魏爾斯特拉斯魏爾斯特拉斯，K．W．T．(Weierstrass，KarlWilhelmTheodor)1815年10月31日生于德國威斯特伐利亞地區(qū)的奧斯登費爾特；1897年2月19日卒于柏林．數(shù)學．魏爾斯特拉斯的父親威廉(Wilhelm)是一名政府官員，受過高等教育，頗具才智，但對子女相當專橫．魏爾斯特拉斯11歲時喪母，翌年其父再婚．他有一弟二妹；兩位妹妹終身末嫁，后來一直在生活上照料終身未娶的魏爾斯特拉斯．由于其父多次遷居，魏爾斯特拉斯上過幾所小學．1829年，他考入帕德博恩的天主教文科中學．該校創(chuàng)建于公元820年，歷史悠久．他成績優(yōu)異，年年得獎，在拉丁文、希臘文、德文和數(shù)學四科中，表現(xiàn)尤其出色．1834年夏畢業(yè)時，他是獲得甲等畢業(yè)文憑的三人之一．威廉要孩子長大后進入普魯士高等文官階層，因而于1834年8月把魏爾斯特拉斯送往波恩大學攻讀財務(wù)與管理，使其學到充分的法律、經(jīng)濟和管理知識，為謀得政府高級職位創(chuàng)造條件．魏爾斯特拉斯不喜歡父親所選專業(yè)，于是把很多時間花在大學生自由自在的放縱生活上，例如擊劍、宴飲、夜游．他在這些方面也是首屈一指的．他的專業(yè)興趣在于數(shù)學．當時J．普呂克(Plücker)在波恩執(zhí)教，但他忙于各種事務(wù)，不可能抽暇進行個別教學，所以魏爾斯特拉斯從他那里獲益不多．在校期間，魏爾斯特拉斯研讀過P．S．拉普拉斯(Laplace)的《天體力學》(Mecaniquecéleste)和C．G．J．雅可比(Jacobi)的《橢圓函數(shù)新理論基礎(chǔ)》(Fundamentanovatheoriefunctionumellipticarum)．前者奠定了他終生對于動力學和微分方程論感興趣的基礎(chǔ)；后者對他當時的數(shù)學水平稍難了些．他還鉆研過J．斯坦納(Steiner)的一些論文．事實上，后來他成為斯坦納數(shù)學論著的編纂者．不過，這段時間中N．H．阿貝爾(Abel)是他最大的鼓舞泉源．他在晚年致S．李(Lie)的信中曾說，在1830年的《克雷爾雜志》(JournalfürdieReineundAngewandteMathema-tik)上讀到阿貝爾致A．M．勒讓德(Legender)的信，“在大學生涯中對我無比重要．從確定λ(x)(這是阿貝爾引進的函數(shù))滿足的微分方程來直接導出該函數(shù)的表示形式，這是我為自己確立的第一個數(shù)學課題；我有幸得到了這個問題的解，這促使我下定決心獻身數(shù)學．我是在第7學期作出這個決定的．”[20]這就是說，約在1837年底，他立志終生研究數(shù)學．1838年秋，他令人驚訝地放棄成為法學博士候選人，因此在離開波恩大學時，他沒有取得學位．4年大學，耗費巨大，未得學位而歸，自然使父親極度不滿．幸虧父親的一位愛好數(shù)學的朋友出來調(diào)解，建議把魏爾斯特拉斯送到明斯特附近的神學哲學院，然后參加中學教師任職資格國家考試．魏爾斯特拉斯遂于1839年5月22日在該院注冊．他在該院遇見了使他終身銘記的Ch．古德曼(Gudermann)．古德曼熱衷于研究橢圓函數(shù)，其基本思想是把函數(shù)展開為冪級數(shù)，這正是魏爾斯特拉斯的解析函數(shù)論的基石．1839—1840學年上學期，聽古德曼第一堂課的有13人，可第二堂起只剩下魏爾斯特拉斯一人，師生促膝談心，相處融洽．古德曼還為這位唯一的學生講授解析球面幾何學．1840年2月29日，魏爾斯特拉斯報名參加國家考試，考試分筆試、口試兩部分．他有半年時間就主考指定的3個論題寫作論文．古德曼應魏爾斯特拉斯的請求為筆試出了一個很難的數(shù)學問題：求橢圓函數(shù)的冪級數(shù)展開式．他對自己學生所寫的論文給予高度評價，說所提問題對“一位年輕的分析學者來說是很難的”，但論文表明作者“足以列入戴以榮譽桂冠的發(fā)現(xiàn)者隊伍之中”，“為作者本人，也為科學進展著想，我希望他不會當一名中學教師，而能獲得更為有利的條件，……以使他得以進入他命定有權(quán)躋身其中的著名科學發(fā)現(xiàn)者隊伍之中．”[20]可惜學院負責人十分保守，對這一評價未予重視．1841年4月，魏爾斯特拉斯通過口試；1841年秋至1842年秋在明斯特文科中學見習一年．1840至1842年間，他寫了4篇直到他的全集刊印時才問世的論文“關(guān)于模函數(shù)的展開”[2]、“單復變量(其絕對值介于給定的兩個界限之間)解析函數(shù)的表示”[3]、“冪級數(shù)論”[4]和“借助代數(shù)微分方程定義單變量解析函數(shù)”[5]．這些早期論文已顯示了他建立函數(shù)論的基本思想和結(jié)構(gòu)，其中有用冪級數(shù)定義復函數(shù)，橢圓函數(shù)的展開，圓環(huán)內(nèi)解析函數(shù)的展開[早于P．A．洛朗(Laurent)兩年]，冪級數(shù)系數(shù)的估計[獨立于A．L．柯西(Cauchy)]，一致收斂概念以及解析開拓原理．1842年秋，魏爾斯特拉斯轉(zhuǎn)至西普魯士克隆的初級文科中學．除數(shù)學、物理外，他還教德文、歷史、地理、書法、植物，1845年還教體育！繁重的教學工作使他只能在晚上鉆研數(shù)學．科研條件極差：鄉(xiāng)村中學沒有象樣的圖書館；校內(nèi)沒有可以與之討論的同事；經(jīng)濟拮據(jù)，無力訂閱期刊，甚至付不出郵資．或許這對他這樣自強不息的人也有好處，可以潛心錘煉自己獨特的觀念和方法．他曾在學?？锷习l(fā)表“關(guān)于解析因子的注記”．此文表明以前研究同一問題的數(shù)學家未能洞察問題癥結(jié)何在．但這種刊物上的文章當然不會引起世人注意．1848年秋，魏爾斯特拉斯轉(zhuǎn)至東普魯士布倫斯堡的皇家天主教文科中學．該校擁有較好的圖書館，校長也很友善．魏爾斯特拉斯在該校年鑒(1848／49)上發(fā)表了“關(guān)于阿貝爾積分論”，這是一篇劃時代的論文，可惜仍然無人覺察．1853年夏，魏爾斯特拉斯在父親家中度假，研究阿貝爾和雅可比留下的難題，精心寫作關(guān)于阿貝爾函數(shù)的論文．這就是1854年發(fā)表于《克雷爾雜志》上的“阿貝爾函數(shù)論”[6]．這篇出自一個名不見經(jīng)傳的中學教師的杰作，引起數(shù)學界矚目．A．L．克雷爾(Crelle)說它表明作者已可列入阿貝爾和雅可比的最出色的后繼者行列之中．J．劉維爾(Liouville)稱它為“科學中劃時代工作之一”，并立即把它譯為法文刊載于他創(chuàng)辦的《純粹與應用數(shù)學雜志》(JournaldeMathématiquesPuresetAppliquées)上．雅可比的繼任者、柯尼斯堡大學數(shù)學教授F．里歇洛(Richelot)說服校方授予魏爾斯特拉斯名譽博士學位，并親赴布倫斯堡頒發(fā)證書．當時任《克雷爾雜志》主編的C．W．博爾夏特(Borchardt)趕赴布倫斯堡向魏爾斯特拉斯致賀，從此開始了兩人長達20多年的友誼，直至博爾夏特謝世．1855年秋，魏爾斯特拉斯被提升為高級教師并享受一年研究假期．1856年6月14日，柏林皇家綜合工科學校任命他為數(shù)學教授；在E．E．庫默爾(Kummer)的推薦下，柏林大學聘任他為副教授，他接受了聘書．11月19日，他當選為柏林科學院院士．1864年成為柏林大學教授．在柏林大學就任以后，魏爾斯特拉斯即著手系統(tǒng)建立數(shù)學分析(包括復分析)基礎(chǔ)，并進一步研究橢圓函數(shù)論與阿貝爾函數(shù)論．這些工作主要是通過他在該校講授的大量課程完成的．幾年后他就名聞遐邇，成為德國以至全歐洲知名度最高的數(shù)學教授．G．米塔-列夫勒(Mittag－Leffler)于1873年從瑞典去巴黎，想在Ch．埃爾米特(Hermite)指導下研究分析．可是埃爾米特對他說：“先生，你錯了！你應當?shù)桨亓秩ヂ犖籂査固乩怪v課．他比我們都強．”果然，米塔-列夫勒抵柏林后不久就作出了關(guān)于亞純函數(shù)的重要發(fā)現(xiàn)．魏爾斯特拉斯于1873年出任柏林大學校長，從此成為大忙人．除教學外，公務(wù)幾乎占去了他全部時間，使他疲乏不堪．緊張的工作影響了他的健康，但其智力未見衰退．他的70華誕慶典規(guī)模頗大，遍布全歐各地的學生趕來向他致敬．10年后80大壽慶典更加隆重，在某種程度上他簡直被看作德意志的民族英雄．魏爾斯特拉斯與C．B．科瓦列夫斯卡婭(Кοвaлевскaя)的友誼，是他后期生活中的一件大事．科瓦列夫斯卡婭于1869年秋拉斯早期弟子之一，又善于宣揚其師的講授，這促使科瓦列夫斯卡婭大膽決定直接求助魏爾斯特拉斯．1870年秋，年方20、聰慧美麗的科瓦列夫斯卡婭見到了55歲的魏爾斯特拉斯．后者發(fā)現(xiàn)了她的優(yōu)異天賦，試圖說服柏林大學評議會同意她聽課，但遭拒絕．于是他就抽出業(yè)余時間為她免費授課，每周兩次，一直持續(xù)到1874年秋．這期間他待她親如子女，并幫助她以關(guān)于偏微分方程的著名論文在格丁根取得學位．1888年，科瓦列夫斯卡婭以剛體繞定點運動的研究獲得巴黎科學院大獎，對他是極大慰藉．兩年后她的去世則是對他的一個沉重打擊，以致他燒毀了她寫給他的全部信件以及他收到的不少其他書信．1897年初，魏爾斯特拉斯染上流行性感冒，后轉(zhuǎn)為肺炎，終至不治，于2月19日溘然長逝，享年82歲．除柏林科學院外，魏爾斯特拉斯還是格丁根皇家科學學會會員(1856)、巴黎科學院院士(1868)、英國皇家學會會員(1881)．魏爾斯特拉斯生前便決定在其學生協(xié)助下出版他本人的論著，1894和1895年分別出版了他的全集[1]的第1，2兩卷．按照他的遺愿，1902年首先出版了關(guān)于阿貝爾函數(shù)論的第4卷，1903年出了第3卷．第5卷是《橢圓函數(shù)論講義》，第6卷是《橢圓函數(shù)論在幾何與力學中的應用》，出版于1915年．1927年出版了第7卷《變分法講義》．原定第8—10卷是他關(guān)于超橢圓函數(shù)的工作、《橢圓函數(shù)論講義》第2版和函數(shù)論，但迄今仍未問世．全集前3卷共收論文(其中有一部分講演)60篇．他致P．杜布瓦-雷蒙(DuBois－Reymond)、L．富克斯(Fuchs)和柯尼斯伯格的一些信件，發(fā)表于《數(shù)學學報》(ActaMath．，1923)．數(shù)學分析算術(shù)化的完成者魏爾斯特拉斯在數(shù)學分析領(lǐng)域中的最大貢獻，是在柯西、阿貝爾等開創(chuàng)的數(shù)學分析嚴格化潮流中，以ε－δ語言，系統(tǒng)建立了實和復分析的嚴謹基礎(chǔ)，基本上完成了分析的算術(shù)化．然而，由于他是通過課堂講授完成這一任務(wù)的，沒有發(fā)表有關(guān)論著，所以對研究他在這一領(lǐng)域的工作帶來了困難．實數(shù)論魏爾斯特拉斯很早就認識到，為使分析具備牢靠的基礎(chǔ)(例如無懈可擊地證明連續(xù)函數(shù)的性質(zhì))，必須建立嚴格的實數(shù)論．他于1857年開始講授的解析函數(shù)論等課程，總要在第一階段花很多時間闡明他關(guān)于實數(shù)的理論．為從自然數(shù)定義正有理數(shù)，他引進正整數(shù)的“恰當部分”的概念．例如，1的恰當部分是滿足n·en=1的元素en．數(shù)a是數(shù)b的一個“恰當部分”，如果b是由等于a的一些元素構(gòu)成的集合．正有理數(shù)定義為單位的恰當部分的有限整線性組合，或有限集．通過定義“容許變換”，他使同一有理數(shù)的不同表示式得以化歸為相同的分母，然后他引進由無窮多個元素構(gòu)成的集合，通過引進“部分”概念定義這類集合之間的相等．這就是他的無理數(shù)概念的基點．由此他定義實數(shù)的四則運算與次序關(guān)系，證明它們所滿足的規(guī)律以及實數(shù)的十進小數(shù)表示式．稍后，H．C．R．梅雷(Méray)、G．康托爾(Cantor)、R．戴德金以及E．海涅(Heine)分別于1869，1871，1872，1872年各自獨立地給出了無理數(shù)定義，建立了嚴格的實數(shù)論．ε－δ語言H．A．施瓦茲(Schwarz)、G．黑特納(Hettner)和G．蒂姆(Thieme)分別整理的魏爾斯特拉斯于1861年講授的《微分學》、1874年講授的《解析函數(shù)論導引》和1886年講授的《函數(shù)論選題》的筆記，呈現(xiàn)了他用ε-δ語言定義分析基本概念與論證分析基本定理的輪廓．魏爾斯特拉斯說，對于函數(shù)f(x)，“如果能確定一個界限δ，使對其絕對值小于δ的所有h值，f(x+h)－f(x)小于可以小到人們意愿的任何程度的一個量ε，則稱所給函數(shù)對應于變量的無窮小改變具有無窮小改變．”他由此給出函數(shù)連續(xù)的定義，證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性質(zhì)和有界性質(zhì)．在定義微分學基本概念時，他還以f(x+h)=f(x)＋h·f′(x)+h(h)給出導數(shù)的另一種定義．他嚴格證明了帶余項的泰勒公式，稱它為“整個分析中名副其實的基本定理”．對于函數(shù)項級數(shù)，他引進了極其重要闡述并證明了關(guān)于連續(xù)函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)的連續(xù)性以及函數(shù)項級數(shù)逐項微分與逐項積分的定理，幾乎與現(xiàn)在分析教科書中所寫內(nèi)容完全一在建立分析基礎(chǔ)過程中，魏爾斯特拉斯引進了R與Rn中一系列度量和拓撲概念，如有界集、無界集，點的鄰域，集的內(nèi)點、外點、邊界點，集和序列的極限點，連通性等．他證明了有界無限集必有極限點(現(xiàn)稱為波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理)，并通過極限點證明了有界數(shù)集上、下確界的存在性與數(shù)列上、下極限的存在性．在1886年的授課中，他還指出G．F．B．黎曼(Riemann)關(guān)于定積分的定義限制過多，并把積分概念推廣到在一個可數(shù)集上不連續(xù)的有界函數(shù)．這是走向具有完全可加性的現(xiàn)代積分概念的一個正確嘗試．魏爾斯特拉斯的嚴格性引進一致收斂概念，是魏爾斯特拉斯的嚴格性的一個例證．海涅于1869年說，在此以前，人們(包括柯西在內(nèi))對收斂函數(shù)項級數(shù)可以逐項積分都深信不疑，“是魏爾斯特拉斯先生首次注意到，這條定理的證明……還基于一致收斂性”．G．H．哈代(Hardy)在分析了G．G．斯托克斯(Stokes)、P．L．賽德爾(Seidel)與魏爾斯特拉斯的一致收斂概念后說，“只有魏爾斯特拉斯清楚地、自覺地看出了一致收斂作為分析基本概念的極端重要性”．對于狄利克雷原理的批評，是其嚴格性的又一例證．該原理斷定：連續(xù)函數(shù)中，存在使得狄利克雷積分達到最小值的函數(shù)u0(x，y)，而u0必在D內(nèi)調(diào)和，從而是狄利克雷問題的解．1870年，魏爾斯特拉斯在柏林科學院發(fā)表題為“關(guān)于所謂狄利克雷原理”的講演[7]，一針見血地指出[u]構(gòu)成的集具有下確界并不蘊涵在所考慮的函數(shù)集中存在u0使D［u0］等于這個下確界．他還舉出了一個令人信服的簡單例子．給出處處連續(xù)但處處不可導函數(shù)的例子，也是其嚴格性的一個突出例證．魏爾斯特拉斯于1872年在柏林科學院的一次演講中提出了函數(shù)子告訴了杜布瓦-雷蒙，后者于次年在《克雷爾雜志》上發(fā)表了這個例子，從而引出了以后一系列關(guān)于函數(shù)具有“反?！毙詰B(tài)的發(fā)現(xiàn)．魏爾斯特拉斯在分析中的另一重大工作是證明閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)可以用多項式一致逼近和周期為2π的連續(xù)函數(shù)可以用三角多項式一致逼近．這兩條定理后來有許多推廣．毫無疑義，魏爾斯特拉斯的嚴格性最突出的表現(xiàn)是通過ε－δ建立整個分析體系．隨著他的講授和他的學生的工作，他的觀點和方法傳遍歐洲，他的講稿成為數(shù)學嚴格化的典范．F．克萊因(Klein)在1895年魏爾斯特拉斯80大壽慶典上談到那些年分析的進展時說，“我想把所有這些進展概括為一個詞：數(shù)學的算術(shù)化”，而在這方面“魏爾斯特拉斯作出了高于一切的貢獻”．D．希爾伯特(Hilbert)認為：“魏爾斯特拉斯以其酷愛批判的精神和深遽的洞察力，為數(shù)學分析建立了堅實的基礎(chǔ)．通過澄清極小、函數(shù)、導數(shù)等概念，他排除了微積分中仍在涌現(xiàn)的各種異議，掃清了關(guān)于無窮大和無窮小的各種混亂觀念，決定性地克服了起源于無窮大和無窮小概念的困難．……今天……分析達到這樣和諧、可靠和完美的程度，……本質(zhì)上應歸功于魏爾斯特拉斯的科學活動．”魏爾斯特拉斯的嚴格化也遭到一些人反對，最突出的是L．克羅內(nèi)克(Kronecker)．他對算術(shù)化進行了激烈的、刻薄的抨擊，甚至否認象處處連續(xù)處處不可導函數(shù)這樣的例子有任何意義．解析函數(shù)論的奠基人魏爾斯特拉斯以其富有獨創(chuàng)性的方法，首次以不依賴于幾何直觀的嚴格方式闡述和論證了復變函數(shù)論，使這一19世紀中成就最輝煌的數(shù)學分支進入了深入發(fā)展的階段．他在這方面的工作不僅見諸論文[2，3，4，5]，而且更多體現(xiàn)在他講授的課程中[12，15，18]．解析性、解析開拓與完全解析函數(shù)魏爾斯特拉斯研究解析函數(shù)的出發(fā)點是解析性概念．如果定義于復平面的區(qū)域D中的復值函數(shù)f在D的每個點的一個鄰域內(nèi)可展開為冪級數(shù)，則稱f在D內(nèi)解析．這樣的函數(shù)在復意義下可導．他得到不恒等于零的解析函數(shù)f在其零點a處的分解式f(z)=(z-a)ng(z)，其中g(shù)在a的鄰域內(nèi)解析且g(a)≠0．由此得到零點的孤立性和解析函數(shù)的唯一性定理．他指出，給定以a為中心、收斂半徑為r(>0)的冪級數(shù)f，對圓盤|z-a|<r中的每點b，f可展開為以b為中心、收斂半徑r(b)≥r-|b-a|的冪級數(shù)．由此可按r(b)>r-|b-a|或r(b)=r-|b-a|把收斂圓盤邊界上的點分為正則點和奇點兩類．前一情形可對f進行解析開拓，后一情形則不能．他證明ρ=inf｛r(b)：|b-a|＜r｝＝0，從而得到冪級數(shù)收整數(shù)且滿足ab≥10)表明此邊界可能只含有奇點，他稱之為“自然邊界”；此時f不可能解析開拓到收斂圓外．這樣的開拓可能導致回到同一點時得到不同的函數(shù)值．在1884—1885學年的講授中，魏爾斯特拉斯引進了“解析函數(shù)元素”概念．如果S是以a為中心的具有正收斂半徑的冪級數(shù)，則稱(a，S)為一個解析函數(shù)元素，簡稱元素．給定兩個元素(a，S)，(b，T)，如果S與T的收斂圓盤之交非空且S與T在此交上相等，則稱這兩個元素互為直接解析開拓．設(shè)(a0，S0)，(a1，S1)，…，(an，Sn)是一個元素鏈，如果鏈中任何兩個相鄰元素互為直接解析開拓，則稱(a0，S0)與(an，Sn)互為解析開拓．從一個元素出發(fā)進行一切可能的解析開拓所得到的元素的全體，就是一個整體解析函數(shù)，它一般是多值的．這種函數(shù)被稱為完全解析函數(shù)．整函數(shù)與亞純函數(shù)魏爾斯特拉斯把只在無窮遠點處有一個奇點的解析函數(shù)稱為整函數(shù)，并得到了被R．奈望林納(Nevanlinna)稱為“現(xiàn)代分析中最奇妙的結(jié)果之一”的整函數(shù)分解為素因子的定在任一|z|≤R上一致收斂，于是整函數(shù)其中g(shù)是整函數(shù)．對于解析函數(shù)的孤立奇點，魏爾斯特拉斯區(qū)別了極點和本性奇點．在1874年12月16日致科瓦列夫斯卡婭的信[21]中，他表述了下述命題：如果a是f(z)的本性奇點，則對任何復數(shù)c(可為∞)，存在zn→a，使得f(zn)→c．根據(jù)F．卡索拉蒂(Casorati)1864年在柏林游學時所作的筆記，在當時他與魏爾斯特拉斯等人的多次討論中，已談到這一定理．卡索拉蒂和Ю．B．索霍茨基(Сохопкий)于1868年分別發(fā)表了類似結(jié)果．這一定理以及E．皮卡(Picard)于1879年發(fā)表的著名定理，成為現(xiàn)代亞純函數(shù)值分布論的起點．魏爾斯特拉斯還得到了具有有限個本性奇點和任意多個(可為無窮個)極點的解析函數(shù)的一般表示式．多復變函數(shù)論在魏爾斯特拉斯的早期論文中，已引進多復變量冪級數(shù)與復n維空間中的一些拓撲概念，定義了多復變量冪級數(shù)的收斂多圓柱，他還通過系數(shù)估計得到由冪級數(shù)表示的函數(shù)gμ(z1，…，zn)=0(μ=1，…，m；m＜n)所確定的隱函數(shù)zv=hv(zm+1，…，zn)(v=1，…，m)可展開為冪級數(shù)的定理．魏爾斯特拉斯對多復變函數(shù)論的最大貢獻，是他于1860年講課中提出并于1879年發(fā)表的“預備定理”[9]：如果F(z1，…，zn)是原點鄰域內(nèi)的解析函數(shù)，F(xiàn)(0，0，…，0)=0，F(xiàn)(0，…，0，zn)0，則在原點鄰域中F可表示為其中k是不小于1的整數(shù)，av(z1，…，zn-1)(v=1，…，k)在原點鄰域內(nèi)解析且在原點處取零值，g在原點鄰域內(nèi)解析且不等于零．這是多復變函數(shù)論中最早的一條深刻定理，它使得現(xiàn)代解析集的局部研究中應用代數(shù)方法成為可能，對解析集研究具有重要意義．魏爾斯特拉斯的函數(shù)論魏爾斯特拉斯與柯西、黎曼同為復變函數(shù)論的奠基人，但在方法與途徑上并不相同[11]．他建立解析函數(shù)論的原意是作為他關(guān)于阿貝爾積分與阿貝爾函數(shù)一般理論的導引．現(xiàn)在看來，他的主要目標反倒退居次要地位，而他的嚴格的、批判的、犀利的觀念，以及他所提供的一般性理論和方法，則成為他對這一領(lǐng)域的主要貢獻．在這方面，他與黎曼明顯不同．黎曼以狄利克雷原理為基礎(chǔ)建立他的著名的映射定理，而魏爾斯特拉斯對狄利克雷原理的批評使這個原理和黎曼強有力的方法幾乎一蹶不振．直到1899年，希爾伯特的工作才使它們得以“復活”．在談到黎曼面時，魏爾斯特拉斯說他“不能接受這是函數(shù)論真正基礎(chǔ)”的提法，雖然他也承認這種方法“具有數(shù)學想象力”[15]．在一般方法論上，他說：“我越是思考函數(shù)論——這是我不斷研究的領(lǐng)域——的各種原理，就越確信它必須建立在簡單的代數(shù)真理的基礎(chǔ)上；誰如果不是把它建立于簡單而基本的代數(shù)命題，而是借助于‘直覺’(我用這個詞來概括描述)，誰就走上了歧路，不管乍一看它多么有吸引力，例如黎曼那樣，他通過這種方法發(fā)現(xiàn)了代數(shù)函數(shù)那么多重要的性質(zhì)．”不過他也強調(diào)在研究時可以采用多種渠道，他講的“只是關(guān)于應當怎樣建立系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)問題”．克萊因在比較這兩位數(shù)學家時說過：“黎曼具有非凡的直觀能力，他的理解天才勝過所有同代數(shù)學家．……魏爾斯特拉斯主要是一位邏輯學者，他緩慢地、系統(tǒng)地逐步前進．在他工作的分支中，他力圖達到確定的形式．”H．龐加萊(Poincaré)寫道，魏爾斯特拉斯使“整個解析函數(shù)論成為冪級數(shù)理論的一系列推論，因而它就被建立在牢靠的算術(shù)基礎(chǔ)上”，“黎曼的方法首先是一種發(fā)現(xiàn)的方法，而魏爾斯特拉斯的則首先是一種證明的方法”．到19世紀末，德文“Funktionenlehre”幾乎已成為按照魏爾斯特拉斯的觀念建立的復變函數(shù)論的同義詞，但也有人持有異議．S．李(Lie)批評德國沒有象樣的幾何學家，他把這種狀況歸咎于魏爾斯特拉斯學派占據(jù)統(tǒng)治地位．克萊因在肯定算術(shù)化同時也強調(diào)數(shù)學決不會由邏輯推導完成，直觀總是具有特殊重要性．康托爾甚至提出人們應當區(qū)別魏爾斯特拉斯實際所做的工作與圍繞著他樹立起來的神話．在數(shù)學其他領(lǐng)域中的貢獻橢圓函數(shù)論與阿貝爾函數(shù)論魏爾斯特拉斯引進函數(shù)Al(u)k(k=1，2，3)與A1(u)，他采用這些記號顯然是為了紀念阿貝爾．他通過這些函數(shù)解決了把snu，cnu，dnu表示為冪級數(shù)之商的問題．后來，他引進了在其橢圓函數(shù)論中起核心作用的函數(shù)，它是第一類橢圓積分的反演，滿足微分方程并以u=0為極點．他得到了(u)的加法定理，從而把它解析開拓為全平面上的亞純函數(shù)，并得到展開式他在“關(guān)于阿貝爾積分論”和1856年發(fā)表的另一論文中研究了超橢圓積分的反演問題：由方程組確定x1，…，xn作為(u1，…，un)∈Cn的函數(shù)，其中通過引進第一類與第二類完全積分與函Al，Alj，alj=Alj/Al(j=0，1，…，2n)，他得到了問題的解，導出了這些函數(shù)所滿足的偏微分方程組與作為冪級數(shù)之商的表示式，建立了alj之間的一些代數(shù)關(guān)系式．魏爾斯特拉斯于1869年完成了關(guān)于阿貝爾積分的一般理論，并在其后的一系列課程中加以闡述．在他的理論中，由一個不可約代數(shù)方程定y=ψ(t)是收斂冪級數(shù)；他稱這樣的集合為“代數(shù)層”．他由此出發(fā)定義虧格(他稱之為“級”)，證明虧格在雙有理變換下不變．他還定義定形式關(guān)于一個代數(shù)層的所有元素的殘數(shù)之和為零，由此得到F(x，y)的分解式．通過研究只有一個極點的有理函數(shù)，他得到虧格的新的代數(shù)刻畫．他證明用有限個解析元素即可表示一個代數(shù)層，這相當于證明代數(shù)函數(shù)黎曼面的緊性．他證明了阿貝爾函數(shù)論中的一條基本定理：具有相同周期2p的P+1個P元阿貝爾函數(shù)之間存在一個代數(shù)關(guān)系．變分法魏爾斯特拉斯關(guān)于變分法的研究最早通過A．克內(nèi)澤爾(Kne-ser)的《變分法教程》(LehrbuchderVariationsrechung，1900)得到傳播，該書對變分法研究有深遠影響．他關(guān)于變分法的講義是由許多學生筆錄的．在該講義中，他考察平面變分法問題的參數(shù)形式即積分假定F在某個區(qū)域中正則并具有正齊性．第11章中證明了著名的“角條件”：給定的極小化曲線在(t0，t1)中有限個點處間斷地改變切線方出可比關(guān)于共軛點命題的嚴格證明(第16章)．他清晰地表述了曲線C為極值曲線的三個必要條件：(1)沿此曲線x，y作為t的函數(shù)滿足其中F1由確定．(2)如果C為極小(大)化曲線，則F1沿C取正(負)值．(3)從起始點開始，積分區(qū)間至多能達到起始點的共軛點．他首次敘述并證明了曲線C給出I的極大(小)值的一個充分條件：設(shè)上述條件(1)，(2)和(3)滿足，F(xiàn)1在[t0，t1]上不為零也不為無窮，該區(qū)間中沒有共軛點對，如果把曲線的變分限于比較曲線與所給曲線相應點之間距離為任意小且切線方向的改變也為任意小的情形(即現(xiàn)稱的弱變分情形)，則當F1為正(負)時C給出極小(大)值(第18章)．魏爾斯特拉斯認為，也應考慮比較曲線與給定曲線相應點處切線方向不一定相近即現(xiàn)稱的強變分情形．此時他引進函數(shù)為非負(非正)(第22章)．為研究充分性，他引進現(xiàn)稱的“場”概念，敘述并證明：如果E在位于場內(nèi)且連接參數(shù)為t0，t1的點的任一曲線C上為負(正)，則I沿滿足微分方程G=0的曲線C0的值大(小)于沿C的值(第23章)．像他的其他工作一樣，他的變分法研究嚴謹透徹，明顯區(qū)別于在此以前的有關(guān)研究．代數(shù)魏爾斯特拉斯對同時化兩個二次型為平方和給出了一般方法．他建立了矩陣的初等因子理論，實際上比C．若爾當(Jordan)早兩年給出了現(xiàn)稱的若爾當標準形；他完成了二次型理論并把它推廣到雙線性型．他于1861年得到了關(guān)于線性結(jié)合代數(shù)的一個基本結(jié)果(發(fā)表于1884年，)：具有有限個原始單元的實或復線性結(jié)合代數(shù)，如果滿足乘積定律和乘法交換律，就必是實數(shù)構(gòu)成的代數(shù)或復數(shù)構(gòu)成的代數(shù)(戴德金約于1870年得到同樣結(jié)果，并于1885年發(fā)表)．卓越的大學數(shù)學教師刻苦鉆研、嚴謹治學如前所述，在當中學教師的15年中，盡管教學任務(wù)繁重，工作條件很差，魏爾斯特拉斯仍堅韌不拔、孜孜不倦地鉆研數(shù)學，經(jīng)常達到廢寢忘食的程度．例如一天早上，他該去上課的教室中起了騷動，校長走去一看，原來是教師未到．校長趕快去魏爾斯特拉斯的寢室，發(fā)現(xiàn)他還在燭光下苦苦思索，根本不知道天色早已大明．1850年起，他患了眩暈癥，常持續(xù)一小時以上，直到一陣摧人心肺的嘔吐后才見消退．這種腦痙攣癥折磨了他十余年，但他頑強地堅持教學和研究．實際上，在當中學教師年代，他是以犧牲健康為代價從事數(shù)學研究的．他在柏林大學仍承擔巨大的教學工作負荷．1860年3月，在一次講課中他突然暈了過去．1861年底他完全病倒，在近兩年中一直未能回到科學工作上來．他患有支氣管炎和靜脈炎，經(jīng)常發(fā)作．但只要有可能，他就堅持上課，常常只能坐著講授，讓優(yōu)秀學生書寫黑板．他總是推遲發(fā)表自己的工作，倒不是因為厭惡發(fā)表，而是力求以嶄新的途徑，使結(jié)論建立在牢固的基礎(chǔ)上．他反復推敲自己的觀念、理論和方法，直到他認為已達到它們理應具有的自然完美的方式為止，所以他正式發(fā)