初三數(shù)學圓周角定理及其運用

復習舊知：請說說我們是如何給圓心角下定義的，試回答？oAB頂點在圓心的角叫圓心角。oABC能仿照圓心角的定義，給下圖中象∠ACB這樣的角下個定義嗎？頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．問題探討：判斷下列圖形中所畫的∠P是否為圓周角？并說明理由。PPPP不是是不是不是頂點不在圓上。頂點在圓上，兩邊和圓相交。兩邊不和圓相交。有一邊和圓不相交。有沒有圓周角？有沒有圓心角？它們有什么共同的特點？它們都對著同一條弧⌒⌒⌒畫一個圓,再任意畫一個圓周角,看一下圓心在什么位置ABoCoABCoABC圓心在一邊上圓心在角內圓心在角外如圖,觀察圓周角∠ABC與圓心角∠AOC,它們的大小有什么關系●OABC●OABC●OABC圓周角和圓心角的關系1.首先考慮第一種情況：當圓心O在圓周角(∠ABC)的一邊(BC)上時,圓周角∠ABC與圓心角∠AOC的大小關系.∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠B+∠A.∵OA=OB，●OABC∴∠A=∠B.∴∠AOC=2∠B.即∠ABC=∠AOC.你能寫出這個命題嗎同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.第二種情況：如果圓心不在圓周角的一邊上,結果會怎樣2.當圓心O在圓周角(∠ABC)的內部時,圓周角∠ABC與圓心角∠AOC的大小關系會怎樣提示:能否轉化為1的情況過點B作直徑BD.由1可得:●O∴∠ABC=∠AOC.能寫出這個命題嗎同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.ABCD∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,●OABC第三種情況：如果圓心不在圓周角的一邊上,結果會怎樣3.當圓心O在圓周角(∠ABC)的外部時,圓周角∠ABC與圓心角∠AOC的大小關系會怎樣提示:能否也轉化為1的情況過點B作直徑BD.由1可得:●O∴∠ABC=∠AOC.你能寫出這個命題嗎同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.D∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,ABC●OABC鞏固練習：如圖，點A,B,C,D在同一個圓上，四邊形ABCD的對角線把4個內角分成8個角，這些角中哪些是相等的角？ABCD12345678·ABC1OC2C3歸納：

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．定理

半圓（或直徑）所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弦是直徑．在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等推論練習：2.如圖，圓心角∠AOB=100°，則∠ACB=___。OABCBAO.70°x1.求圓中角X的度數(shù)AO.X120°AO.X120°CCDB在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對弧一定相等嗎？為什么？在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等．ABCD在同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧相等.則∠D=∠A∴AB∥CD如圖,若AC=BD⌒⌒

問題1：如圖，AB是⊙O的直徑，請問：∠C1、∠C2、∠C3的度數(shù)是

。ABOC1C2C3

推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。問題2：若∠C1、∠C2、∠C3是直角，則∠AOB是。90°180°探究與思考：練一練1、如圖，在⊙O中，∠ABC=50°，則∠AOC等于（）A、50°；B、80°；C、90°；D、100°ACBOD2、如圖，△ABC是等邊三角形，動點P在圓周的劣弧AB上，且不與A、B重合，則∠BPC等于（）A、30°；B、60°；C、90°；D、45°CABPB練一練3、如圖，∠A=50°，∠AOC=60°BD是⊙O的直徑，則∠AEB等于（）A、70°；B、110°；C、90°；D、120°B4、如圖，△ABC的頂點A、B、C都在⊙O上，∠C＝30°，AB＝2，則⊙O的半徑是

。ACBODECABO解：連接OA、OB∵∠C=30°，∴∠AOB=60°又∵OA=OB，∴△AOB是等邊三角形∴OA=OB=AB=2，即半徑為2。23：已知⊙O中弦AB的等于半徑，求弦AB所對的圓心角和圓周角的度數(shù)。OAB圓心角為60度圓周角為

30度或

150度。在⊙O中，∠CBD=30°,∠BDC=20°,求∠A在⊙O中，∠CBD=30°,∠BDC=20°,求∠A

2、如圖，在⊙O中，AB為直徑，CB=CF,

弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E

求證：BE=EC⌒⌒練習:如圖AB是⊙O的直徑,C,D是圓上的兩點,若∠ABD=40°,則∠BCD=＿＿＿＿＿.ABOCD40°5.如圖，你能設法確定一個圓形紙片的圓心嗎？你有多少種方法？與同學交流一下．DABCOOO·方法一方法二方法三方法四AB練習ABECOD如圖所示，已知⊿ABC的三個頂點都在⊙O上，AD是⊿ABC的高，AE是⊙O的直徑.求證：∠BAE＝∠CAD思考：判斷正誤：1.同弧或等弧所對的圓周角相等（）2.相等的圓周角所對的弧相等（）3.90°角所對的弦是直徑（）4.直徑所對的角等于90°（）5.長等于半徑的弦所對的圓周角等于30°（）例如圖，⊙O直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于D，求BC、AD、BD的長．又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，解：∵AB是直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴AD=BD.例題3.求證：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，則這個三角形是直角三角形．（提示：作出以這條邊為直徑的圓.）·ABCO求證：△ABC

為直角三角形.已知：△ABC中，CO為AB邊上的中線，且CO=AB課本練習課堂練習1.如圖，OA、OB、OC都是⊙O的半徑，∠AOB=2∠BOC，∠ACB與∠BAC的大小有什么關系？為什么？

2.如圖，A、B、C、D是⊙O上的四個點，且∠BCD=100°，求∠BOD（所對的圓心角）和∠BAD的大小。探究3、如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使DC=BD，連接AC交⊙O于點F，點F不與點A重合。（1）AB與AC的大小有什么關系？為什么？（2）按角的大小分類，請你判斷△ABC屬于哪一類三角形，并說明理由。ACBDF·O1.AB、AC為⊙O的兩條弦，延長CA到D，使AD=AB，如果∠ADB=35°

，求∠BOC的度數(shù)。⌒⌒2、如