《矩形》典例精析【例1】如圖所示，在ABCD中，AC、BD交于點O，AE上BC于E，EO交AD于F，求證：四邊形AECF是矩形．【分析】由于AE⊥BC，已知四邊形AECF有一個角為直角，只需再證出它是一個平行四邊形就可以了．【證明】∵四邊形ABCD是平行四邊形．∴AD//BC，BO=DO，∴1=2，又∵FOD=EOB∴△DOF∴△BOF，∴DF=BF，∴AD－DF=BC－BE，即AF=EC，又∵AF∥EC，∴四邊形AECF是平行四邊形．又∵AE⊥BC，所以AEC=90°，∴四邊形AECF是矩形．【小結(jié)】注意平行四邊形在題目中的作用，其關(guān)系為：平行四邊形＋1個直角矩形．【例2】如圖所示，已知AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且BAD＝CAE，求證：四邊形BCED是矩形．【分析】先證四邊形BCED是平行四邊形，這可由證△ADB≌△AEC與已知條件DE＝BC而推出，再證對角線BE＝CD，這可由△ABE≌△ACD而推出．【證明】在△ADB和△ACD中，∵AD＝AE，BAD＝CAE，AB＝AC．∴△ADB≌△AEC，∴BD＝CE．又∵DE＝BC，∴四邊形BCED是平行四邊形，∵BAD＝CAE，∴BAD＋BAC＝CAE＋BAC即DAC＝BAE．在△DAC和△EAB中，∵DA＝EA，DAC＝EAB，AC＝AB．∴△DAC≌△EAB，∴DC＝EB．∴四邊形BCED是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）．【小結(jié)】要判定一個四邊形是矩形，通常先判定它是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形構(gòu)成矩形的條件，判定有一個角是直角或?qū)蔷€相等．【例3】如圖所示，BD、CE是△ABC兩邊上的高，G、F分別是BC、DE的中點．求證：FG⊥DE．【分析】根據(jù)題中的條件，不可能通過求90°的直角來證明FG⊥DE，只有通過等腰三角形的三線重合來證明，即只需證明EG＝DG就可證明FG⊥DE．【證明】連接EG、DG，∵CE是高，∴CE⊥AB．∵在Rt△CEB中，G是BC的中點，∴EG＝BC，同理DG＝BC．∴EG＝DG．又∵F是ED的中點，∴FG⊥DE．【小結(jié)】直角三角形斜邊中線的性質(zhì)是依據(jù)矩形的對角線互相平分且相等推出來的．根據(jù)這個性質(zhì)，又可以推出直角三角形的斜邊上的中線把直角三角形分成了兩個等腰三角形．【例4】如圖所示，ABCD四個內(nèi)角的角平分線分別交于點E、F、G、H．求證：四邊形EFGH是矩形．【分析】AE、BE分別為BAD、ABC的角平分線，由于在ABCD中，BAD＋ABC＝180°，易得BAE＋ABE＝90°，不難得到HEF＝90°，同理可得H＝F＝90°．【證明】在ABCD中，AD∥BC，∴BAD＋ABC＝180°，∵AE、BE分別平分BAD、ABC，∴1＋2＝BAD＋ABC＝90°．∴HEF＝AEB＝90°，同理：H＝F＝90°，∴四邊形EFGH是矩形．【小結(jié)】（1）利用角平分線、垂線得到90°的角，選擇“有三個直角的四邊形是矩形”來判定．（2）本題沒有涉及對角線，所以不會選擇利用對角線來判定矩形．【例5】如圖所示，在矩形ABCD中，E、F分別是BC、AD上的點，且BE=DF．求證△ABF≌△CDF．【分析】由矩形的性質(zhì)可得AB=CD，B=D=90°，然后用它們作條件證明△ABE≌△CDF．【證明】∵四邊形ABCD是矩形．∴AB=CD，B=D=90°在