2002年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試一、填空題(本題5小題，每小題3分，滿分15分，把答案填在題中橫線上1etan x x2設(shè)函數(shù)f(x2

x

在x0處連續(xù)，則a 位于曲線yxex(0x)下方，x軸上方的圖形的面積 微分方程yyy20

的特解 121

lim11cos1cos2... 1cosn1cosnnn

矩陣 2的非零特征值 2設(shè)函數(shù)f(uyf(x2xx1處取得增量x0.1函數(shù)增量y的線性主部為0.1，則f(1) 設(shè)函數(shù)f

連續(xù)，則下列函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是 xf(t20

xf20xx0t[f(t)f (D)0t[f(t)fxxyxypyqye3xy(0)y(0)0x0

ln(1x2

的極限 (A)不存 (B)等于 (C)等于 (D)等于設(shè)函數(shù)yf(x)在(0,)內(nèi)有界且可導(dǎo)，則

f(x0

f(x)0

f(x

f(x)0limf(x0limf(x0

f(xlimf(x0設(shè)向量組1,2,3線性無關(guān)，向量

可由1,2,3線性表示，而向量

1,2,3線性表示，則對于任意常數(shù)k，必有 1,2

,k12線性無關(guān)

,k12(C)1,2,3,1k2線性無關(guān) (D)1,2,3,1k2線性相三、(本題滿分6分r1直角坐標(biāo)方程

，求該曲線上對應(yīng)于 處的切線與法線6四、(本題滿分7分2x3x2

x1xxf(x

0x

F(x)1f(t)dt的表達(dá)式五、(本題滿分7分f(x在(0f(x)0

f(x)

,f(xhx) )hex,f(x f六、(本題滿分8分xdyx2y)dx0yy(x,yy(x，與直線x1x2xx軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積最小 hl七、(本題滿分7 hl某的性狀與大小如圖所示，其中直線l為稱軸，的上部為矩形ABCD，下部由二次拋物線與線段AB所圍成，當(dāng)水面與的上端相平時(shí)，欲使矩形部分承受的水壓力與下部承受的水壓力比為5：4，矩形部分的高h(yuǎn)應(yīng)為多少m(米 八、(本題滿分8分設(shè)0x13xn1限

)，證明數(shù)列xn的極限存在，并求此九、(本題滿分8分

lnbln 設(shè)0aba2b2十、(本題滿分8分

b ab

f(x)x0的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)0,f(0)

證明:存在惟一的一組實(shí)數(shù)123，使得當(dāng)h0時(shí)1f(h)2f(2h)3f(3h)fh2高階的無窮小十一、(6分AB為3階矩陣，且滿足2A1BB4E,E是3階單位矩陣證明：矩陣A2E 若B 0,求矩陣 十二、(本題滿6分已知4A(1,2,3,4),1,2,3,4均為4維列向量，其中2,3,4線性無關(guān)，1223.1234Ax的通解.2002年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解一、填空【答案】-f(xf(x0ax0時(shí)，1etan

tan

xarcsin x

f(x)

1etan

=

tan

=

x

x0arcsin

x0 limf(x)limae2xaf f(xx0f(0f(0f(0),即a【答案】Sxexdxxdexxexexdx 其 limbeblim

洛

10

b

bxx

fyyypydpdpdypdp dy yyy20ypdpp20p0ydppp0dy0y

1p x 所以， 0，分離變量

pC1

dyC1

1，可將C1C1

1x1

x

dy 2x2，y2xC,yx2且C21y

x1

x01代入，得1

yyy20改寫為yy)0yyCy(01y(0 11Cyy12yy1，改寫為y21yxC xx

．再以初值代入，1 所以應(yīng)取""且C21．于是特解yy x12【21cosn1cosn1cos1cosn1cosn1cosn nn lim1

1 1

1lim

if in

nf(x)n

1cosxxini1 n1cosnlim11cos1cos21cosn nn1

21cosxdx2cosxdx2 【答案】 【詳解】記A 2， 2 2

EA 2 (對應(yīng)元素相減

2

2

E

2行3行

把第2行的公 1行2行2

2因子提出

2

(其中(1)11指數(shù)中的11分別是所在的行數(shù)和列數(shù)2(22)2(EA0，解得12034，故4是矩陣的非零特征值．(另一個(gè)特征值是0(二重))二、選擇【答案】 xo(x)

0

x稱為y

x

dxx

xdyxf(x22xxx1x0.1dyxf(10.2 0．1f(10.5，應(yīng)選【答案】 【詳解】對與(D)F(x)0t[f(tf(t)]dtF(x) tudtdu

tf(tf(t)]dt，F(xiàn)(x)0t[f(t)f(t)]dt0(u)[f(u)f(u)]x0u[f(u)f(u)]duFx)【答案】ypyqye3xy(0)y(0)0y(0) 方法1：因?yàn)楫?dāng)x20時(shí)，ln(1x2 x2，所 22

ln(1x2

lim

lim2x

2故選

x0

x0

x0y 方法2

y(0)y(0)0y(0)1．將函數(shù)y(x) y(x)00 o(x2

ln(1x222

ln(1x2

2

x01x2o(x2

x01o(x2 2【詳解】方法1：排斥法f(x1sinx2f(x在(0f(x1sinx22cosx2

f(x0

f(x不存在，故(A)limf(x0

f(x10，(C)和(D)不成立，故選2：證明(B)

f(xA

f(xAA0用反證法，若A0，則對于 0，存在X0，使當(dāng)xX時(shí)2f(xAAAAAf(xAA 由此可知，f(x)有界且大于A．在區(qū)間[x,X]上應(yīng) 日中值定理，2f(x)f(X)f()(xX)f(X)A(xX2

f(x)與題設(shè)f(x)有界類似可證當(dāng)A0時(shí)亦有．故A0【答案】【詳解】方法1：k，向量組1,2,3k121,2,3，k12線性相關(guān)因已知1,2,3線性無關(guān)k12可由線性表出．即存在常數(shù)123，使得k121122又已知1可由1,2,3線性表出存在常數(shù)l1l2l31l11l22k12k(l11l22l33)21122與2不能由1,2,3線性表出 ．故向量組1,2,3，k12線性無關(guān)，選(A)方法2：用排除法B選項(xiàng)k0向量組1,2,3，k12即1,2,3，2線性相關(guān)不成立否則因?yàn)?,2,3，2線性相關(guān)，又1,2,3線性無關(guān)2可由1,2,3線性出．即存在常數(shù)1,2,3，使得2112233與已 ，排除C選項(xiàng)：取k0，向量組1,2,31k2，即1,2,31線性無關(guān)不立，因?yàn)?可由1,2,3線性表出1,2,31線性相關(guān)，排除D選項(xiàng)：k0時(shí)，1,2,3，1k2線性相關(guān)不成立．若1,2,3，1k線性相關(guān)，因已知1,2,3線性無關(guān)1k2可由1,2,3線性表出．即存在數(shù)1231k2112233.1可由1,2,3即存在常數(shù)l1l2l3，使得1l11l22l33代入上式，1k2(l11l22l33)k21122k0，故

1l12l23l3 與2不能由1,2,3線性表出 故1,2,3,1k2線性相關(guān)不成立排除(D)．

xryrsinr1cosx(1cos)y1cossin

xcoscos2ysincos33333曲線上 的點(diǎn)對應(yīng)的直角坐標(biāo)為 4 6

6

coscossin2cos2sin2cos

33 33y( )x )，即xy 3 0 (yy0k(xx03知在 時(shí)斜率為1，且該點(diǎn)的直角坐標(biāo)為3

3,1

3)363 3

4 33 33y( )(x )),即xy 0 四【詳解】當(dāng)1x0F(x)

xfx

)dtx(2t3t2)dt(t21t3)

1x3x21當(dāng)0x1

13

tettF(x)1f(t)dt1f(t)dttett

f(t)dt

2t)10(et1)2

1

xx

20td

0

12

1011

t

ex1

ln(1

ex ex1x3x2 F(x)

當(dāng)1x ln

ln21

當(dāng)0x ex

ex 1f(xhx)f(xhx)

h

f(x)五【詳解】因?yàn)?

f f(xhx) (lnf(xhx)lnf(x))

xh0

f

h0lim(lnf(xhx)lnf(x))x(lnf(x))xxf

f1 xf(x) f(x

f(

f

h0 xf(x)lnf(x))x1，即(lnf(x))1f 1

lnf(xxC1

f(x)Ce

f(xC1f(xex六【詳解】這是一階線性微分方程y2y1，由通 xyp(xyq(x)那么通解為yepx)dx[q(x)epx)dxdxC])y

[

2dx

dxC]

1dxC]x2(

C)xCx2,1xyxCx2x1x2xxV2(xCx2)2dx(31C215C7) (旋轉(zhuǎn)體的體積：設(shè)有連續(xù)曲線:yf(x)(axb)，f(x)0與直線xa,xxx軸旋轉(zhuǎn)一周產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)體的體積為Vbf(x)2dxa取C使V

0dV(62C15) 解得C

又V(C0，故C

為Vyx

y OBx七【詳解】方法1：y OBx lh由于底部是二次拋物線我們設(shè)此拋物線 lhypx2q)A0p02A得1p12qq0,p1yx21x1．dp2gx(1hABCD 2gx(1h

(這是由壓力的得到的：壓力=壓強(qiáng)面積11x1Pgh2．AOB上所受的總壓力為11P202gx(1h y其中由拋物線方程知x ，代入計(jì)算得P24g(3h15)y 由題意P1P2541

4(1h2 h2(米)(h 舍去)，即矩形部分的高應(yīng)為2m30x

1

3x)3

abab)2ab為正數(shù) 3假設(shè)0xk2ab3

ab)22xk(3xk 1(x3xk(3xkk

3n2有0xn2xn(3xnxn(3xxn(3xnxn(3xnxn(3xnn

x(32x

-x

x n 0.

所以xn單調(diào)增加．單調(diào)增加數(shù)列xn有上界，所以limxn存在，記為nxn(3xxn(3xn

a a(3a即2a23aa3a0x0a0 3limxn 九【詳解】左、右兩個(gè)不等式分別考慮.先證左邊不等式，方法1：由所證的形式想到用日中值定理．lnblna(lnx)ba

1,0a 而 中第二個(gè)不等式來自不等式a2b22ab(當(dāng)0ab時(shí))， a2方法2：用單調(diào)性證，將b改寫為x并移項(xiàng)，(x)lnxlna2a(xa)，有(a)0a2

4ax(x

(x 4ax(x(x)xa2x20ax

(a2x2

0(x(a2x2 (a2x2xa0時(shí)(x)單調(diào)遞增.所以(x)(a)0，故(b)0 (b)lnblna2a(ba)0lnblna a2 b a2再證右邊不等式，用單調(diào)性證，將bx(x)lnxlna

1(x(x a2x(x a2xa22x有(a)a22x

(x) x

) xa0時(shí)，(x0xb11lnblna (ba11

lnbln

b 十【詳解】從題目結(jié)論出發(fā)，要證存在唯一的一組1,2,3，使Llim1f(h)2f(2h)3f(3h)f(0) 0lim1f(h)2f(2h)3f(3h)fhf(xx0f(0)(123123由法則Llim1f(h)2f(2h)3f(3h)f

f

f(0)0

由極限的四則運(yùn)算法則知分子的極限應(yīng)是0 f(xx0連續(xù)，于是上式變形為(12233f(00f(0)012233對(2)再用法則，和f(x)在x0連Llim1f(h)42f(2h)93f(3h)1

9)ff(0)0

1111232149由法則知，存在唯一的一組解滿足題設(shè)要求，證畢十一【詳解】(1)由題設(shè)條件2A1BB4EA，得2AA1BAB4A2BAB4AAB2B所 (A2E)BAB2B4A4A8E8E4(A2E)8E(A2E)B4(A2E)8E(A2E)B(A2E)4E(A2E)(B4E)8E(A2E)1(B4E)8A2E可逆，且A2E)11(B4E)8(2)由(1)結(jié)果知A2E)11(B4E，根據(jù)逆矩陣的性質(zhì)(kA)1k1A18

A2E

(B

8(B A8(B4E)1 B4E 0

因?yàn)槿鬉E

初等行變

EA1，對B4EE進(jìn)行初等行變換B

EE

2 2 2 1)81)8 012行

0

2行 2 1行2行2

0 0 1

112 0 故(B4E)1 0，代入A8(B4E)12E中，

112

0 A8(B4E)12E8 0 1 12

0 0