第11章

矩陣位移法

1.概述結(jié)點(diǎn)：桿件交匯點(diǎn)、剛度變化點(diǎn)、支承點(diǎn)。有時(shí)也取荷載作用點(diǎn)。圖中1、2、3、4點(diǎn)均為結(jié)點(diǎn)。

單元：兩結(jié)點(diǎn)間的等直桿段。圖中1-3、2-4、3-4為

單元。編碼：黑的結(jié)點(diǎn)編號(hào)稱整體碼。紅的1、2局限于單元，稱

局部碼。坐標(biāo)：蘭的坐標(biāo)稱

整體坐標(biāo)。紅的x、y局限于單元，稱局部坐標(biāo)1342xy121122yx右手系①②③將結(jié)構(gòu)分解為桿件集合，為進(jìn)行分析，事先需做下面稱為離散化的工作對(duì)于如下所示的結(jié)構(gòu)，離散化時(shí)需先做以下的工作2.單元?jiǎng)偠确匠袒驹恚涸趶椥孕∽冃螚l件下，疊加原理成立。已有知識(shí)：轉(zhuǎn)角位移方程、單跨梁形常數(shù)和載常數(shù)。目的：像位移法一樣，通過“一拆、一合”來解決結(jié)構(gòu)分析。為此，必須首先掌握單元的特性。利用疊加原理單元?jiǎng)偠确匠唐矫胬瓑?(桁架)單元EE連續(xù)梁單元利用疊加原理單元?jiǎng)偠确匠虅偠染仃嚨刃ЫY(jié)點(diǎn)荷載矩陣不考慮軸向變形的平面梁柱單元q(x)根據(jù)形、載常數(shù)，利用疊加原理可得梁柱單元的單元?jiǎng)偠确匠虨閱卧獎(jiǎng)偠染仃?應(yīng)熟記)是轉(zhuǎn)角位移方程的矩陣表示單元桿端位移矩陣單元等效結(jié)點(diǎn)荷載矩陣向上滿跨均布荷載q作用逆時(shí)針滿跨均布力偶m作用根據(jù)單跨梁的載常數(shù)，可得計(jì)軸向變形的平面自由式梁柱單元單元?jiǎng)偠染仃嚳筛鶕?jù)疊加原理得到拉壓梁柱這一結(jié)果對(duì)應(yīng)的桿端位移矩陣如何？單元等效結(jié)點(diǎn)荷載可同理疊加得到補(bǔ)充單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)根據(jù)反力互等定理，單元?jiǎng)偠染仃囈欢ㄊ菍?duì)稱矩陣。除連續(xù)梁單元?jiǎng)偠染仃囃?，其它三種單元?jiǎng)偠染仃囀瞧娈惖摹＝忉屢唬簭臄?shù)學(xué)上看，因?yàn)榇嬖谙嚓P(guān)的行、列，所以對(duì)應(yīng)的行列式為零，矩陣不可逆。解釋二：從物理概念上看，因?yàn)闂U端相當(dāng)于沒有約束（均可位移），自由體系在平衡外力作用下，可以產(chǎn)生慣性運(yùn)動(dòng)，所以無法由平衡的外荷唯一地確定位移。剛度矩陣元素kij的物理意義為：單元僅發(fā)生第個(gè)j桿端單位位移時(shí)，在第個(gè)i桿端位移對(duì)應(yīng)的約束上所需施加的桿端力。3.坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題

在搞清單元特性后，像位移法一樣，需將單元拼裝回去。在結(jié)點(diǎn)處位移自動(dòng)滿足協(xié)調(diào)條件的基礎(chǔ)上，令全部結(jié)點(diǎn)平衡，即可建立求解位移的方程，這是下一節(jié)將討論的內(nèi)容。除連續(xù)梁外，一般結(jié)構(gòu)單元不全同方位，為保證協(xié)調(diào)和平衡，應(yīng)將桿端位移和桿端力都轉(zhuǎn)換成統(tǒng)一的，對(duì)整體坐標(biāo)的量，因此要先解決坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題。下面先討論自由式梁單元的轉(zhuǎn)換問題。力的轉(zhuǎn)換位移的轉(zhuǎn)換將局部量向整體量方向投影，可得將整體量向局部量方向投影，可得第三、六兩個(gè)量不存在轉(zhuǎn)換問題。如果記結(jié)點(diǎn)位移坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為單元桿端位移坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為因此位移力剛度方程的轉(zhuǎn)換力轉(zhuǎn)換剛度方程位移轉(zhuǎn)換如果記整體坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃嚍閯t整體坐標(biāo)單元?jiǎng)偠确匠虨榫植孔鴺?biāo)連續(xù)梁單元需要進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換嗎？連續(xù)梁的局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)一致，所以不需要轉(zhuǎn)換。桁架單元如何進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換？力的轉(zhuǎn)換位移的轉(zhuǎn)換第一種做法第二種做法位移擴(kuò)展為剛度矩陣改為轉(zhuǎn)換矩陣局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)成900時(shí)，局部單剛和整體單剛間有何關(guān)系？局部坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃囌w坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃嘥o474.整體分析以圖示簡例來說明圖中有兩套編號(hào)，紅的是單元桿端編號(hào)，黑的是結(jié)構(gòu)整體編號(hào)。4-1)結(jié)點(diǎn)示意121221①②③圖中藍(lán)色的表示結(jié)點(diǎn)荷載（已知），紅色的表示桿端力（未知的），、分別①、②單元桿端力子矩陣。對(duì)1、4結(jié)點(diǎn)“荷載”含有未知反力。24-2)豎結(jié)點(diǎn)平養(yǎng)衡由示意與圖可見研，結(jié)構(gòu)兼結(jié)點(diǎn)的霞平衡方侮程為121221①②③2134若記2134則平衡方而程為式中(I)、0灑分別為單摸位和零矩胞陣。若引入扮矩陣記梅號(hào)則結(jié)點(diǎn)蕉平衡方蔽程可改軍寫作這一結(jié)竄論雖然嫁是由一暴個(gè)例子招得到的恨，但是囑顯然對(duì)禿一切結(jié)趙構(gòu)都是逃成立的勢(shì)。問題疲在于不晉同結(jié)構(gòu)，(A)矩陣巷是不同的廢。①②③4-3縱)桿袋端位移醫(yī)用結(jié)點(diǎn)宅位移來每表示121221①②③仍以上述柴簡單例子哨來說明若記由結(jié)點(diǎn)、吼桿端位移濾的協(xié)調(diào)條遼件，可得豪()、()的對(duì)栗應(yīng)關(guān)系為式中(A)T是前面力代關(guān)系(A)的轉(zhuǎn)掀置，因潤此(A)T稱為位移轉(zhuǎn)育換矩陣。4-4離)整震體剛度抬方程—鑒—結(jié)點(diǎn)堤平衡121221①②③若記引入位另移轉(zhuǎn)換戲關(guān)系，忙則這就是整梢體剛度方燭程，它的霉物理實(shí)質(zhì)嫁是結(jié)點(diǎn)平憑衡。(K)稱尋作結(jié)構(gòu)貨剛度矩趴陣（或姑整體剛敵度矩陣繁），(P)稱推作綜合輕等效結(jié)呀點(diǎn)荷載瓣矩陣，究它由兩忠部分組遠(yuǎn)成:Pd直接結(jié)債點(diǎn)荷載梳矩陣是由結(jié)點(diǎn)缺荷載組費(fèi)成PE等效結(jié)點(diǎn)妻荷載矩陣球由單元荷職載組成綜合等效結(jié)點(diǎn)荷載矩陣整體(總體)剛度矩陣整體(總體)剛度方程單元個(gè)數(shù)③②①4-5檢)菠整體剛陰度矩陣乘的建立121221①②③若將(A)按單元神分成圖示德三個(gè)子矩腥陣則121221①②③由此可見驢，整體剛乎度矩陣可員由各單元孝整體剛度管矩陣裝配累并加得到。為斧說明如何峰裝配，先躁將單元?jiǎng)偞味染仃囘M(jìn)鐵行分割整體結(jié)點(diǎn)碼則由矩匪陣乘法跪可證明穩(wěn)，(A)I(k)I(A)iT的結(jié)果是撕，將剛度惑矩陣子矩濟(jì)陣按整體輛結(jié)點(diǎn)碼r、s送整體些剛度矩牢陣相應(yīng)勿位置。筒這一裝努配規(guī)則僻稱為“賠對(duì)號(hào)入漂座”。整體結(jié)點(diǎn)碼剛度矩陣對(duì)號(hào)入座集裝規(guī)則4-6周)任手意結(jié)構(gòu)家情況上面結(jié)煎論是通捉過具體陷例子（粘全剛結(jié)三點(diǎn)平面?zhèn)鋭偧埽└玫降哪?，由理猾論分析歐可證明們，任意暖結(jié)構(gòu)其結(jié)論同此怎例。1)結(jié)乞點(diǎn)位移編踩號(hào)如果按結(jié)防點(diǎn)順序，援對(duì)結(jié)點(diǎn)非章零位移進(jìn)高行依次編顛號(hào)，這一柜序號(hào)稱作結(jié)點(diǎn)位移糊碼。為便占于計(jì)算澤機(jī)處理鐮并減少眾結(jié)構(gòu)剛護(hù)度矩陣蜂的階次牲，將零位移的護(hù)號(hào)碼變?yōu)榈⒘?。①②③④?duì)圖示三俗鉸剛架，吊當(dāng)僅用一種單址元（梁柱惱自由是單元）時(shí)買結(jié)點(diǎn)位移虛編號(hào)如圖所示。2)單旦元定位向晚量按單元局靠部結(jié)點(diǎn)碼傲順序，將虛結(jié)點(diǎn)位移嫩碼排成的提向量，稱怠作單元的定位向量。①②③④對(duì)圖示神剛架各皺單元的呢定位向仙量為①(0,叨0,1乳,3,濃4,5攀)②(0,躁0,2恰,10虎,11斜,12旬)③(3,披4,5撥,6,表7,8鏡)④(6,7使,9,1彎0,11昂,12)如果如圖趁所示采用信各種不同茂的單元（一端有扁鉸），則定位向測(cè)量為①②③④①②③④①(0,燭0,1譽(yù),2,喝3)②(0,0鑰,,6,逐7,8)③(1,2甩,3,4巷,5)④(4,5車,6,7黃,8)如何獲刮得帶鉸的咸單元?jiǎng)偠染仃嚭突サ刃Ш奢d廣矩陣一端帶胖鉸的單摔元如下蠶圖所示其單元?jiǎng)側(cè)识染仃嚭推偷刃ЫY(jié)點(diǎn)漿荷載矩陣嬸可有兩種鞏方法獲得臣：直接用介形、載摘常數(shù)疊鮮加來的狼到；由自由畝式單元紛剛度方番程，以煙鉸結(jié)端姻彎矩為夕零為約質(zhì)束條件姑，從這搞個(gè)方程筐解出鉸棕結(jié)端的峰轉(zhuǎn)角位忽移（用管其它位的移表示侵），代牽回其它瓣剛度方芝程，整常理后即機(jī)可得到等。這類單元被的單元?jiǎng)偠染靥岁嚳稍?Ⅱ)嗽P.羅40名找到定位向攻量①②③④①②③④1)趨剛度集喚裝(以邪④謹(jǐn)單元為艇例)定位向量單元局部位移碼4-7剖)按耳單元定劑位向量丹集裝剛窄度矩陣蘋和綜合袖荷載前面說明歐的是分塊咽子矩陣集朋裝,下面煩說明如何撈按定位向戚量來集裝但.根據(jù)單元嚇局部位移唇碼和定位匆向量的對(duì)悉應(yīng)關(guān)系用怒定位向量殲位移碼送獵元素。位移碼位移碼總荷111213141522232425333444354555對(duì)稱“總荷”第④單利元集裝習(xí)后的“溫總剛”小結(jié)①②③④①②③④2)荷吃載集裝以②歐單元為例摧來說明定位向量局部位移碼此結(jié)論同搬樣適用于剛灶度集裝根據(jù)單加元局部贊位移碼淋和定位訓(xùn)向量的盆對(duì)應(yīng)關(guān)番系用定廉位向量迷位移碼藥送元素橋，定位逗向量元復(fù)素為零幅時(shí)不送耐。整體分遷析小結(jié)1)對(duì)荷局部坐標(biāo)唯和整體坐秤標(biāo)不一致苗的單元，夜要對(duì)剛度、荷載生進(jìn)行坐標(biāo)對(duì)轉(zhuǎn)換。2)需床對(duì)“結(jié)構(gòu)定”進(jìn)行結(jié)解點(diǎn)、位移清的局部和蝴整體編號(hào)。4)整趁體剛度矩莖陣是對(duì)稱論、帶狀稀降疏矩陣，蓄支撐條件能限制循剛體位移炊時(shí)，矩陣旬非奇異。3)根據(jù)單駝元局部榆位移碼頃和定位禾向量的違對(duì)應(yīng)關(guān)擺系用定位向籌量位移格碼送元柿素，定沈位向量涼元素為潤零時(shí)不送。據(jù)法此可集裝填、累加得晃到整體剛夠度矩陣。5)綜合荷銀載由兩透部分組償成，因芒此首先懶要將直榆接作用結(jié)點(diǎn)誰的荷載利按結(jié)點(diǎn)順位移碼忠送入，仗如果還驗(yàn)有單元等效屠荷載，剖再按定痛位向量麻集裝、功累加?！?)印如果有某劫位移碼方邪向彈性支孔撐，需進(jìn)察行將彈簧剛度送入天位移碼對(duì)厭應(yīng)的對(duì)角夾線元素位父置累加。★9)倒如果檔有某位簽移碼方紗向已知鋼支撐位題移，需乓進(jìn)行將“邊界條潑件處理”莫。具體做怒法以后介貸紹。7)整糕體剛度方味程實(shí)質(zhì)是僑全部結(jié)點(diǎn)旱的平衡條籌件。6)饅剛度矩柿陣帶狀纏稀疏，籮其帶寬康取決于啟結(jié)點(diǎn)、肆位移編碼。最大半帶雞寬=定位哥向量中最哨大元素差第+1。整體分析辯小結(jié)4-8駁）邊耍界條件否的處理1)姜乘大數(shù)用法2)置摟換法(劃玩零置1)設(shè)第i個(gè)位移鼠為已知都值a。設(shè)第i個(gè)位移為擱已知值a，N=108或更大祥的數(shù)。琴乘大數(shù)控法是將剛度矩母陣Kii改為NKii，將Pi改為Na。當(dāng)按子珠矩陣(炸后處理血法)集柄裝形成須整體剛呈度方程宮時(shí)，整辨體剛度評(píng)矩陣是股奇異的已。此外瘋，當(dāng)需廢分析的慌結(jié)構(gòu)有脫已知支剪座位移危時(shí)，上怨述兩情權(quán)況均需徑進(jìn)行邊聯(lián)界條件素處理。請(qǐng)考慮凳為什麼歡這樣做蠢能使邊界條專件得到滿猛足？剛度方叉程為：上述置虎換工作頑量大一做些，顯躁然可看醬出邊界紐奉條件得使到精確巴滿足。★邁3)關(guān)竿于斜邊溫界的處算理如圖示積意的斜條支座情拼況，有綢多種處飛理方案粘。3-1)記通過單膠元的坐標(biāo)蜘轉(zhuǎn)換來處致理xyr3-2參)通輕過增加院一個(gè)單毫元來處歇理3-3)音對(duì)整體合剛度矩陣透進(jìn)行處理系(參見有淋關(guān)教材)圖示有求斜支座漁單元，r結(jié)點(diǎn)處臂以傾角-夕來進(jìn)行頌坐標(biāo)轉(zhuǎn)翅換，也謊即在r結(jié)點(diǎn)處累整體坐岔標(biāo)為圖煩示xy。圖示有斜甩支座單元汗，r結(jié)點(diǎn)處谷沿y方向增炒加一個(gè)擺剛結(jié)的毛單元，車此單元蹈有“無忌窮大”縫的抗拉晚剛度、深但沒有色抗彎剛凝度。單炕元長度是可任意蜂。5.剛度與荷巡壽載元素的斥速算方法目的：為調(diào)試瞧程序準(zhǔn)隨備測(cè)試咸數(shù)據(jù)。元素Kij的物理意堅(jiān)義：僅j位移碼處謠單位位移挨，i位移碼敏處所需舌施加的于力。舉例試求圖示蠢結(jié)構(gòu)的整殊體剛度矩眉陣元素K11。根據(jù)元恒素物理俯意義，勢(shì)求K11的計(jì)算辰簡圖如吸有所示顯。因?yàn)閮Hj位移碼恥處單位攝位移，故可改改為5-1糖）“總鋸剛”元倉素根據(jù)形常太數(shù)，取隔血離體如圖鬼，由此可刺得K11根據(jù)元素陡物理意義智，由圖示錘計(jì)算簡圖營還可求得K41K31結(jié)論：根據(jù)整喝體剛度掏矩陣元續(xù)素的物洋理意義庭，在熟祖記形常鋪數(shù)的前著提下，物取相關(guān)鳴部分為波對(duì)象，朵即可方損便地求傾得剛度蜻元素。求K22、K23、K25、K26應(yīng)取什么縣樣的隔離體做侍計(jì)算簡圖評(píng)？求K33、K35、K36應(yīng)取什么命樣的隔離體做秒計(jì)算簡圖約？5-2）罰“總荷”漆元素綜合結(jié)映點(diǎn)荷載糾包含兩初部分：窩直接結(jié)歷點(diǎn)荷載蒼和單元秀荷載等革效的結(jié)叢點(diǎn)荷載澡。因?yàn)樵诠虠l端力正向煤和桿端力毫正向規(guī)定測(cè)相同時(shí)，拜有所以如昏圖所示席，將實(shí)服際的固鉆端力反灰向等效痰作用于破結(jié)點(diǎn)，氧由集裝枕規(guī)則可躁得試求圖示循結(jié)構(gòu)在所弓示編碼下守的綜合結(jié)營點(diǎn)荷載矩誦陣5-3樣）任一起截面的睬內(nèi)力計(jì)午算在求解整字體剛度方潑程，獲得總結(jié)構(gòu)位移蛇矩陣后，見根據(jù)定位辣向量，可悲得到各單烘元的桿端勿位移矩陣耀，由單元搖剛度方程增可得到單隆元桿端力捧。需注意：龜如圖所示屋，單元桿漿端力和前叮幾章單元脅桿端內(nèi)力恰的正向規(guī)構(gòu)定是不同斤的。求得單元知桿端力后頭，如圖取粱隔離體，同由平衡條脹件可得程序編制裳題試參考隨董書光盤所寄給的平面綿與空間桁架摩計(jì)算程序盛（F90治）自行編制余平面剛架歇靜力計(jì)