第第頁數(shù)學建模學校選址問題模型

學校選址問題

摘要

本文針對某地新開發(fā)的20個小區(qū)建設(shè)配套小學問題建立了0-1規(guī)劃模型和優(yōu)化模型。為問題一和問題二的求解，提供了理論依據(jù)。

模型一：

首先：根據(jù)目標要求，要建立最少學校的方案列出了目標函數(shù)：

s??xi

i?116然后：根據(jù)每個小區(qū)至少能被一所學校所覆蓋，列出了20個約束條件;

最后：由列出的目標函數(shù)和約束函數(shù)，用matlab進行編程求解，從而得到，在每個小區(qū)至少被一所學校所覆蓋時，建立學校最少的個數(shù)是四所，并且一共有22種方案。

模型二：

首先：從建校個數(shù)最少開始考慮建?？傎M用，在整個費用里面，主要是固定費用，由此在問題一以求解的條件下，進行初步篩選，得到方案1,4,8的固定成本最少。

然后：在初步得出成本費用最少時，對每個這三個方案進一步的求解，求出這三個方案的具體的總費用，并記下這三套方案中的最小費用。

其次：對這三套方案進行調(diào)整，調(diào)整的原則是：在保證每個小區(qū)有學校覆蓋的條件下，用多個固定成本費用低的備選校址替換固定成本費用高的備選校址。在替換后，進行具體求解。

再次：比較各種方案的計算結(jié)果，從而的出了如下結(jié)論：選用10,11,13,15,16號備選校址的選址方案，花費最少，最少花費為13378000元。

最后：對該模型做了靈敏度分析，模型的評價和推廣。

關(guān)鍵字：最少建校個數(shù)最小花費固定成本規(guī)模成本靈敏度分析

1.問題重述

1.1問題背景：

某地新開發(fā)的20個小區(qū)內(nèi)需要建設(shè)配套的小學，以方便小區(qū)內(nèi)居民的的孩子上學。但是為了節(jié)省開支，建造的學校要求盡量的少，為此，設(shè)備選定的16個校址提供參考，各校址覆蓋的小區(qū)情況如表1所示：

表1-1備選校址表備選校址11,2,3,4,697,9,13,14,15,17,18,1922,3,5,8,11,20109,10,14,15,16,18,193451,4,7,8,9,11,13,141312,13，14,17,1865,8,9,1011,16,20149,10,14,15710,11,1516,19,20152,3,,5,11,2086,7,12,13,17,1816覆蓋小區(qū)1,4,6,7,3,5,11,2012111,2,4,6,7125,10,11,16,20,備選校址覆蓋小區(qū)2,3,4,5,81.2問題提出：

問題一、求學校個數(shù)最少的建校方案，并用數(shù)學軟件求解（說明你所使用的軟件并寫出輸入指令）。

問題二、設(shè)每建一所小學的成本由固定成本和規(guī)模成本兩部分組成，固定成本由學校所在地域以及基本規(guī)模學?；A(chǔ)設(shè)施成本構(gòu)成，規(guī)模成本指學校規(guī)模超過基本規(guī)模時額外的建設(shè)成本，它與該學校學生數(shù)有關(guān)，同時與學校所處地域有關(guān)。設(shè)第i個備選校址的建校成本ci可表示為

2000?100???i?(學生人數(shù)?600)，若學生人數(shù)超過600ci??i??50?0，否則?其中?i和?i由表1-2給出：

表1-2學校建設(shè)成本參數(shù)表（單位：百萬元）備選校址150.1593.50.1250.15103.50.1350.15113.50.1450.15123.50.1550.151320.05650.151420.05750.151520.0583.50.11620.05?i?i備選校址?i?i考慮到每一小區(qū)的學齡兒童數(shù)會隨住戶的遷移和時間發(fā)生變化,當前的精確數(shù)據(jù)并不能作為我們確定學校規(guī)模的唯一標準，于是我們根據(jù)小區(qū)規(guī)模大小用統(tǒng)計方法給出每個小區(qū)的學齡兒童數(shù)的估計值，見表1-3：

表1-3.各小區(qū)1到6年級學齡兒童數(shù)平均值（樣本均值）

小區(qū)學齡兒童數(shù)11202180323041205150618071808150910010160小區(qū)學齡兒童數(shù)11180122401321014220152801626017320183801936020300考慮總成本最低的建校方案。

2.模型假設(shè)與符號說明

2.1模型假設(shè)：

（1）入學的學生按照學校規(guī)劃的人數(shù)進行入學。

（2）學校的建立不受地區(qū)和學生人數(shù)的影響，一旦確定就可順利的建起。（3）所建立的學校的規(guī)模可大可小。

（4）各小區(qū)的學生上學不受交通擁擠等的客觀因素的影響。2.2符號說明xi(i?1，2，……16):備選的第個i校址；

s:一共要建立學校的個數(shù)；

?i(i=1,2,3……):第i個學校建校的固定成本；

?i(i=1,2,3……20):第i個學校建立的規(guī)模成本系數(shù)；第i個校址所需要花費的成本；ci:(i?1,2,3……16)：t:學生人數(shù)；gi(i?1,2,3……16):第i個校址中所容納學生人數(shù)；第i個小區(qū)入學人數(shù)；ai(i=1,2,3…20)：第i種方案的固定成本；mi(i=1,2,3……)：第i種方案的最少花費；wi(i=1,2,3……)：3.問題的分析

3.1問題一的分析

首先：根據(jù)題目要求每一個小區(qū)至少被一所學校所覆蓋，并且要使的建立的學校個數(shù)最少，為讀取數(shù)據(jù)方便可先將表1-1的數(shù)據(jù)進行加工。

然后：在第一步完成后，利用加工后的表格，根據(jù)建立學校個數(shù)最小建立目標函數(shù)，每一個小區(qū)至少能被一所學校所覆蓋，建立約束方程組。

最后：運用matlab進行編程，進行運算，求解最少建校的方案，進行整理并用格列出。

3.2問題二的分析

首先：從表1-2中給定的數(shù)據(jù)可知：建校固定成本和規(guī)模成本最低的是13,14,15,16號備選校址，其次是8,9,10,11,12號備選地址,費用最高的是1,2,3,4,5,6,7號備選地址。

然后：先從建校個數(shù)最少開始考慮建校的總費用，在問題一種可得到多種建校最少的方案，要進行初步篩選，因為在規(guī)模成本中，費用最高的是備選學校1,2,3,4,5,6,7中，費用為：

0.15*2000*100/50?600元/每人

整個小區(qū)里人學年齡兒童的總?cè)藬?shù)：

t=?ai=4320（1）

i=120除去每所學校基本容納600人后，最大的規(guī)模成本費用是：

015.（4320-4*600）600=172800

該費用遠小于13,14,15,16號備選校址中的固定成本2000000元，所以在建校個數(shù)相同時，費用的高低主要取決于固定成本，固定成本高，使整個建校方案成本高，固定成本低，是整個建校的成本減少，所以在選用地址時，優(yōu)先考慮13,14,15,16號地址其次8,9,10,12號地址，最后1,2,3,4,5,6,7號地址。

其次：在初步篩選出的學校備選地址中，算出這些方案中花費的成本，比較并記下在建立最少個數(shù)學校時，花費最省的方案。

再次：對已選出的最少建校方案中進行調(diào)整，調(diào)整的原則是：在保證每個小區(qū)至少有一所學校所覆蓋，將一所固定費用高的學校用兩所固定費用小的代替。

最后：比較出各方案的費用，得出建立學校的最小費用。

4.模型建立與求解

4.1模型一的求解：

根據(jù)問題一的分析，建立模型一：要建立學校個數(shù)最少，其目標函數(shù)是：

s??xi（2）

i?116將表1-1進行加工，將第ai個小區(qū)被第xi備選校址覆蓋記為1，否則為0，得到表4-1；

表4-1各個備選校址覆蓋的小區(qū)

小1區(qū)1234567891011121314151610011000001000002110000000010001131110000000000011410011000001000015011001000001001161001000100100000700011001100000008010011000000000190000110011000100100000011001010100110110111000010010120001000100001000130000100110001000140000100011001100150000001011000100160000011001010000170000000110001000180000000111001000190000001011000000200110011000010010橫坐標：小區(qū)編號縱坐標：備選校址的編號

由每個小區(qū)至少能被一所學校所覆蓋及表4-1可得約束條件如下：

?x1?x4?x5?x11?1?x?x?x?x?x?1?12111516?x1?x2?x3?x15?x16?1??x1?x4?x5?x11?x16?1?x?x?x?x?x?116?23612?x1?x4?x8?x9?x11?1?x?x?x?x?1?4589?x2?x5?x6?x16?1??x5?x6?x9?x10?x14?1?x?x?x?x?x?1?67101214st?(3)?x2?x3?x5?x6?x7?x12?x15?1?x4?x8?x13?1??x5?x8?x9?x13?1?x?x?x?x?x?1?59101314?x7?x9?x10?x14?1??x6?x7?x10?x12?1?x?x?x?1?8913?x8?x9?x10?x13?1?x?x?x?1?7910??x2?x3?x6?x7?x12?x15?1運行附錄A的程序，解出得到滿足該條件的建校方案有22種，分別如下表4-2：

表4-2建立四所學校的選址各種方案

方案校址方案校址方案校址方案校址15,8,10,1572,8,10,11132,4,6,9194,6,9,1525,7,8,1682,5,8,10141,6,9,13202,10,11,1335,7,8,1592,5,7,8151,6,8,10212,4,8,1044,9,12,16102,4,10,13161,6,8,9222,4,