節(jié)，由12強(qiáng)選手組建的凌霄、逐日、登峰聯(lián)盟三支隊(duì)伍（每隊(duì)四人）將進(jìn)行“12進(jìn)6”的登頂預(yù)備戰(zhàn)，每局有兩隊(duì)參加，沒有平局按12強(qiáng)歷次成績(jī)統(tǒng)計(jì)得出，在一局比賽中，逐日聯(lián)盟勝凌霄聯(lián)盟的概率為，逐日聯(lián)盟勝登峰聯(lián)盟的概率為，凌霄聯(lián)盟勝登峰聯(lián)盟的概率為聯(lián)盟搶分賽規(guī)則如下：按抽簽決定由逐日聯(lián)盟和凌霄聯(lián)盟先進(jìn)行第一局的比賽，然后每局的獲勝隊(duì)與未參加此局比賽的隊(duì)伍進(jìn)行下一局的比賽在比賽中，有隊(duì)伍先獲勝兩局，就算取得比賽的勝利，直接晉級(jí)6強(qiáng)的全國(guó)腦王爭(zhēng)霸賽（Ⅰ）求只進(jìn)行兩局比賽，逐日聯(lián)盟晉級(jí)6強(qiáng)的概率；（Ⅱ）求只進(jìn)行兩局比賽，就能確定晉級(jí)6強(qiáng)聯(lián)盟隊(duì)的概率；（Ⅲ）求逐日聯(lián)盟晉級(jí)6強(qiáng)的概率20（本小題滿分12分）已知點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓上任意一點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值為，最小值為（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若為橢圓上的點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，若過點(diǎn)可作圓的兩條切線（為切點(diǎn)），求四邊形面積的最大值．21（本小題滿分12分）已知函數(shù)（Ⅰ）當(dāng)曲線在處的切線與直線垂直時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）求證：（二）選考題：共10分請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答并用2B鉛筆將所選題號(hào)涂黑，多涂、錯(cuò)涂、漏涂均不給分如果多做，則按所做的第一題計(jì)分22在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是曲線（為參數(shù)）上的動(dòng)點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（Ⅰ）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若點(diǎn)在軸右側(cè)，點(diǎn)在曲線上，求的最小值23設(shè)函數(shù)（Ⅰ）若，求證：；（Ⅱ）對(duì)于，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍

【試題答案】一、選擇題：本大題共12題，每小題5分，共60分123456789101112CCADBDBBACDB二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分其中第16題的第一個(gè)空填對(duì)得2分，第二個(gè)空填對(duì)得3分13141516（2分），（3分）17．【解析】（Ⅰ）法一：當(dāng)時(shí)， 1分當(dāng)時(shí)， 3分是等比數(shù)列，，即，解得 5分所以，的值為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為 6分法二：是等比數(shù)列，即 3分設(shè)的公比為， 6分（Ⅱ） 8分 12分18【解析】取中點(diǎn)，連接、，又，得，平面平面，交線為，又平面，則平面，，為中點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，，，， 3分（Ⅰ）， 所以與不垂直，即與平面不垂直 6分（另解：求出平面法向量，與不平行，則與平面不垂直）（Ⅱ）因?yàn)槠矫?，設(shè)平面的一個(gè)法向量 7分設(shè)為平面的一個(gè)法向量，， 由 令，則，即， 10分又因?yàn)椋?如圖知，二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為 12分法二：（Ⅰ）由，，，得，由，，，得，所以，則不垂直于，平面，則與平面不垂直 3分（Ⅱ）如圖：過做，垂足為，平面平面，交線為，又平面，則平面， 6分所以二面角的補(bǔ)角為所求 7分過向棱作垂線，垂足為，連接，則就是二面角的平面角，，所以， 10分所以，所以二面角的余弦值為 12分19【解析】（Ⅰ）記“只進(jìn)行兩局比賽，逐日聯(lián)盟晉級(jí)６強(qiáng)”為事件． 3分（Ⅱ）記“只進(jìn)行兩局比賽，就能確定晉級(jí)６強(qiáng)聯(lián)盟隊(duì)”為事件則事件包含逐日聯(lián)盟晉級(jí)或凌霄聯(lián)盟晉級(jí)． 7分（Ⅲ）記“逐日聯(lián)盟晉級(jí)６強(qiáng)”為事件．則事件包含三種情況：①逐日聯(lián)盟勝凌霄聯(lián)盟，逐日聯(lián)盟勝登峰聯(lián)盟：②逐日聯(lián)盟勝凌霄聯(lián)盟，逐日聯(lián)盟負(fù)登峰聯(lián)盟，登峰聯(lián)盟負(fù)凌霄聯(lián)盟，逐日聯(lián)盟勝凌霄聯(lián)盟：③逐日聯(lián)盟負(fù)凌霄聯(lián)盟，凌霄聯(lián)盟負(fù)登峰聯(lián)盟，登峰聯(lián)盟負(fù)逐日聯(lián)盟，逐日聯(lián)盟勝凌霄聯(lián)盟： 12分（注：②③求對(duì)各給2分）20【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意橢圓上任意一點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值為，最小值為所以解得 2分所以因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 4分（Ⅱ）（法一）由（1）知，為橢圓的左焦點(diǎn)，根據(jù)橢圓定義知，，設(shè)，點(diǎn)在圓外 6分所以，在直角三角形中，， 8分由圓的性質(zhì)知，四邊形面積，其中．9分即（）．令（），則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以，在時(shí)，取極大值，也是最大值此時(shí) 12分（法二）同法一，四邊形面積，其中9分所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)所以 12分21【解析】因?yàn)?，所? 1分根據(jù)題意 2分（Ⅰ）解得，滿足， 4分（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，令，令或所以的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是當(dāng)時(shí)，，令，令所以的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是綜上所述：當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是 8分（3）由（2）知當(dāng)時(shí)，，并且，因此有在恒成立，用替換得，即在恒成立，因此當(dāng)時(shí)不等式恒成立令用替換得，所以即 12分22【解析】（Ⅰ）消去得即曲線的普通方程為 2分曲線的極坐標(biāo)方程為，由得曲線的直角坐標(biāo)方程為 4分（Ⅱ）P是曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為是曲線上最小值即點(diǎn)P到曲線的距離則= 7分，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)當(dāng)時(shí)，取最小值最小值為 10分23【解析】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， 2分當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立