秘密★啟用前綿陽市高中2020級第二次診斷性考試文科數(shù)學注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將答題卡交回．━、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若，則在復平面內(nèi)，復數(shù)所對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】化簡得，即可得復數(shù)所對應的點所在的象限.【詳解】解：因為，所以，即，所以復數(shù)所對應點位于第四象限.故選：D.2.已知，，若，則（）A.0或4 B.1或4 C.0 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的包含關系及集合元素的互異性即可求得的值.【詳解】且，或當時，，滿足題意；當時，得或當時，，滿足題意；當時，帶入集合中，不滿足集合得互異性.綜上：可取0，4故選：A3.由專業(yè)人士和觀眾代表各組成一個評委小組給文藝比賽參賽選手打分，其中觀眾代表憑個人喜好打分，專業(yè)人士執(zhí)行評分標準打分．如圖是兩個評委組對同一名選手打分的莖葉圖，則下列結論正確的是（）A.甲組的平均分高于乙組的平均分B.乙組更像是由專業(yè)人士組成的C.兩組的總平均分等于甲組的平均分和乙組的平均分的平均數(shù)D.兩組全部分數(shù)的方差等于甲組的方差和乙組的方差的平均數(shù)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)，求出甲乙兩組的平均分，可判斷A項；根據(jù)數(shù)據(jù)的分散集中程度，可判斷B項；根據(jù)甲乙兩組人數(shù)相同，可說明C項；根據(jù)總體方差公式，可判斷D項.【詳解】對于A項，甲組平均分為，乙組平均分為，故A項錯誤；對于B項，由莖葉圖可得，甲組分數(shù)分布更加集中，乙組的分數(shù)更為分散，所以甲組更像是由專業(yè)人士組成的，故B項錯誤；對于C項，因為甲乙兩組人數(shù)相同，所以兩組的總平均分等于甲組的平均分和乙組的平均分的平均數(shù)，故C項正確；對于D項，設甲組平均數(shù)為，方差為，乙組平均數(shù)為，方差為，總體平均數(shù)為，總體方差為.根據(jù)總體方差公式，可得，顯然，，故D項錯誤.故選：C.4.如圖，在邊長為2的等邊中，點E為中線BD的三等分點（靠近點D），點F為BC的中點，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的線性運算得，再利用數(shù)量積的計算公式計算即可.【詳解】在邊長為2的等邊中,BD為中線，則故選：A5.設命題：方程表示焦點在軸上的橢圓；命題：方程表示焦點在軸上的雙曲線，若為真，則實數(shù)的取值范圍（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由為真，判定命題及命題的真假，根據(jù)橢圓及雙曲線的定義分別求出命題及命題，即可求出的取值范圍.【詳解】因為命題：方程表示焦點在軸上的橢圓所以解得；因為命題：方程表示焦點在軸上的雙曲線所以解得又因為為真，故命題及命題都為真命題所以解得故選：A6.寒假即將來臨，秀秀計劃在假期閱讀《西游記》、《戰(zhàn)爭與和平》、《三國演義》、《水滸傳》四部著作，每周看一部，連續(xù)四周看完，則《三國演義》與《水滸傳》在相鄰兩周看完的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用捆綁法求出《三國演義》與《水滸傳》在相鄰兩周看完的排法數(shù)，再利用古典概型的公式求解即可.【詳解】將《三國演義》與《水滸傳》捆綁在一起當成一個元素有種排法，《三國演義》與《水滸傳》之間排序有種排法，故《三國演義》與《水滸傳》在相鄰兩周看完有種排法，則《三國演義》與《水滸傳》在相鄰兩周看完的概率故選：B.7.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，前n項和為，若，則n的值為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)條件列出等比數(shù)列基本量的方程，求出基本量，再利用等比數(shù)列的通項公式計算即可.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，若，則，無解；若，則，解得，，解得故選：C.8.函數(shù)的部分圖像如圖所示，且．則下列選項正確的是（）A. B.C.在區(qū)間上為減函數(shù) D.【答案】D【解析】【分析】結合圖像以及，計算未知數(shù)，得出，結合函數(shù)基本性質(zhì)分析即可.【詳解】觀察圖像可知，且，且，解得或，觀察圖像可知,故，則，綜上，故A錯誤；則，則，故B錯誤；時，，單調(diào)遞增，故C錯誤；，又結合圖像可知在區(qū)間上為減函數(shù)，，故，故D正確；故選：D9.設雙曲線的右焦點為，以原點為圓心，焦距為直徑長的圓與雙曲線在軸上方的交點分別為，，若，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的對稱性結合雙曲線的定義，利用點在在圓上，結合勾股定理可求得，即可得，從而可確定雙曲線的漸近線方程.【詳解】解：如圖，設雙曲線的左焦點為，連接由雙曲線與圓的對稱性可得，由由雙曲線的定義可得，所以，由點在圓上，所以，即，則，故，則，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：B.10.已知函數(shù)，，，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】先求時，函數(shù)的零點，再根據(jù)為偶函數(shù)，可得時，函數(shù)還有一個零點，由此可得答案.【詳解】當時，，所以不是函數(shù)的零點，因為，所以，所以為偶函數(shù)，當時，，，，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在時取得最大值，所以當時，有唯一零點，又函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關于軸對稱，所以在時，還有一個零點，綜上所述：函數(shù)的零點個數(shù)為.故選：A11.已知，點P滿足，直線，當點P到直線l的距離最大時，此時m的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由可求出點P的軌跡方程為，數(shù)形結合，當時，此時點P到直線l的距離最大，計算即可求得m的值.【詳解】，設，則，，，化簡得，即點P的軌跡方程為，圓心為，半徑為2，，化簡為，由，解得，即直線恒過定點，設定點為,如圖，當時，此時點P到直線l的距離最大，，，，，.故選：C.12.設，則x，y，z的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】若，則，，，構造、并并利用導數(shù)研究在上的單調(diào)性，即可判斷大小關系.【詳解】由，，，若，則，，，令且，則，所以在上遞減，故，即，令且，則在上遞減，若，則，可得，故上，遞增，而，且在上，所以，即，綜上，.故選：A【點睛】關鍵點點睛：由，則，，，構造、研究大小關系.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，則________．【答案】【解析】【分析】直接利用兩角和的正切公式計算即可.【詳解】故答案為：14.若變量x，y滿足不等式組，則的最小值是_______．【答案】【解析】【分析】問題化為直線與可行域有交點時數(shù)軸上的截距最小，數(shù)形結合找到最小時直線所過的點，即可得結果.【詳解】由約束條件可得可行域如下：要使最小，即直線與可行域有交點時數(shù)軸上的截距最小即可，由圖知：當過的交點時，.故答案為：15.已知函數(shù)，若對，都有成立，則實數(shù)a的最大值為___________．【答案】【解析】【分析】將變形為，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即在上恒成立，轉(zhuǎn)化為最值問題即可.【詳解】，，由得，整理得，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，又，，實數(shù)a的最大值為故答案為：.16.已知為拋物線：的焦點，過直線上任一點向拋物線引切線，切點分別為A，，若點在直線上的射影為，則的取值范圍為______．【答案】．【解析】【分析】設，，，利用導數(shù)的幾何意義確定切線方程后，得出切點弦所在直線方程，得直線過定點，從而確定在以為直徑的圓上，由到圓心的距離確定出的最大值與最小值，從而得范圍，注意點的特殊位置，的最大值取不到．【詳解】設，，，不妨設在軸上方，時，，，所以切線的方程為，代入得，又，∴，得，同理可得．因此直線的方程為，直線過定點，，∴在以為直徑的圓上，該圓圓心，半徑為1，由已知，，∴的最大值為，最小值為，時，直線方程為，此時，與軸垂直，點與點重合，即，點不可能與點重合，最大值取不到．所以的范圍是．故答案為：．【點睛】方法點睛：（1）直線與拋物線相切的切線方程：一種方法用導數(shù)的幾何意義求解，另一種方法由判別式等于0求解，由此可得過拋物線上的點的拋物線的切線方程為；（2）圓外的點到圓上點的距離的最值：求出圓外點到圓心距離，記圓半徑為，則這個距離的最大值為，最小值不．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（━）必考題：共60分．17.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且（1）求a的值；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由正弦定理邊化角，然后利用三角公式計算即可；（2）先利用數(shù)量積公式求出，再利用余弦定理可求得.【小問1詳解】，由正弦定理邊化角得，，；【小問2詳解】，，，解得18.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且為等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知，是否存在，使得恒成立?若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）存在，或；【解析】【分析】（1）由題設且，應用關系求數(shù)列通項公式；（2）由（1）知，構造且并利用導數(shù)研究單調(diào)性判斷是否存在最大值，即可得結論.【小問1詳解】由題設且，當時，，可得；當時，，則；由，故，所以是首項、公差均為1的等差數(shù)列，故.【小問2詳解】由（1）知：，要使，即恒成立，令且，則，若，即，則，在上，遞增，上，遞減，所以在有最大值，又，對于，當時，，當時，，綜上，，故存在或使恒成立.19.某縣依托種植特色農(nóng)產(chǎn)品，推進產(chǎn)業(yè)園區(qū)建設，致富一方百姓．已知該縣近年人均可支配收入如下表所示，記年為，年為，…以此類推．年份年份代號人均可支配收入（萬元）（1）使用兩種模型：①；②的相關指數(shù)分別約為，，請選擇一個擬合效果更好的模型，并說明理由；（2）根據(jù)（1）中選擇的模型，試建立關于的回歸方程．（保留位小數(shù)）附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．參考數(shù)據(jù)：，令，．【答案】（1）應選擇（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)越大，模型擬合效果越好，可確定所選模型；（2）令，利用最小二乘法可求得，進而得到回歸方程.【小問1詳解】，根據(jù)統(tǒng)計學知識可知：越大，模型擬合效果越好，應選擇模型.【小問2詳解】令，，，，又，，，關于的回歸方程為.20.已知點A為橢圓的左頂點，過點且斜率為的直線交橢圓于B，C兩點．（1）記直線AB，AC的斜率分別為，試判斷是否為定值?并說明理由；（2）直線AB，AC分別交直線于M，N兩點，當時，求線段MN長度的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先表示出，再設出直線方程，利用韋達定理代入即可求解.（2）首先表示出、點的坐標，再結合第一問，利用韋達定理得到然后得到關于的表達式，再結合的范圍，即可求解.小問1詳解】設、，由題可知，，則，，所以①.由題意，可設所在的直線方程為，與橢圓聯(lián)立可得可得，所以由韋達定理可知，，，又，，代入和，可得，將其代入①式，可得，所以,是定值.【小問2詳解】由（1）可知，設所在直線方程為，所在的直線方程為，則由題意可知、，又由（1）知，則，即，化簡可得，又因為，所以，則,即.21已知函數(shù)．（1）當時，求的極值；（2）設在區(qū)間上的最小值為，求及的最大值．【答案】（1）極大值，極小值0（2），的最大值為0，【解析】【分析】（1）由極值的概念求解，（2）根據(jù)的取值分類討論求解的單調(diào)區(qū)間后得，再由導數(shù)判斷單調(diào)性后求解最大值，【小問1詳解】當時，，，當或時，，當時，，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的極大值為，極小值為，【小問2詳解】，，當時，，在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上的最小值為，當時，當或時，，當時，，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上的最小值為，當時，同理得在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，在區(qū)間上的最小值為，若，在區(qū)間上的最小值為綜上，令，則，故在上單調(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞增，故的最大值為0，（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題做答．如果多做，則按所做的第一題記分．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22.在極坐標系中，若點為曲線上一動點，點在射線上，且滿足，記動點的軌跡為曲線．（1）求曲線的極坐標方程；（2）若過極點的直線交曲線和曲線分別于兩點，且的中點為，求的最大值．【答案】（1）或（或）（2）【解析】【分析】（1）當在線段上時，可確定或；當不在線段上時，設，采用相關點法可求得設點軌跡；綜合兩種情況可得結論；（2）當時，重合，不合題意；當，設，與曲線和曲線的極坐標方程聯(lián)立可得，由此用表示出，結合正弦型函數(shù)值域求法和的單調(diào)性可求得最大值.【小問1詳解】當在線段上時，由得：或；當不在線段上時，設，則，，，即，又，；綜上所述：曲線的極坐標方程為或（或）.【小問2詳解】若曲線為（或），此時重合，不合題意；若曲線為，設，由得：，由得：，是中點，，令，，，，即，又