螞蟻怎樣走最近【基礎(chǔ)知識(shí)精講】本書主要學(xué)習(xí)研究應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際應(yīng)用問題.【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】1．在解一些綜合問題中，注意通過作輔助線構(gòu)造直角三角形解決問題.2．在實(shí)際問題中，建立直角三角形模型用于解決問題.【難題巧解點(diǎn)撥】【例1】已知一個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)都是整數(shù)，且周長(zhǎng)的量數(shù)等于面積的量數(shù).求這個(gè)三角形三邊長(zhǎng).[解]設(shè)三邊的長(zhǎng)分別為a、b、c，其中c為斜邊，則由②代入①得，即.∵ab≠0，∴ab－4a－4b＋8＝0∴（a、b為正整數(shù).）故b－4＝1，2，4，8.∴b＝5，6，8，12；a＝12，8，6，5；c＝13，10，10，13.∴三邊長(zhǎng)為6，8，10或5，12，13.【例2】直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC被點(diǎn)D、E三等分，且BC＝3AC.求證：∠AEC＋∠ADC＋∠ABC＝90°[證明]如圖1所示，以BC為邊作正方形BCMN，在MN上取點(diǎn)P、Q，使得MP＝PQ＝QN，連接AP、PC、DQ，則有圖1AM＝CD，MP＝AC，△ABC≌△PQD.易得△APM≌△DCA.∴AP＝AD且∠DAC＋∠PAM＝90°.即△APD是等腰直角三角形.∴∠ABC＋∠ADC＝∠PDQ＋∠ADC＝90°－∠ADP＝90°－45°＝45°，又由題意知∠AEC＝∠EAC＝45°，∴∠AEC＋∠ADC＋∠ABC＝90°.【例3】判斷由線段a、b、c組成的三角形是不是直角三角形，其中，b＝1，.[解]∵，，，∴∴由a、b、c能夠成斜邊為a的直角三角形.【例4】在△ABC中，BC最短.D為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且BC＝CD.求證：AB>AD.[點(diǎn)悟]證線段不等關(guān)系，想到利用三角形三邊關(guān)系定理，故必須把AB、AD放到一個(gè)三角形中去，由BC＝CD，想到可作∠BCD平分線CE，連結(jié)DE，則△BCE≌△DCE，有BE＝DE，在△AED中，AE＋DE>AD，AE＋BE>AD，即AB>AD.[證明]如圖2，用∠BCD的平分線CE交AB于E，連結(jié)ED，則∠1＝∠2.圖2∵BC＝CD，∠1＝∠2，CE＝CE，∴△BCE≌△DCE.∴BE＝DE，∵AE＋ED>AD，∴BE＋AE>AD.即AB>AD.【例5】如圖3，△ABC中，AD為中線.圖3求證：AB＋AC>2AD.[點(diǎn)悟]證不等關(guān)系，想到利用三角形三邊關(guān)系定理，故可構(gòu)造線段2AD，把AD延長(zhǎng)至E，使AE＝2AD，故△ACD≌△EBD，所以AC＝BE，又AB＋BE>AE，所以AB＋AC>2AD[證明]延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD，連結(jié)BE，則AE＝2AD，∵BD＝CD，∠1＝∠2，AD＝DE，∴△ACD≌△EBD，∴AC＝BE，∵AB＋BE>AE，∴AB＋AC>2AD.【例6】如圖4，△ABC是等腰Rt△，BC是斜邊，AD∥BC，BD交AC于E，且BD＝BC.求證：CE＝CD.圖4[點(diǎn)悟]要證CE＝CD，需證∠CED＝∠CDE.[證明]作DG⊥BC于G，作AF⊥BC于F，則DG＝AF＝BC.∵BC＝BD，∴DG＝BD，∴∠DEC＝30°.又∵BD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝30°，∠BDC＝（180°－∠DBC）＝75°，又∵∠DEC＝∠DBC＋∠ACB＝30°＋45°＝75°，∴∠DEC＝∠EDC＝75°，∴CE＝CD.[點(diǎn)撥]等腰直角三角形底邊上的高是一種常作的輔助線，它將原三角形分割成兩個(gè)全等的等腰直角三角形.7【例7】如圖5，△ABC的三邊長(zhǎng)分別是BC＝17，CA＝18，AB＝19，過△ABC內(nèi)的點(diǎn)P向△ABC的三邊分別作垂線PD、PE、PF，且BD＋CE＋AF＝27.求BD＋BF的長(zhǎng)度.圖5[解]設(shè)BD＝x，CE＝y(tǒng)，AF＝z，則DC＝17－x，EA＝18－y，F(xiàn)B＝19－z，連結(jié)PA、PB、PC.在Rt△PBD和Rt△PFB中，有：，同理，，.將以上三式相加，得，即17x＋18y＋19z＝487.又∵x＋y＋z＝27，∴x＝z－1.∴BD＋BF＝x＋(19－z)＝18.[點(diǎn)撥]本題證法體現(xiàn)了運(yùn)用方程思想解決幾何命題的方法，應(yīng)細(xì)心體會(huì).【例8】如圖6，在等腰Rt△ABC中，∠CAB＝90°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝1，PB＝3，PC＝，求∠CPA的大小.圖6[點(diǎn)悟]PA、PB、PC過于分散，可將其集中到一個(gè)或兩個(gè)三角形中，再用Rt△的知識(shí)解決.[解]作△ACQ≌△ABP，連結(jié)PQ，則AQ＝AP＝1，CQ＝PB＝3，∠QAC＝∠PAB．又∵∠PAB＋∠PAC＝90°，∴∠PAQ＝∠QAC＋∠CAP＝∠PAB＋∠PAC＝90°．∵，且∠QPA＝45°，在△CPQ中，，∵∠QPC＝90°，∴∠CPA＝∠QPA＋∠QPC＝135°．[點(diǎn)撥]本題巧用了勾股定理的逆定理，它是判定兩條直線垂直或判斷一個(gè)角是直角的常用方法．【例9】如圖7，有一個(gè)圓柱體，它的高為20，底面半徑為6．7．如果一只螞蟻要自圓柱體下底面的A點(diǎn)，沿圓柱形曲面爬到與A相對(duì)的上底面B點(diǎn)(如圖)．求爬行的最短路線的長(zhǎng)度．圖7[點(diǎn)悟]螞蟻?zhàn)訟點(diǎn)出發(fā)，沿圓柱體的曲面爬到B點(diǎn)，要在曲面上比較路線的長(zhǎng)短十分困難，而在平面上找兩點(diǎn)間的最短線路是容易的，因而我們假想把這個(gè)圓柱體沿BC剪開攤平(如圖1－33(b)所示)，此時(shí)A、B間的最短路線即為線段AB的長(zhǎng)度．[解]由已知，在Rt△ABC中(圖1－33(b))，BC＝20，AC等于圓柱體底面周長(zhǎng)的一半，即．由勾股定理得：．故螞蟻所爬最短距離約為29(長(zhǎng)度單位)．[點(diǎn)撥]解決此類求最短路線問題，常將空間的曲面展開成平面，然后利用勾股定理進(jìn)行求解．1．已知直角三角形的周長(zhǎng)為2＋，斜邊上的中線為1，求這個(gè)三角形的面積．2．已知△ABC中∠A＝30°，AC＝4，，求AB的長(zhǎng)．3．如圖8，在△ABC中，AB＝AC＝1，,…，在BC邊上，令,i＝1，2，…，2022.試算.圖84．試證：(1)在直角三角形中，弦的立方大于勾股的立方和；(2)直角三角形勾股平方的倒數(shù)和，等于弦上的高的平方的倒數(shù)．5．已知△ABC中，AD是高，AB＋DC＝AC＋BD，求證：AB＝AC．6．如圖9，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F是BC上的點(diǎn)，∠EAF＝45°，求證：．圖97．如圖10，M為線段AB的中點(diǎn)，D為MC上異于M的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作直線l⊥BC，A為l上任意一點(diǎn)．(1)求證：AB>AC；(2)若BC＝，MD＝12，求．圖108．如圖11，已知∠XOY＝60°，M是∠XOY內(nèi)的一點(diǎn)，它到OX的距離MA為2，它到OY的距離MB等于11，求OM的長(zhǎng)．圖11[參考答案]1．設(shè)三角形三邊為a、b、c且c為斜邊.則，c＝2，∴，又，∴ab＝1，∴.2．或.3．設(shè)是BC邊上任意一點(diǎn)，作BC邊上的高AD，則，（i＝1，2，…，2022）所以.4．（1）設(shè)△ABC中，∠C＝90°，則.（2）設(shè)△ABC中，∠C＝90°，令A(yù)B上的高CD＝h，則，∴.又由面積關(guān)系得，ab＝ch，∴，∴，∴.5．由得（AB＋BD）（AB－BD）＝（AC＋CD）（AC－CD），由已知得AB－BD＝AC－CD，∴AB＋BD＝AC＋CD，將上述兩式相加，得AB＝AC.6．如圖12，過點(diǎn)C作CG⊥BC且使CG＝BE，連結(jié)AG，F(xiàn)G.則△ABE≌△AC