單向方差分析第1頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一一、問(wèn)題的提出先看一個(gè)例子：某醫(yī)生為研究一種降糖藥的療效，以統(tǒng)一的納入標(biāo)準(zhǔn)和排除標(biāo)準(zhǔn)選擇了39名II型糖尿病患者，隨機(jī)將其分為兩組進(jìn)行雙盲臨床試驗(yàn)。其中試驗(yàn)組19人，對(duì)照組20人，對(duì)照組服用公認(rèn)的降糖藥物。治療4周后測(cè)得其餐后2小時(shí)血糖的下降值(mmol/L)，結(jié)果如表1。問(wèn)治療4周后餐后2小時(shí)血糖下降值的兩組總體水平是否不同？第2頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一表1II型糖尿病患者治療4周后餐后2小時(shí)血糖的下降值(mmol/L)試驗(yàn)組對(duì)照組

－0.6 12.4

5.7 0.9

12.8 7.0

4.1 3.9

…

…

4.3 9.4

6.4 3.8

7.0 7.5

5.4 8.4

3.1 12.2

6.0第3頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

顯然，當(dāng)兩個(gè)樣本來(lái)自正態(tài)總體，且兩個(gè)總體方差相等時(shí)，我們可用兩樣本均數(shù)比較的t-檢驗(yàn)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。其檢驗(yàn)假設(shè)：為

其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：其中：第4頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

但在實(shí)際工作中，常常會(huì)遇到兩個(gè)以上的樣本均數(shù)的比較，如將上述問(wèn)題改為：某醫(yī)生為研究一種降糖藥的療效，以統(tǒng)一的納入標(biāo)準(zhǔn)和排除標(biāo)準(zhǔn)選擇了60名II型糖尿病患者，隨機(jī)將其分為三組進(jìn)行雙盲臨床試驗(yàn)。其中高劑量組21人，低劑量組19人，對(duì)照組20人，對(duì)照組服用公認(rèn)的降糖藥物。治療4周后測(cè)得其餐后2小時(shí)血糖的下降值(mmol/L)，結(jié)果如表2。問(wèn)治療4周后餐后2小時(shí)血糖下降值的三組總體水平是否不同？第5頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一表2

II型糖尿病患者治療4周后餐后2小時(shí)血糖的下降值(mmol/L)高劑量組低劑量組對(duì)照組

5.6－0.6 12.4

9.5

5.70.9

6.0

12.87.0

8.7

4.1 3.9

…

…

…

4.9

4.3 9.4

8.1

6.4 3.8

3.8

7.07.5

6.1

5.48.4

13.2

3.112.2

16.5

6.09.2第6頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

如何解決這個(gè)問(wèn)題呢？這里，先介紹幾個(gè)概念：要考察的指標(biāo)稱為試驗(yàn)指標(biāo)----本例即血糖的下降值；影響試驗(yàn)指標(biāo)的條件稱為因素（處理因素）----本例即藥物；因素所處的狀態(tài)稱為該因素的水平----本例藥物有3個(gè)不同的水平(三個(gè)不同的處理組)。

在一項(xiàng)試驗(yàn)中，如果影響試驗(yàn)指標(biāo)的因素只有一個(gè)，則稱該試驗(yàn)為單因素試驗(yàn)(本例)；如果影響試驗(yàn)指標(biāo)的因素有多個(gè)，則稱該試驗(yàn)為多因素試驗(yàn)。第7頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

我們?cè)谝蛩?藥物)所處的每一水平下進(jìn)行了獨(dú)立試驗(yàn)，其結(jié)果是一隨機(jī)變量。如果將因素的每一水平分別視為一個(gè)總體，各總體的均值分別為，則表中數(shù)據(jù)可視為來(lái)自三個(gè)不同總體的樣本值。如果三個(gè)總體都服從正態(tài)分布，且三個(gè)總體方差都相等（方差齊性），則本例的問(wèn)題即為如下的檢驗(yàn)假設(shè)問(wèn)題：下面，我們把這個(gè)問(wèn)題推廣到更一般的情形。第8頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

一般地，對(duì)于單因素試驗(yàn)，假設(shè)因素A有s個(gè)水平：A1，A2，…，As。在水平Aj(j=1,2,…,s)進(jìn)行nj次獨(dú)立試驗(yàn)，得到如下的試驗(yàn)結(jié)果：水平A1A2…As樣本觀測(cè)值…………樣本總和T?1T?2…T?s樣本均值…總體均值…表3單因素方差分析的資料格式第9頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

假定各水平Aj均為正態(tài)總體，

j=1,2,…,s，且各水平下的樣本之間相互獨(dú)立.

在這個(gè)假定之下，方差分析的任務(wù)就是要檢驗(yàn)如下的假設(shè)：其備擇假設(shè)為：

如何來(lái)檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè)呢？英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher從方差構(gòu)成的角度對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了探討，并于1923年首次給出了如下的平方和分解定理。H0:μ1=μ2=

…=μs

H1:μ1，μ2，…，μs

不全相等第10頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二、Fisher的平方和分解考慮總平方和

(totalsumofsquares)其中：是所有樣本觀測(cè)值的總平均；SS總又稱為總變差，它反映了全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的差異。記水平Aj下的樣本均值為第11頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)總平方和SS總可作如下的分解：注意到于是總平方和SS總可分解為第12頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一其中：中的各項(xiàng)表示在水平Aj下，樣本觀測(cè)值與樣本均值之間的差異，這種差異是由抽樣所引起的，故SS組內(nèi)

(Errorsumofsquares)稱為組內(nèi)離差平方和(又稱為誤差平方和)，且可以證明：SS組內(nèi)的自由度為n－s。中的各項(xiàng)表示水平Aj下的樣本均值與全部觀測(cè)數(shù)據(jù)的總平均值之間的差異，這種差異是由水平Aj及隨機(jī)誤差所引起的，故稱SS組間

(Modelsumofsquares)為組間平方和，且可以證明：SS組間的自由度為s－1。而第13頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一于是，F(xiàn)isher構(gòu)造了如下的統(tǒng)計(jì)量：并證明了這個(gè)F統(tǒng)計(jì)量服從自由度為(s－1，n－s)的F分布。

由于分子MS組間是由各水平組不同所引起的差異及隨機(jī)誤差所構(gòu)成的，而分母MS組內(nèi)僅由隨機(jī)誤差所構(gòu)成，故當(dāng)F≈1，可以認(rèn)為各水平組之間的差異不存在，即推斷H0成立；F＞＞1，則認(rèn)為各水平組之間存在差異，即推斷H0不成立。注意：F值非負(fù)。其中：

MS組間＝SS組間/(s－1)稱為組間均方(ModelMeanSquare)，

MS組間＝SS組內(nèi)/(n－s)稱為組內(nèi)均方(ErrorMeanSquare)。第14頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

對(duì)于事先給定的檢驗(yàn)水準(zhǔn)若，則p<，拒絕H0若，則p≥，不拒絕H0

至于F值究竟要大到何種程度才能拒絕原假設(shè)，可由F分布的臨界值來(lái)確定。通?？梢酝ㄟ^(guò)查F分布的界值表來(lái)決定。第15頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三、方差分析的步驟1.建立檢驗(yàn)假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)；2.按照表3的格式，整理并計(jì)算出相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量；3.計(jì)算出各平方和、自由度及相應(yīng)的均方；單因素試驗(yàn)方差分析表方差來(lái)源平方和自由度均方F值組間SS組間s－1MS組間組內(nèi)SS組內(nèi)n－sMS組內(nèi)

總SS總n－1

5.查F界值表，確定p值，并作出統(tǒng)計(jì)學(xué)推斷。4.列出如下形式的方差分析表：H0:μ1=μ2=

…=μs

H1:μ1，μ2，…，μs

不全相等第16頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

在方差分析的計(jì)算中，上述第2、3步計(jì)算量較大，在實(shí)際應(yīng)用中，通常是利用統(tǒng)計(jì)分析軟件來(lái)完成的。下面我們通過(guò)一個(gè)實(shí)例，介紹在SAS（StatisticsAnalysisSystem)軟件中進(jìn)行方差分析的方法。第17頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一四、實(shí)例

考慮本章開(kāi)頭的例子。首先提出檢驗(yàn)假設(shè)：

并取

為了進(jìn)行方差分析，我們調(diào)用SAS系統(tǒng)，并執(zhí)行如下的計(jì)算程序：第18頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Datafcfx;Inputx@@;If_n_<=20theng=1;If20<_n_<=39theng=2;If39<_n_theng=3;Cards;12.40.97.03.91.66.43.03.92.21.12.77.86.91.59.43.87.58.412.26.0-0.65.712.84.1-1.8-0.16.312.79.812.62.05.67.07.94.36.47.05.43.15.69.56.08.79.25.03.55.88.015.511.816.311.814.64.98.13.86.113.216.59.2;;;;Procanovadata=fcfx;Classg;Modelx=g;Run;這兩段程序提交運(yùn)行后，可得如下結(jié)果：第19頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一TheANOVAProcedureDependentVariable:x

SumofSourceDFSquaresMeanSquareFValuePr>FModel2176.76497688.3824885.540.0063Error57909.87152415.962658CorrectedTotal591086.636500上述結(jié)果即是