《正弦定理》學案一、知識梳理1．在△ＡＢＣ中，A>Ba>bsinA>sinB．2．在△ＡＢＣ中，A+B+C=,,,3．若為銳角，則＞A>-BsinA>cosBcosA<sinB．4．=ah．(h表示a邊上的高)5．正弦定理的另一個作用是能夠進行邊角互化，應用此法可根據(jù)條件判斷三角形形狀或證明三角形中的公式，但要注意三角形和三角函數(shù)的有關(guān)知識．題型一：判斷三角形的形狀．例1：在△ＡＢＣ中，已知＝＝，試判斷△ＡＢＣ的形狀．解：令＝ｋ，由正弦定理，得．代入已知條件，得＝＝，即tanＡ＝tanＢ＝tanＣ．又Ａ，Ｂ，Ｃ∈（０，π），所以Ａ＝Ｂ＝Ｃ，從而△ＡＢＣ為正三角形．點評:判斷三角形的形狀，必須深入研究邊與邊的大小關(guān)系，角與角的大小關(guān)系，是否角相等？有無直角或鈍角?一般有兩種轉(zhuǎn)化方向，要么轉(zhuǎn)化為邊，要么轉(zhuǎn)化為角．通過正弦定理，可以實現(xiàn)邊角互化．題型二：正弦定理的應用．例2．在△ＡＢＣ中，tanA=,tanB=,且最長邊的長為l,求：（1）角C,（2）最短邊的長解：（1）tan（A+B）==1,C=（2）tanA>tanB，且C為鈍角，故b最小，c最大，由tanB=得sinB=由正弦定理得，最短邊長b=l．點評:利用正弦定理解三角形中，要注意三角形和三角函數(shù)的有關(guān)知識．備選題：正弦定理的綜合應用．例3：已知△ABC的面積為1，tanB=,tanC=-2,求△ABC的邊長以及△ABC外接圓的面積．解：tanB=，0<B<sinB=．cosB=又tanC=-2,<C<sinC=,cosC=―則sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=(―)+=,a==b則S=absinC=b=1解得b=,于是a=再由正弦定理得c==外接圓的直徑2R==R=,于是外接圓的面積的面積S==點評：綜合應用同角三角函數(shù)關(guān)系式，正弦定理和三角形的面積公式進行計算．二、點擊雙基1．在△ABC中，角均為銳角，且則△ABC的形狀是（）A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形解：都是銳角，答案：C2．在中，，則()A．B．C．D．解：A=120,B=C=30答案：D3．在△ABC中，若，則△ABC的形狀是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能確定D．等腰三角形解：答案:B4．在△ABC中，若則一定大于，對嗎？填_________（對或錯）解：則答案：對5．在△ABC中，若_________．解：答案：三、課后作業(yè)（一）選擇題1．在△ABC中，若，，則△ABC的形狀是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形解：a=b+cA=90B+C=90,cosC=sinB又sinB=,B=45=C答案：C2．在△ABC中，已知b=6，c=10，B=30°，則解此三角形的結(jié)果是（）A．無解B．一解C．兩解D．解的個數(shù)不能確定解：=，sinC==,有兩解答案：C3．已知△ABC中，，，三角形面積，則角A等于（）A． B．C．或D．或解：由可得，∴或．答案：D4．已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶∶2，則A∶B∶C等于()A．1∶2∶3 B．2∶3∶1C．1∶3∶2 D．3∶1∶2解：a∶b∶c＝1∶∶2c=a+b△ABC是直角三角形且C=90，A=30,B=60答案：A5．在△ABC中，若，則△ABC的形狀是（）A．直角三角形B．等邊三角形C．不能確定D．等腰三角形解：，答案：等腰三角形6．在△ABC中，∠A=60°,a=EQ\r(,6),b=4,那么滿足條件的△ABC()A．有一個解B．有兩個解C．無解D．不能確定解：bsinA=2a<bsinA不能構(gòu)成三角形答案：D7．已知、、為的三個內(nèi)角、、的對邊，向量，．若，且，則角、的大小分別為（）A． B． C． D．解：∵∴，又，∴．答案：C8．△ABC中，則△ABC的周長為（）A．B．C．D．解：在中，由正弦定理得：化簡得AC=，化簡得AB=，所以三角形的周長為：3+AC+AB=3++=3+．答案：D（二）填空9．在中，若，且，則，，．解：a:b:c=4:5:64，5，6．10．若在△ABC中，則=_______．解：答案：11．在銳角中，則的值等于，的取值范圍為．解:設(shè)由正弦定理得由銳角得，又，故，答案：2，（三）解答題12．在△ABC中，已知=,且sinAsinB=sinC,判斷△ABC的形狀．解：由==b-a=ab又sinAsinB=sinC，由正弦定理得ab=cb-a=c即b=a+c．△ABC為直角三角形．13．在中，，．（1）求角C的大??；（2）若的最長邊為，求最短邊的長．解：（1）∵，∴=又∵角C為的內(nèi)角，∴．（2）∵，∴為最長邊，，又∵，、∴，角最小，邊最短，由得，由正弦定理：，得．所以最短邊的長為．14．已知ΔABC的三個內(nèi)角A、B．C成等差數(shù)列，其外接圓半徑為1，且有．（1）求A、B．C的大?。唬?）求ΔABC