二次函數(shù)與一元二次方程教學(xué)設(shè)計(jì)二次函數(shù)與一元二次方程教學(xué)設(shè)計(jì)1．內(nèi)容解析“一元二次方程和二次函數(shù)是”是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中重要的內(nèi)容，其內(nèi)容的復(fù)雜性、綜合性和思想性都很強(qiáng)，在第三學(xué)段占有重要地位．本節(jié)，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生繼續(xù)探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，為后面要學(xué)習(xí)的實(shí)際問題與二次函數(shù)等相關(guān)知識(shí)做好鋪墊，起著承上啟下的作用．在教科書中，首先回顧了從一次函數(shù)的角度看一元一次方程的有關(guān)內(nèi)容，在此基礎(chǔ)上提出了課題，認(rèn)識(shí)二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系．為了更好地理解本節(jié)課的內(nèi)容，教材編寫者設(shè)置了一個(gè)小球飛行問題．在這個(gè)問題中，將小球飛行的某一高度的值代入到函數(shù)解析式中，就得到了一元二次方程，使所要解決的問題轉(zhuǎn)化為解一元二次方程．由此引出，已知二次函數(shù)的值求自變量的值，可以看作解一元二次方程；反過來，解方程可以看作已知二次函數(shù)的值為0，求自變量x的值．然后利用二次函數(shù)的圖象討論一元二次方程．接著教科書中，由“思考”欄目引出，二次函數(shù)的圖象與x軸的公共點(diǎn)的橫2．目標(biāo)解析（1）對(duì)于二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，學(xué)生能夠理解其實(shí)質(zhì)是一元二次方程的解；同樣對(duì)于一元二次方程的解，可以看作是二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，兩者是統(tǒng)一的．因此可以用二次函數(shù)的圖象求相應(yīng)的一元二次方程的解，一元二次方程的解可以有其幾何直觀表示．（2）理解方程有兩個(gè)不等的實(shí)根、兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)和沒有實(shí)根，與其所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為兩個(gè)、一個(gè)和沒有之間的關(guān)系．（3）針對(duì)一元二次方程，如果其有實(shí)數(shù)根，則學(xué)生能將其轉(zhuǎn)化為畫對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象，并通過讀圖象與x軸交點(diǎn)，估計(jì)方程的根．三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，能夠利用圖象解一元一次方程及不等式（組）．本節(jié)課，學(xué)生可以利用類比方法繼續(xù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系．這樣安排一方面可以深化學(xué)生對(duì)一元二次方程的認(rèn)識(shí)，另一方面又可以運(yùn)用二次函數(shù)解決一元二次方程的有關(guān)問題．由于二次函數(shù)、一元二次方程較一次函數(shù)、一元一次方程在復(fù)雜性、綜合性和思想性上都有所加強(qiáng)，因而其學(xué)習(xí)和理解的難度相應(yīng)加大．特別是二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與所對(duì)應(yīng)一元二次方程的解的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，學(xué)生理解起來比較困難．突破這一難點(diǎn)，可以借助信息技術(shù)手段．例如，解方程時(shí)，用幾何畫板軟件畫出相應(yīng)拋物線，顯示拋物線與x軸的公共點(diǎn)的坐標(biāo)，就能得出相應(yīng)方程的根，如果對(duì)應(yīng)的拋物線與x軸沒有公共點(diǎn)，則說明一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根．本課的教學(xué)難點(diǎn)是二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)和一元二次方程的根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系．四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）復(fù)習(xí)提問，明確結(jié)論1．解一元一次方程；2．畫一次函數(shù)的圖象，并指出函數(shù)的圖象與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是什么？問題1一元一次方程與一次函數(shù)有什么聯(lián)系？師生活動(dòng)：學(xué)生解方程和畫圖象，回顧一元一次方程與其對(duì)應(yīng)一次函數(shù)的關(guān)系，明確關(guān)于x的一元一次方程的解就是一次函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；反之也成立．【設(shè)計(jì)意圖】通過回顧一次函數(shù)與一元一次方程的聯(lián)系，為后面用類比的方法繼續(xù)探索二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系做鋪墊．培養(yǎng)學(xué)生的形成解決一類問題的通用方法的思維品質(zhì)．（二）創(chuàng)設(shè)情境，探究新知問題2如圖22．2-1，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時(shí)，球的飛行路線將是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，球的飛行高度h（單位：m）與飛行時(shí)間t（單位：s）之間具有關(guān)系：考慮以下問題：（1）球的飛行高度能否達(dá)到15m？如能，需要多少飛行時(shí)間？（2）球的飛行高度能否達(dá)到20m？如能，需要多少飛行時(shí)間？（3）球的飛行高度能否達(dá)到20．5m？為什么？（4）球從飛出到落地要用多少時(shí)間？師生活動(dòng)：想一想：（1）關(guān)系式中的兩個(gè)變量及所表示的意義？（2）當(dāng)h取一些具體值時(shí)，你得到的關(guān)于t的哪些一元二次方程？（3）如何求這些一元二次方程的根呢？畫一畫：畫出的圖象，觀察圖象，體會(huì)以上問題的答案．說一說：你能結(jié)合所畫圖象指出為什么有兩個(gè)時(shí)間球的高度是15m或0m？為什么只在一個(gè)時(shí)間球的高度是20m?……議一議：二次函數(shù)的圖象與一元二次方程的解有什么關(guān)系？【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生直觀感受生活中的現(xiàn)象，體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．通過四個(gè)問題的逐漸加深，把二次函數(shù)和二次方程聯(lián)系起來，直觀的感受到二次函數(shù)和二次方程之間的聯(lián)系．問題3已知二次函數(shù)的值為3，求自變量x的值？師生活動(dòng)：學(xué)生將該函數(shù)轉(zhuǎn)化為解方程．得其兩根；教師指出解方程就是已知二次函數(shù)的值為0，求自變量x的值．這兩者是統(tǒng)一的．師生共同歸納：一元二次方程的兩個(gè)根為，則拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生通過計(jì)算、觀察、思考、交流形成初步的結(jié)論——求二次函數(shù)某個(gè)函數(shù)值的時(shí)候可轉(zhuǎn)化為解一元二次方程．（三）問題探究，深入思考問題4下列二次函數(shù)的圖象與x軸有沒有公共點(diǎn)？若有，求出公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)；當(dāng)x取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，函數(shù)的值是多少？．由此，你能得出相應(yīng)的一元二次方程嗎？直接寫出它的根．師生活動(dòng)：學(xué)生結(jié)合圖象發(fā)現(xiàn):（1）的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)是-2，1;當(dāng)x取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，函數(shù)的值是0．由此得出方程的根是-2，1．（2）的圖象與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)，這點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3．當(dāng)x＝3時(shí)，函數(shù)的值是0．由此得出方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根3．（3）的圖象與x軸沒有公共點(diǎn)，由此可知，方程沒有實(shí)數(shù)根．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生通過觀察函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與一元二次方程的根的關(guān)系，并體會(huì)一元二次方程根的個(gè)數(shù)與二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)的關(guān)系．讓學(xué)生充分感受到“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想．（四）歸納總結(jié)，形成結(jié)論問題5你能根據(jù)剛才的探究，完成下列表格嗎？二次函數(shù)的圖象和x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)一元二次方程的根一元二次方程根的判別式Δ=b2-4ac2兩不等實(shí)數(shù)根1兩相等實(shí)數(shù)根0無實(shí)數(shù)根師生活動(dòng)：學(xué)生完成表格，教師及時(shí)發(fā)現(xiàn)和糾正學(xué)生出現(xiàn)的問題．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生運(yùn)用自己的語言歸納結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力，教師出示表格，更有利于學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)“交點(diǎn)個(gè)數(shù)”與“根的個(gè)數(shù)”之間的聯(lián)系，讓學(xué)生形成系統(tǒng)化的知識(shí)體系．（五）例題示范，學(xué)以致用例利用函數(shù)圖象求方程的實(shí)數(shù)根（精確到0.1）．師生活動(dòng)：學(xué)生畫出圖象，嘗試由圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，讀出的近似解．教師借助幾何畫板，畫出圖象，并通過軟件的度量功能，近似地得到方程的解．教師強(qiáng)調(diào)：由圖象求得的根，因?yàn)榇嬖诋媹D和讀數(shù)的誤差，一般是近似的．若要得到更為精確的近似解，可以用教科書介紹的方法（二分法）．【設(shè)計(jì)意圖】通過設(shè)計(jì)本例題，讓學(xué)生理解畫二次函數(shù)的圖象也可以求一元二次方程的近似解．這也是學(xué)生難以理解的地方，借助信息技術(shù)的繪圖及度量功能，直觀演示，降低學(xué)生理解的難度．（六）練習(xí)鞏固，加深理解1．填空：已知二次函數(shù)的圖象如圖所示：圖象與x軸有個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則方程有個(gè)根，方程的根是；2．用圖象法求方程的根．【設(shè)計(jì)意圖】通過練習(xí)，加深學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解，讓學(xué)生感受到成功的喜悅．（七）歸納小結(jié)，反思提高師生共同回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問題：（1）這節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)？（2）在用圖象法解一元二次議程理要注意哪些問題？（3）這節(jié)課你體會(huì)到了哪些數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想？（八）布置作業(yè)：教科書習(xí)題22．2第１題，第２題．五、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1．拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有()．A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)【設(shè)計(jì)意圖】考查對(duì)二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)的理解．2．根據(jù)下列表格的對(duì)應(yīng)值，判斷方程一個(gè)解x的范圍是()．x2．232．242．252．26-0．06-0．020．030．09A．2<x<2．23B．2．23<x<2．24C．2．24<x<2．25D．2．25<x<2．26【設(shè)計(jì)意圖】考查將一元二次方程的根轉(zhuǎn)化為拋物線與x軸交點(diǎn)