二節(jié)相似矩陣第1頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日一、相似矩陣的概念和性質定義4.2設A,B為n階矩陣。如果存在一個n階可逆矩陣P,使得(4.7)則稱矩陣A與B相似，記作“相似”是矩陣間的一種關系，它具有如下性質：(1)反身性：對任意方陣A,都有。因為(2)對稱性：若，則。因(3)傳遞性：若，則第2頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日相似矩陣的特征值相同。相似矩陣具有如下重要性質：性質1性質2若，且A可逆，則B也可逆，且性質3若，則，其中m是正整數(shù)。性質4性質6性質5相似矩陣的行列式相等。相似矩陣的秩相等。相似矩陣的跡相等。第3頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日例2已知矩陣如果A與B相似，求x,y的值。解法1因為，所以A,B有相同的行列式和跡。于是tr(A)=tr(B),即①又可得解得代入①得第4頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日解法2相似矩陣有相當?shù)奶卣鞫囗検?。由有即計算兩個行列式，得到比較等式兩邊同次冪的系數(shù)，得解得第5頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日二、矩陣可相似對角化的條件如果矩陣A可以與一個對角矩陣相似，則稱矩陣A可相似對角化(可對角化)。定理4.7

n階矩陣A相似于對角矩陣的充分必要條件是A有n個線性無關的特征向量。推論若n階矩陣A有n個不同的特征值，則矩陣A可與對角矩陣相似。第6頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日例3在4.1例6中，我們已經(jīng)求得矩陣的特征值對應的線性無關的特征向量為而特征值對應的特征向量為且線性無關。第7頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日令則例4設矩陣判斷A是否可對角化？解矩陣A的特征多項式第8頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日(第2、3列加到第1列上)由此得A的特征值第9頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日對于特征值解齊次線性方程組得A的對應于的一個特征向量對于特征值解齊次線性方程組可得其基礎解系由于2是A的二重特征值，對應于的特征向量僅有一個。對于矩陣A，不能求出三個線性無關的特征向量，因此A不能相似對角化。第10頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日定理4.8

n階矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是對于A的每一個重特征值特征矩陣的秩為例5判斷下列矩陣A是否相似于對角矩陣，如能，則求出P，使解由于第11頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日可得A的特征值為(三重)。對于，齊次線性方程組的系數(shù)矩陣因此A不可相似對角化。可以看出：所以齊次線性方程組的基礎解系含有2個線性無關的向量。第12頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日(2)A的特征多項式因此，A

的特征值為(二重)，對于解齊次線性方程組可求得其基礎解系為對于解齊次線性方程組第13頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日可求得基礎解系為由于A有三個線性無關的特征向量，故A可對角化。令則第14頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日例6設試問A是否可與對角矩陣相似，并求解A的特征多項式所以A的特征值為(二重)。第15頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日對于，解齊次線性方程組可得基礎解系對于，解齊次線性方程組可得基礎解系由于A有三個線性無關的特征向量，故A可與對角矩陣相似。令第16頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日則所以由此得易求因此第17頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日例7設矩陣的特征方程有一個一個二重根，求的值，并討論A是否可相似對角化。解矩陣A的特征多項式第18頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日若是特征方程的二重根，則有解得當時，A的特征值為2,2,6，矩陣的秩為1，第19頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日故對應的線性無關的特征向量有兩個，從而A可相似對角化。若不是特征方程的二重根，則