第第頁2023年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案和評分標準

2023年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準

第一試

一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）1．已知x,y為整數(shù)，且滿足(?1x111211)(2?2)??(4?4)，則x?y的可能的值有（）yxy3xyA.1個B.2個C.3個D.4個

2．已知非負實數(shù)x,y,z滿足x?y?z?1，則t?2xy?yz?2zx的最大值為（）

45912B．C．D．7916253．在△ABC中，AB?AC，D為BC的中點，BE?AC于E，交AD于P，已知BP?3，PE?1，則AE＝（）

A．A．

6B．2C．3D．624．6張不同的卡片上分別寫有數(shù)字2，2，4，4，6，6，從中取出3張，則這3張卡片上所寫的數(shù)字可以作為三角形的三邊長的概率是（）

A．

1223B．C．D．2534

35．設[t]表示不超過實數(shù)t的最大整數(shù)，令{t}?t?[t].已知實數(shù)x滿足x?11，則?18{x}?{}?

x3x（）

11B．3?5C．(3?5)D．1226．在△ABC中，?C?90?，?A?60?，AC?1，D在BC上，E在AB上，使得△ADE為等腰直角三角形,?ADE?90?,則BE的長為（）

1A．4?23B．2?3C．(3?1)D．3?1

2A．

二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）

C1111．已知實數(shù)a,b,c滿足a?b?c?1，???1，

a?b?cb?c?ac?a?b則abc?____．

9n82．使得不等式對唯一的整數(shù)k成立的最大正整數(shù)n??17n?k15DFAEB為．

3．已知P為等腰△ABC內(nèi)一點，AB?BC，?BPC?108?，D為AC的中點，BD與PC交于點E，如果點P為△ABE的內(nèi)心，則?PAC?．

4．已知正整數(shù)a,b,c滿足:1?a?b?c，a?b?c?111，b2?ac，則b?．

1

第二試

一、（本題滿分20分）設實數(shù)a,b滿足a(b?1)?b(b?2a)?40，a(b?1)?b?8，求值．

二．（本題滿分25分）如圖，在平行四邊形ABCD中，且滿足?ECD??ACB,E為對角線BD上一點，AC的延長線與△ABD的外接圓交于點F.證明：?DFE??AFB．

DAECFB

三．（本題滿分25分）設n是整數(shù)，如果存在整數(shù)x,y,z滿足n?x?y?z?3xyz，則稱n具有性質(zhì)P.在1，5，2023，2023這四個數(shù)中，哪些數(shù)具有性質(zhì)P，哪些數(shù)不具有性質(zhì)P？并說明理由.

2

3332211的?a2b2

2023年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準

第一試

一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）

x?yx2?y22x4?y4?22??44，顯然x,y均不為0，所以x?y＝0或1．【答】C.由已知等式得xyxy3xy3xy?2(x?y).若3xy?2(x?y)，則(3x?2)(3y?2)?4?.又x,y為整數(shù)，可求得?所以x?y?1或x?y??1.因此，x?y的可能的值有3個.

2．【答】A.t?2xy?yz?2zx?2x(y?z)?yz?2x(y?z)??x??1，?x??2，或??y?1.?y?2,1(y?z)241731734?2x(1?x)?(1?x)2??x2?x???(x?)2?，

4424477324易知：當x?，y?z?時，t?2xy?yz?2zx取得最大值.

7773．【答】B.因為AD?BC，BE?AC，所以P,D,C,E四點共圓，所以BD?BC?BP?BE?12，又BC?2BD，所以BD?6，所以DP?3.

又易知△AEP∽△BDP，所以

PE1AEPE，從而可得AE??BD??6?2.?DPBDDP34．【答】B.若取出的3張卡片上的數(shù)字互不相同，有2×2×2＝8種取法；若取出的3張卡片上的

數(shù)字有相同的，有3×4＝12種取法.所以，從6張不同的卡片中取出3張，共有8＋12＝20種取法.

要使得三個數(shù)字可以構成三角形的三邊長，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所寫數(shù)字有重復，所以，取出的3張卡片上所寫的數(shù)字可以作為三角形的三邊長的

82?.2051111115．【答】D.設x??a，則x3?3?(x?)(x2?2?1)?(x?)[(x?)2?3]?a(a2?3)，所

xxxxxx1122以a(a?3)?18，因式分解得(a?3)(a?3a?6)?0，所以a?3.由x??3解得x?(3?5)，顯

x211然0?{x}?1,0?{}?1，所以{x}?{}?1.

xxC6．【答】A.過E作EF?BC于F，易知△ACD≌△DFE，△EFB∽

情況共有4×2＝8種.因此，所求概率為

D△ACB.設EF?x，則BE?2x，AE?2?2x，DE?2(1?x)，

FBDF?AC?1，故12?x2?[2(1?x)]2，即x2?4x?1?0.又0?x?1，故

可得x?2?3.故BE?2x?4?23.

二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）

3

AE

1．【答】0.由題意知

111???1，所以1?2c1?2a1?2b(1?2a)(1?2b)?(1?2b)(1?2c)?(1?2a)(1?2c)?(1?2a)(1?2b)(1?2c)

整理得2?2(a?b?c)?8abc，所以abc?0.2．【答】144.

7k8k?17k?182k?1k?1871由k的唯一性，得所以?，??，?且?，????8n9n8n9nnn98727k8所以n?144.當n?144時，由??可得126?k?128，k可取唯一整數(shù)值127.故滿足條件的正整

8n9由條件得數(shù)n的最大值為144.

3．【答】48?.由題意可得?PEA??PEB??CED??AED，而?PEA??PEB??AED?180?，

所以?PEA??PEB??CED??AED?60?，從而可得?PCA?30?.

又?BPC?108?，所以?PBE?12?，從而?ABD?24?.所以?BAD?90??24??66?，

B11(?BAD??CAE)?(66??30?)?18?，22所以?PAC??PAE??CAE?18??30??48?.

?PAE?4．【答】36.設a,c的最大公約數(shù)為(a,c)?d，a?a1d，c?c1d，a1,c122ECPAD均為正整數(shù)且(a1,c1)?1，a1?c1，則b2?ac?d2a1c1，所以d|b，從而d|b，設b?b1d（b1為正整數(shù)），則有b12?a1c1，而(a1,c1)?1，所以a1,c1均為完全平方數(shù)，設a1?m2,c1?n2，則b1?mn，m,n均為正整數(shù)，且(m,n)?1，m?n.

又a?b?c?111，故d(a1?b1?c1)?111，即d(m?n?mn)?111.注意到m2?n2?mn?12?22?1?2?7，所以d?1或d?3.

若d?1，則m2?n2?mn?111，驗算可知只有m?1,n?10滿足等式，此時a?1，不符合題意，故舍去.

若d?3，則m2?n2?mn?37，驗算可知只有m?3,n?4滿足等式，此時a?27,b?36,c?48，符合題意.因此，所求的b?36.

22

4

第二試

一、（本題滿分20分）設實數(shù)a,b滿足a(b?1)?b(b?2a)?40，a(b?1)?b?8，求值．

解由已知條件可得ab?(a?b)?40，ab?(a?b)?8.

設a?b?x，ab?y，則有x?y?40，x?y?8，……5分聯(lián)立解得(x,y)?(2,6)或(x,y)?(6,2).……10分若(x,y)?(2,6)，即a?b?2，ab?6，則a,b是一元二次方程t2?2t?6?0的兩根，但這個方程的判別式??(?2)?24??20?0，沒有實數(shù)根；……15分

若(x,y)?(6,2)，即a?b?6，ab?2，則a,b是一元二次方程t2?6t?2?0的兩根，這個方程的判別式??(?6)?8?28?0，它有實數(shù)根.所以

22222222211的?a2b211a2?b2(a?b)2?2ab62?2?2?2?22???8.……20分2222ababab2二．（本題滿分25分）如圖，在平行四邊形ABCD中，且滿足?ECD??ACB,E為對角線BD上一點，AC的延長線與△ABD的外接圓交于點F.證明：?DFE??AFB．

證明由ABCD是平行四邊形及已知條件知?ECD??ACB??DAF.D……5分

又A、B、F、D四點共圓，所以?BDC??ABD??AFD，所以△ECDAE∽△DAF，……15分CBFEDCDAB.……20分??DFAFAF又?EDF??BDF??BAF，所以△EDF∽△BAF，故

?DFE??AFB.……25分

所以

333三．（本題滿分25分）設n是整數(shù)，如果存在整數(shù)x,y,z滿足n?x?y?z?3xyz，則稱