第一章§1.4函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義二、函數(shù)極限的性質(zhì)1、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限自變量變化過(guò)程的六種形式:2、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限內(nèi)容分兩種情況討論:一、函數(shù)極限的定義若當(dāng)x

時(shí)，f(x)無(wú)限接近于某常數(shù)A，1、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限類似地有和記為f(x)當(dāng)x

時(shí)的極限，則常數(shù)A叫做函數(shù)討論：極限的通俗定義：敘述？三者之間的關(guān)系如何？e>0，X>0，x:|x|>X，有|f(x)-A|<e，設(shè)f(x)當(dāng)|x|大于某一正數(shù)時(shí)有定義．如果對(duì)于任意給定的正數(shù)e，總存在著正數(shù)X，使得對(duì)于適合不等式|x|>X的一切x，對(duì)應(yīng)的函數(shù)數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)-A|<e，則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x

時(shí)的極限．極限的精確定義：定義1.4.1

定理1.4.1

注.（1）幾何解釋:注.

證(horizontalasymptote)例1.4.1

例1.4.2

例1.4.3

例1.4.5

例1.4.4

2、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限自變量的變化趨勢(shì)：x

x0，x

x0-0，x

x0+0f(x)=A或f(x)A(當(dāng)x

x0)．函數(shù)極限的描述性定義：

在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中，如果對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)無(wú)限接近于某一確定的常數(shù)A，那么這個(gè)確定的常數(shù)A就叫做在這一變化過(guò)程中函數(shù)f(x)的極限．當(dāng)x

x0時(shí)，f(x)以A為極限記為分析：當(dāng)xx0時(shí)，f(x)

A當(dāng)|x-x0|

0時(shí)，|f(x)-A|能任意小任給e>0，當(dāng)|x-x0|小到某一時(shí)刻，有|f(x)-A|<e任給e>0，存在d>0，使當(dāng)|x-x0|<d時(shí)，有|f(x)-A|<e．f(x)=A或f(x)A(當(dāng)x

x0)．f(x)=Ae>0，d>0，x：0<|x-x0|<d，有|f(x)-A|<e．設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義．如果對(duì)于任意給定的正數(shù)e(不論它多么小)，總存在正數(shù)d，使得對(duì)于適合不等式0<|x-x0|<d的一切x，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)-A|<e，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x

x0時(shí)的極限，記為定義1.4.2

（4）函數(shù)極限的幾何意義：證證例1.4.6

例1.4.7

證函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒有定義.例1.4.8

3.單側(cè)極限(one-sidedlimit):例如,左極限右極限(right-handlimit)(left-handlimit)左右極限存在但不相等,補(bǔ)充練習(xí)證定理1.4.2

給定函數(shù)討論時(shí)的極限是否存在.解:利用定理.因?yàn)轱@然所以不存在.例1.4.9

二、函數(shù)極限的性質(zhì)（函數(shù)極限的局部有界性）（函數(shù)極限的惟一性）定理1.4.3

定理1.4.4

(函數(shù)極限的局部保號(hào)性)補(bǔ)充定理定理1.4.5

推論1.4.1

Ay=f(x)x0O

yxA-eA+ex0+dx0-d取0<e<Ax0+dx0-d點(diǎn)x0的某一去心鄰域，當(dāng)x在該鄰域內(nèi)時(shí)，就有f(x)>0(或f(x)<0)．極限的局部保號(hào)性的幾何解釋：證明：設(shè)A>0，取正數(shù)eA，根據(jù)極限的定義，對(duì)于這個(gè)取定的正數(shù)e，必存在著一個(gè)正數(shù)d，當(dāng)0<|x-x0|<d時(shí)，不等式|f(x)-A|<e,或A-e<f(x)<A+e成立．因A-e0，

故f(x)>0．點(diǎn)x0的某一去心鄰域，當(dāng)x在該鄰域內(nèi)時(shí)，就有f(x)>0(或f(x)<0)．極限的局部保號(hào)性證明：定理1.4.6

定理1.4.7

證明不存在.證:取兩個(gè)趨于0的數(shù)列及有由定理知不存在.例1.4.10

1.函數(shù)極限的或定義及應(yīng)用2.函數(shù)極限的性質(zhì):保號(hào)性定理與左右極限等價(jià)定理第四節(jié)內(nèi)容小結(jié)函數(shù)極限的統(tǒng)一定義(見下表)過(guò)程時(shí)刻從此時(shí)刻以后過(guò)程時(shí)刻從此時(shí)刻以后P271.2.(2)3.