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基本概念

第一章數(shù)和數(shù)的運算

一、概念

（一）整數(shù)

1、整數(shù)的意義

自然數(shù)和0都是整數(shù)。

2、自然數(shù)

我們在數(shù)物體的時候，用來表示物體個數(shù)的1,2,3??…叫做自然數(shù)。

一個物體也沒有，用0表示。0也是自然數(shù)。

3、計數(shù)單位

一（個）

十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億……都是計數(shù)單位。其中一”是計數(shù)的基本單位。

10個1是10,10個10是100?…每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率都

0。這樣的計數(shù)法叫做十進制計數(shù)法。

4、數(shù)位

計數(shù)單位根據(jù)一定的挨次羅列起來，它們所占的位置叫做數(shù)位。

5、整數(shù)的讀法：從高位到低位，一級一級地讀。讀億級、萬級時，先根據(jù)

個級的讀法去讀，再在后面加一個億”或萬”字。每一級末尾的0都不讀出來，其它數(shù)位延續(xù)有幾個0都只讀一個零。

6、整數(shù)的寫法：從高位到低位，一級一級地寫，哪一個數(shù)位上一個單位也沒有，就在那個數(shù)位上

0。

7、一個較大的多位數(shù)，為了讀寫便利，經(jīng)常把它改寫成用萬”或億”作單位的數(shù)。有時還可以按照需要，省略這個數(shù)某一位后面的數(shù)，寫成近似數(shù)。

⑴精確?????數(shù)：在實際生活中，為了計數(shù)的簡便，可以把一個較大的數(shù)改寫成以萬或億為單位的數(shù)。改寫后的數(shù)是原數(shù)的精確?????數(shù)。例如把1254300000改寫

成以萬做單位的數(shù)是125430萬；改寫成以億做單位的數(shù)12.543億。

⑵近似數(shù)：按照實際需要，我們還可以把一個較大的數(shù)，省略某一位后面的尾數(shù)，用一個近似數(shù)來表示。例如：1302490015省略億后面的尾數(shù)是13

億。⑶四舍五入法：求近似數(shù)，看尾數(shù)最高位上的數(shù)是幾，比5小就舍去，是

5或大于5舍去尾數(shù)向前一位

1。這種求近似數(shù)的辦法就叫做四舍五入法。

其次位叫百分位,計數(shù)單位是百分之一（0.01）……小數(shù)部分最大的計數(shù)單位是非常之一，沒有最小的

計數(shù)單位。小數(shù)部分有幾個數(shù)位，就叫做幾位小數(shù)。如0.36是兩位小數(shù)，

3.066是三位小數(shù)

在小數(shù)里，每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率都

0。小數(shù)部分的最高分?jǐn)?shù)單位非常之一”和整數(shù)部分的最低單位一”之間的進率也

0。

2、小數(shù)的讀法：讀小數(shù)的時候，整數(shù)部分根據(jù)整數(shù)的讀法讀，小數(shù)點讀作點”，小數(shù)部分從左向右順次讀出每一位數(shù)位上的數(shù)字。

3、小數(shù)的寫法：寫小數(shù)的時候，整數(shù)部分根據(jù)整數(shù)的寫法來寫，小數(shù)點寫在個位右下角，小數(shù)部分順次寫出每一個數(shù)位上的數(shù)字。

4、比較小數(shù)的大?。合瓤此鼈兊恼麛?shù)部分，，整數(shù)部分大的那個數(shù)就大；

整數(shù)部分相同的，非常位上的數(shù)大的那個數(shù)就大；非常位上的數(shù)也相同的，百分位上的數(shù)大的那個數(shù)就大

5、小數(shù)的分類

⑴純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù)，叫做純小數(shù)。例如：0.25、0.368都

是純小數(shù)。

⑵帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零的小數(shù)，叫做帶小數(shù)。例如：3.25、5.26都是帶小數(shù)。

⑶有限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。例如:

41.7、25.3、0.23都是有限小數(shù)。

⑷無限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是無限的小數(shù)，叫做無限小數(shù)。例如：

4.33……3.1415926……

⑸無限不循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分，數(shù)字羅列無邏輯且位數(shù)無限，這樣的小數(shù)叫做無限不循環(huán)小數(shù)。例如：n

⑹循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分，有一個數(shù)字或者幾個數(shù)字依次不斷重復(fù)出

現(xiàn)，這個數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。例如：3.555……0.0333……12.109109…

一個循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不斷重復(fù)浮現(xiàn)的數(shù)字叫做這個循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。例如：3.99…的循環(huán)節(jié)是“9:0.5454…的循環(huán)節(jié)是“54。

⑺純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開頭的，叫做純循環(huán)小數(shù)。例如：3.111……0.5656……

⑻混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開頭的，叫做混循環(huán)小數(shù)。

3.1222……0.03333……

寫循環(huán)小數(shù)的時候，為了簡便，小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一個循環(huán)節(jié)，并在這個循環(huán)節(jié)的首、末位數(shù)字上各點一個圓點。假如循環(huán)節(jié)惟獨一個數(shù)字，就

只在它的上面點一個點。

（三）分?jǐn)?shù)

1、分?jǐn)?shù)的意義

把單位“1平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。

在分?jǐn)?shù)里，中間的橫線叫做分?jǐn)?shù)線；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)，叫做分母，表示把單位“1平均分成多少份；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)叫做分子，表示有這樣的多少份。

把單位“1平均分成若干份，表示其中的一份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)單位。

2、分?jǐn)?shù)的讀法：讀分?jǐn)?shù)時，先讀分母再讀分之”然后讀分子，分子和分母根據(jù)整數(shù)的讀法來讀。

3、分?jǐn)?shù)的寫法：先寫分?jǐn)?shù)線，再寫分母，最后寫分子，根據(jù)整數(shù)的寫法來

4、比較分?jǐn)?shù)的大小

⑴分母相同的分?jǐn)?shù)，分子大的那個分?jǐn)?shù)就大。

⑵分子相同的分?jǐn)?shù)，分母小的那個分?jǐn)?shù)就大。

⑶分母和分子都不同的分?jǐn)?shù)，通常是先通分，轉(zhuǎn)化成通分母的分?jǐn)?shù)，再比較大小。

⑷假如被比較的分?jǐn)?shù)是帶分?jǐn)?shù)，先要比較它們的整數(shù)部分，整數(shù)部分大的那個帶分?jǐn)?shù)就大；假如整數(shù)部分相同，再比較它們的分?jǐn)?shù)部分，分?jǐn)?shù)部分大的那個帶分?jǐn)?shù)就大。

5、分?jǐn)?shù)的分類

根據(jù)分子、分母和整數(shù)部分的不憐憫況，可以分成：真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)

⑴真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)小

1。

⑵假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù)，叫做假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)大于或等

1。

⑶帶分?jǐn)?shù)：假分?jǐn)?shù)可以寫成整數(shù)與真分?jǐn)?shù)合成的數(shù)，通常叫做帶分?jǐn)?shù)。

6、分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系及分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)

⑴除法是一種運算，有運算符號；分?jǐn)?shù)是一種數(shù)。因此，普通應(yīng)講述為被除數(shù)相當(dāng)于分子，而不能說成被除數(shù)就是分子。

⑵因為分?jǐn)?shù)和除法有密切的關(guān)系，按照除法中商不變”的性質(zhì)可得出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

⑶分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或者除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變,這叫做分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，它是約分和通分的依據(jù)。

7、約分和通分

⑴分子、分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)，叫做最簡分?jǐn)?shù)。

⑵把一個分?jǐn)?shù)化成同它相等但分子、分母都比較小的分?jǐn)?shù)，叫做約分。

⑶約分的辦法：用分子和分母的公約數(shù)（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最簡分?jǐn)?shù)為止。

⑷把異分母分?jǐn)?shù)分離化成和本來分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù)，叫做通分。

⑸通分的辦法：先求出本來幾個分母的最小公倍數(shù)，然后把各分?jǐn)?shù)化成用這個最小公倍數(shù)作分母的分?jǐn)?shù)。

&倒數(shù)

⑴乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。

⑵求一個數(shù)（0除外）的倒數(shù)，只要把這個數(shù)的分子、分母調(diào)換位置。

⑶1的倒數(shù)是1，0沒有倒數(shù)

（四）百分?jǐn)?shù)

1、百分?jǐn)?shù)的意義

表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù)，也叫做百分率或百分比。百分?jǐn)?shù)通常用"%"來表示。百分號是表示百分?jǐn)?shù)的符號。

2、百分?jǐn)?shù)的讀法：讀百分?jǐn)?shù)時，先讀百分之，再讀百分號前面的數(shù)，讀數(shù)時根據(jù)整數(shù)的讀法來讀。

3、百分?jǐn)?shù)的寫法：百分?jǐn)?shù)通常不寫成分?jǐn)?shù)形式，而在本來的分子后面加上百分號“％來表示。

4、百分?jǐn)?shù)與折數(shù)、成數(shù)的互化:

例如：二折就是30%，七五折就是75%，成數(shù)就是非常之幾，如一成就是牐闖砂俜質(zhì)褪?0%,則六成五就是65%。

5、納稅和利息：

稅率：應(yīng)納稅額與各種收入的比率。

利率：利息與本金的百分率。由銀行規(guī)定按年或按月計算。

利息的計算公式：利息二本金＞利率＞時光

6、百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的區(qū)分主要有以下三點：

⑴意義不同。百分?jǐn)?shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)?！彼荒鼙硎緝蓴?shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，不能表示某一詳細(xì)數(shù)量。如：可以說1米是5米

的20%，不行以說一段繩子長為20%米?！币虼?，百分?jǐn)?shù)后面不能帶單位名稱。分?jǐn)?shù)是把單位‘平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)”。分?jǐn)?shù)不僅可以表示兩數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，如：甲數(shù)是3,乙數(shù)是4,甲數(shù)是乙數(shù)的？；還可以表示一定的數(shù)量，如：犌B恕米等。

⑵應(yīng)用范圍不同。百分?jǐn)?shù)在生產(chǎn)、工作和生活中，常用于調(diào)查、統(tǒng)計、分析與比較。而分?jǐn)?shù)經(jīng)常是在測量、計算中，得不到整數(shù)結(jié)果時使用。

⑶書寫形式不同。百分?jǐn)?shù)通常不寫成分?jǐn)?shù)形式，而采納百分號％”來表示如：百分之四十五，寫作：45%;百分?jǐn)?shù)的分母固定為100,因此，不論百分?jǐn)?shù)的分子、分母之間有多少個公約數(shù)，都不約分；百分?jǐn)?shù)的分子可以是自然數(shù)，也可以是小數(shù)。而分?jǐn)?shù)的分子只能是自然數(shù)，它的表示形式有：真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)，計算結(jié)果不是最簡分?jǐn)?shù)的普通要通過約分化成最簡分?jǐn)?shù)，是假分?jǐn)?shù)的要化成帶分?jǐn)?shù)。

7、數(shù)的互化

⑴小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：本來有幾位小數(shù)，就在1的后面寫幾個零作分母，把本來的小數(shù)去掉小數(shù)點作分子，能約分的要約分。

⑵分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：用分母去除分子。能除盡的就化成有限小數(shù)，有的不能除盡，不能化成有限小數(shù)的，普通保留三位小數(shù)。

⑶一個最簡分?jǐn)?shù)，假如分母中除了2和5以外，不含有其他的質(zhì)因數(shù)，這個分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù)；假如分母中含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，這個分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)。