執(zhí)教人教版《必修2》立體幾何部分的困惑和思考

新的課程標準對于立體幾何的教學，特別突出“直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算”，強調(diào)演繹推理和合情推理的結(jié)合，這是立體幾何教材編寫的指導思想，也是我們數(shù)學教師在立體幾何教學中首先要具備的基本觀點；但是本人通過兩輪的人教版《必修2》的教學，總感到立體幾何部分的教材存在不少問題，比如知識的編排順序不合邏輯、重要概念不明確、初高中知識脫節(jié)等，我把這些問題歸納為以下幾點，以求教于廣大同行：一、重點概念問題1.直棱柱、正棱柱、正棱錐是立體幾何最重要的基本圖形，地位突出，為何不介紹關于《空間幾何體》一章，新課標要求“認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構特征”。我們知道，直棱柱、正棱柱和正棱錐是最典型的多面體，是空間幾何體中最重要的基本圖形，是立體幾何中點、線、面位置關系的主要載體，在立體幾何中應用廣泛，不論是表面積體積的計算，還是三視圖、線面位置關系，都與它們有關。(1)以課本為例：P27例1：“已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體S-ABC，求它的表面積”，實際上這個棱錐是個正三棱錐；P41B組4：一塊邊長為10cm的正方形鐵片按如圖（圖略）所示的陰影部分截下，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐（底面是正方形，從頂點向底面作垂線，垂足是底面的中心的四棱錐）形容器，試把容器的容積V表示為x的函數(shù)；P73探究：圖形是直四棱柱，在括號中解釋什么叫直四棱柱；P86第7題：“如圖，四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，其他四個側(cè)面都是側(cè)棱長為的等腰三角形，試畫出二面角V-AB-C的平面角，并求它的度數(shù)”，這也是正棱錐；除此外，課本中與正棱錐、直棱柱、正棱柱直接有關的例題或習題，還有不下十個之多，如果說課本中出現(xiàn)上述三種圖形能以說明的形式加以補充，那么是不是涉及相關圖形的時候，每次都得補充，還是一次說明以后可以不再說明，把它們作為基本概念要求學生掌握呢？那跟下定義有什么區(qū)別？既然是下定義，為什么不明確給出呢？在考題中還要不要補充說明呢？(2)以新課標地區(qū)高考為例：山東省2007年理科第3題選擇題三視圖中有一個是正多面體，文理大題都是直接考“直四棱柱”；2009年小題考的幾何體就包括正四棱錐，大題也是直接考“直四棱柱”；廣東省2009年考題如：“某高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖4（略）。墩的上半部分是正四棱錐P-EFGH，下半部分是長方體ABCD-EFGH”；海南2009年考題：“如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍，P為側(cè)棱SD上的點?！辈恢苯诱f圖形是正四棱錐，實際上是一個正四棱錐。涉及直棱柱、正棱柱、正棱錐的問題由此可見一斑，但是這么重要的常用的概念，課文只是用注或者在題目中說明的方式來處理，似乎“不能直接說，卻不得不說”它們，所以只好轉(zhuǎn)彎抹角，欲說還休，這樣的處理方式并不妥當；夸美紐斯在《大教學論》中說過“如果先不教明概念，便是教不好的”；概念不明確，只會造成教學上的混亂。此外，新課標要求“了解球、棱（圓）柱、棱（圓）錐、棱（圓）臺的表面積和體積的計算公式”，但由于只有直棱柱、正棱柱、正棱錐等才有側(cè)面積公式，結(jié)果就導致沒有給出任何的多面體的側(cè)面積公式，顯然不符合新課標的要求。與北師大版對比：北師大版在介紹棱柱、棱錐、棱臺的同時，作為對它們的分類，同時給出了直棱柱、正棱柱、正棱錐，每一個都只需要短短一句話，就把概念交代清楚了，為立體幾何的學習打好了基礎，避免了像人教版因為刻意避開直棱柱、正棱柱、正棱錐的定義而造成學生學習立體幾何的困局。建議對于直棱柱、正棱柱、正棱錐這樣應用廣泛、地位突出的幾何體，應當在課本中直接給出定義，使學生明確它們的內(nèi)涵。2.共面的三個結(jié)論在練習中多處要用，為何不直接給出“確定平面”是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題解決的重要條件，舊教材在公理2：“過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面”，后面緊接著還有如下三條推論：推論1過直線和直線外的一點，有且只有一個平面；推論2過兩條相交直線，有且只有一個平面；推論3過兩條平行直線有且只有一個平面。但新教材沒有這三條推論，也沒有在課文中提出類似的結(jié)論，只是分別在第48頁的練習題中有過推論1、2類似的問題，眾所周知，練習中的結(jié)論是不能直接用于解題，即不能在練習中直接用上述推論1、2、3的結(jié)論；但是在課本的練習中，卻處處要用這三個結(jié)論去判定是否共面，例如P58第3題，P66例6；P68第4題、第5題，都要用上面三條結(jié)論之一確定一個平面；如果說，根據(jù)相交和平行的定義，我們可以直接得出“相交和平行的直線能確定一個平面”，那么過直線和直線外一點確定一個平面，總是要交代的吧。由于課本在這方面的缺失，造成的后果是：在練習中需要先確定一個平面的時候，學生們基本上沒有這樣的意識。其實教材編寫者也是明白這一點的，在教參P24中，指出“可以把它們作為命題討論，也可以作為公理2的一個應用”，既然如此，教材為何不提出討論或?qū)懗鱿嚓P結(jié)論呢？與北師大版對比：以思考交流的形式明確了共面的三個結(jié)論，便于在解題中使用這些結(jié)論。建議在公理2后面，提出上面三個推論包含的結(jié)論，便于學生在解題中使用。小結(jié)其實，新課程中的很多重要概念和定理被刪除，說是為了“減負”，事實上，新課程的模塊化教學，造成了教學時間上的人為緊張，所以就得刪減內(nèi)容，去適應這個模塊化教學的需要，（前兩屆我們文科是三年課程一年半學完，剩下一年半進行復習，實際上是炒“夾生飯”，現(xiàn)在上面要求這個新課的學習時間，還要壓縮，不知為何）但立體幾何把一些重要的概念和結(jié)論都刪除了，著名數(shù)學教育家、北京大學教授姜伯駒院士指出：“實踐已經(jīng)證明以‘減負’的名義削減課程內(nèi)容，縮小考試范圍，只能提高題海訓練的效益，不能減輕學生負擔，瞄準考試的強化訓練依舊激烈、如果以減負作為一個尺度，近幾年課程改革其實沒有收到預想的效果！考試制度不改革，減負是很難做到的”。二、教材編排順序問題舊教材從點、直線和平面開始，講述平面及其基本性質(zhì)，點、直線、平面之間位置關系和有關公理、定理，再研究由它們組成的幾何體，包括棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、臺、球的結(jié)構特征、體積、表面積等等，基本上按照從局部到整體的原則。新教材則先從對空間幾何體的整體感受入手，再研究組成空間幾何體的點、直線和平面。新課標認為：“本部分內(nèi)容的設計遵循從整體到局部、具體到抽象的原則，使學生在直觀感知的基礎上，認識空間中一般的點、線、面之間的位置關系；通過對圖形的觀察、試驗和說理，使學生進一步了解平行、垂直關系基本性質(zhì)以及判斷方法”。因此可見，這種教材的編排有它的合理性的一面，它符合學生的“認知序”，有助于發(fā)展學生的空間觀念、培養(yǎng)學生的空間想象能力、幾何直觀能力，適當減輕幾何論證的難度，降低立體幾何學習入門的門檻，提高學生學習立體幾何的興趣，同時對空間幾何體有本質(zhì)的認識，這也是新教材的編寫初衷。但是在教學過程中，遇到幾個突出的問題：1.不明確面面平行，怎么給一些幾何體下定義比如棱柱、棱錐、棱臺、圓臺，這些定義中都要涉及兩個平面平行，在概念中都用了兩個平面平行，學生卻不知道什么是兩個平面平行，雖然說，學生對兩個平面平行可以通過直觀感知，這并不違背新課標的精神，但是，在學生初中學習這些概念的時候，他們也是直觀感知，并沒有對它們下定義，也無法下定義，這在當時是沒有問題的；現(xiàn)在在立體幾何中，要學習點、線、面的位置關系，完全有條件對他們下嚴格的科學的定義，但因為教材編寫順序沒有這樣做。再比如，棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，這可以根據(jù)面面平行的性質(zhì)推出，這點完全可以作為棱柱定義或性質(zhì)的內(nèi)容，但由于受到教材順序的限制，在學習棱柱的時候是無法這樣定義的，只有到后來學完線、面位置關系的時候，才能通過證明得出側(cè)面是平行四邊形的結(jié)論，但是由于這個結(jié)論不是用定義或性質(zhì)做出結(jié)論的，所以以后做題，按理都得證明。教材這樣編寫，實際上造成學生對多面體認識的混亂，給解題造成障礙。2.不知道線面垂直，怎樣解釋棱錐棱柱的高在學習多面體體積的時候，怎么說明它的高，教材第29頁左邊有個說明：“棱錐（圓錐）的高是指從頂點向底面作垂線，頂點與垂足（垂線與底面的交點）之間的距離”，那什么是平面的垂線，怎么做才是平面的垂線呢？沒有學習線面垂直的定義和判定，如何回答這樣的問題？同樣的問題還有：圓臺的高，書本的注中說到是“兩個底面的距離”，可是什么是兩個底面的距離呢？由于在講幾何體的時候無法說明高、點到平面的距離等概念，在講點、線、面的位置關系的時候，又沒有機會說明這個問題，使得教材中居然沒有對點到平面、線到平面、平面到平面的距離下定義，立體幾何的邏輯系統(tǒng)，顯得十分零亂；立體幾何的概念系統(tǒng)，也實在令人有支離破碎之感。3.講完兩個判定再說兩個性質(zhì)是否合適講完一個判定定理，接著講其性質(zhì)，這符合學習數(shù)學知識的內(nèi)在邏輯，這個不僅是立體幾何一直遵循的、也是學習數(shù)學知識一直遵循的順序，可是在新課程中打亂了這種順序，把線面平行、面面平行的兩個判定生硬地拉到了一起，將本來屬于一個知識結(jié)構的割裂開來，將兩個不同的問題放在一起，這在學習新知識的時候，其實是應當避免的；學生剛剛接受一樣東西，還沒來得及消化，又要接受另外一樣東西，加大了學習的難度。此外，平面與平面平行的判定定理，本來是可以用學過的直線與平面平行的性質(zhì)定理證明的，現(xiàn)在將直線與平面的性質(zhì)定理調(diào)到了平面與平面平行的判定之后，就無法再證明平面與平面平行的判定定理了；雖然課標不要求學生會證明這個定理，但也不能搞一刀切，讓所有類型的學生都不學習這些定理的證明，在重點中學或?qū)τ趯W習能力強的學生，是完全可以對這部分課標不要求的定理進行證明的，這對于培養(yǎng)學生的邏輯思維能力、問題探究能力和養(yǎng)成言必有據(jù)的證明習慣，大有裨益。以上三點看出，新教材的編排順序在重視學生“認知序”的同時，卻違背了知識的“邏輯序”，造成了顧此失彼、得不償失的局面。此外，關于通過先認識多面體、樹立學生的感性認識問題，筆者并不能認同，因為高中教材研究的各種多面體，在學生小學階段就已經(jīng)接觸過，并了解了一些體積計算公式；在初中階段還系統(tǒng)全面地學習了簡單的幾何體和三視圖，學生對簡單幾何體應當說已經(jīng)有了相當充分的“感性認識”了，高中教材應該將這個因素考慮進去，而不能與初中教材脫節(jié)，讓學生重新進行“感性認識”再進入點線面的位置關系的學習，是沒有必要的。與北師大版對比：北師大版先介紹簡單的幾何體、三視圖、直觀圖，接著學習點線面的位置關系，最后才學習多面體的面積體積公式，這樣的安排比較好。建議