第三章參數(shù)方程、極坐標教案直線和圓的極坐標方程教案

教學目標知識與技能：1．理解建立直線和圓的極坐標方程的關(guān)鍵是將已知條件表示成ρ與θ之間的關(guān)系式．2．了解在極坐標系內(nèi)，一個方程只能與一條曲線對應，但一條曲線即可與多個方程對應．過程與方法：初步掌握求曲線的極坐標方程的應用方法和步驟．教學重點與難點建立直線和圓的極坐標方程．教學過程師：前面我們學習了極坐標系的有關(guān)概念，了解到極坐標系是不同于直角坐標系的另一種坐標系，那么在極坐標系下可以解決點的軌跡問題嗎？問題：求過定圓內(nèi)一定點，且與定圓相切的圓的圓心的軌跡方程．師：探求軌跡方程的前提是在坐標系下，請你據(jù)題設(shè)先合理地建立一個坐標系．(巡視后，選定兩個做示意圖，(如圖3-8，圖3-9)，畫在黑板上．)解

設(shè)定圓半徑為R，A(m，0)，軌跡上任一點P(x，y)(或P(ρ，θ))．(1)在直角坐標系下：|ρA|=R-|Oρ|，(兩邊再平方，學生都感到等式的右邊太繁了．)師：在直角坐標系下，求點P的軌跡方程的化簡過程很麻煩．我們看在極坐標系下會如何呢？(2)在極坐標系下：在△AOP中|AP|2=|OA|2+|OP|2-2|OA|·|OP|·cosθ，即(R-ρ)2=m2+ρ2-2mρ·cosθ．化簡整理，得2mρ·cosθ-2Rρ=m2-R2，師：對比兩種解法可知，有些軌跡問題在極坐標系下解起來反而簡坐標方程有什么不同呢？這就是今天這節(jié)課的討論內(nèi)容．一、曲線的極坐標方程的概念師：在直角坐標系中，曲線用含有變量x和y的方程f(x，y)=0表示．那么在極坐標系中，曲線用含有變量ρ和θ的方程f(ρ，θ)=0來表示，也就是說方程f(ρ，θ)=0應稱為極坐標方程，如上面問題中的：ρ=(投影)定義：一般地，在直角坐標系中，如果曲線C上的點與一個二元方程f(x，y)=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：1．曲線上的點的坐標都是這個方程的解；2．以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點．那么這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線．師：前面的學習知道，坐標(ρ，θ)只與一個點M對應，但反過來，點M的極坐標都不止一個．推而廣之，曲線上的點的極坐標有無窮多個．這無窮多個極坐標都能適合方程f(ρ，θ)=嗎？如曲線ρ=θ上有一點(π，π)，它的另一種形式(-π，0)就不適合ρ=θ方程，這就是說點(π，π)適合方程，但點(π，π)的另一種表示方法(-π，0)就不適合．而(-π，0)不適合方程，它表示的點卻在曲線ρ=θ上．因而在定義曲線的極坐標方程時，會與曲線的直角坐標方程有所不同．(先讓學生參照曲線的直角坐標方程的定義敘述曲線的極坐標方程的定義，再修正，最后打出投影：曲線的極坐標方程的定義)曲線的極坐標方程定義：如果極坐標系中的曲線C和方程f(ρ，0)=0之間建立了如下關(guān)系：1．曲線C上任一點的無窮多個極坐標中至少有一個適合方程f(ρ，θ)=0；2．坐標滿足f(ρ，θ)=0的點都在曲線C上，那么方程f(ρ，θ)=0叫做曲線C的極坐標方程．師：下面我們學習最簡單的曲線：直線和圓的極坐標方程．求直線和圓的極坐標方程的方法和步驟應與求直線和圓的直角坐標方程的方法和步驟類似，關(guān)鍵是將已知條件表示成ρ和θ之間的關(guān)系式．解

設(shè)M(ρ，θ)為射線上任意一點，因為∠xOM=θ，師：過極點的射線的極坐標方程的形式你能歸納一下嗎？生：是．師：一條曲線可與多個方程對應．這是極坐標方程的一個特點．你能猜想一下過極點的直線的極坐標方程是什么形式嗎？學生討論后，得出：θ=θ0(θ0是傾斜角，ρ∈R)是過極點的直線的極坐標方程．師：把你認為在極坐標系下，有特殊位置的直線都畫出來．例2

求適合下列條件的極坐標方程：(1)過點A(3，π)并和極軸垂直的直線；解

(1)設(shè)M(ρ，θ)是直線上一點(如圖3-15)，即ρcosθ=-3為所示．解

(2)設(shè)M(ρ，θ)是直線上一點，過M作MN⊥Ox于N，則|MN|是點B到Ox的距離，師：不過極點也不垂直極軸、不平行極軸的直線的極坐標方程如何確立呢？例3

求極坐標平面內(nèi)任意位置上的一條直線l的極坐標方程(如圖3-17，圖3-18)．讓學生根據(jù)以上兩個圖形討論確定l的元素是什么？結(jié)論直線l的傾斜角α，極點到直線l的距離|ON|可確定直線l的位置．解設(shè)直線l與極軸的夾角為α，極點O到直線l的距離為p(極點O到直線l的距離是唯一的定值，故α、p都是常數(shù))．直線l上任一點M(ρ，θ)，則在Rt△MNO中|OM|·sin∠OMN=|ON|，即ρsin(α-θ)=p為直線l的極坐標方程．(如圖3-19，圖3-20)師：直線的極坐標方程的一般式：ρsin(α-θ)=p，其中α是直線的傾斜角，p是極點到l的距離，當α、p取什么值時，直線的位置是特殊情形呢？當α=π時，ρsinθ=p，直線平行極軸；當p=0時，θ=α，是過極點的直線．師：以上我們研究了極坐標系內(nèi)的直線的極坐標方程．在極坐標系中的圓的方程如何確立呢？如圖3-21：圓上任一點M(r，θ)，即指θ∈R時圓上任一點到極點的距離總是r，于是ρ=r是以極點為圓心r為半徑的一個圓的極坐標方程．師：和在直角坐標系中，把x=a和y=b看作是二元方程一樣，θ=θ0及ρ=r也應看作是二元方程．在方程θ=θ0中，ρ不出現(xiàn)，說明ρ可取任何非負實數(shù)值；同樣，在方程ρ=r中，θ不出現(xiàn)，說明θ可取任何實數(shù)值．例4

求圓心是A(a，0)，半徑是a的圓的極坐標方程．(讓學生畫圖，教師巡視參與意見)解設(shè)⊙A交極軸于B，則|OB|=2a，圓上任意一點M(ρ，θ)，則據(jù)直徑上的圓周角是直角可知：OM⊥MB，于是在Rt△OBM中，|OM|=|OB|cosθ，即ρ=2acosθ就是所求圓的極坐標方程．如圖3-22．師：在極坐標系下，目前我們理解下面幾種情形下的圓的極坐標方程即可．讓學生自己得出極坐標方程．圖3-23：ρ=2rcosθ；圖3-24：ρ=-2rcosθ；圖3-25：ρ=2rsinθ；圖3-26：ρ=-2rsinθ．師：建立直線和圓的極坐標方程的步驟與建立直線和圓的直角坐標方程的步驟一樣，你能小結(jié)一下嗎？(投影)分4個步驟：(1)用(ρ，θ)表示曲線上任意一點M的坐標；(2)寫出適合條件ρ的點M的集合P=｛M|p(M)｝；(3)用坐標表示條件ρ(M)，列出方程f(ρ，θ)=0；(4)化方程f(ρ，θ)=0為最簡形式．練習：分別作出下列極坐標方程表示的曲線(2)ρcosθ=sin2θ(cosθ=0或ρ=2sinθ)；設(shè)計說明直線和圓的極坐標方程一節(jié)的教學重點是如何根據(jù)條件列出等式．至于在極坐標系中由于點的極坐標的多值性，而帶來的曲線的極坐標方程與直角坐標系中的方程有