第三章應(yīng)力強(qiáng)度因子

斷裂發(fā)生時(shí)在裂紋端點(diǎn)要釋放出多余的能量，因此，裂端區(qū)的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)必然與此裂端的能量釋放率有關(guān)。若裂端應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)的強(qiáng)度（intensity）足夠大，斷裂即可發(fā)生，反之則不發(fā)生。因此，得到裂端區(qū)應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)的解析解是個(gè)關(guān)鍵。近代斷裂力學(xué)是用彈性力學(xué)的解析方法來完成這一工作的，而這些解析法需要用高深的數(shù)學(xué)工具，這對(duì)于初次接觸斷裂力學(xué)的讀者來說，是比較困難的。因此，本章只給出一些主要的概念和結(jié)果，并介紹一些工程近似方法。3-1裂紋的基本型一般將裂紋問題分為三種基本型，如圖所示

張開型滑移型撕裂型

裂紋基本型

第一種稱為張開型（openingmode）或拉伸型（tensionmode），簡(jiǎn)稱I型。其裂紋面的位移方向是在使裂紋張開的裂紋面法線方向(y方向)。它通常發(fā)生在載荷和幾何形狀對(duì)稱于裂紋平面的情形，例如Griffith裂紋是I型裂紋，其裂紋的擴(kuò)展方向是正前方（x方向）。若物體是均勻厚度的平板，裂紋貫穿板厚，則問題是二維的（平面問題）；若物體不是平板或者裂紋沒有貫穿板厚，則是三維問題。許多工程上常見的斷裂都是I型裂紋的斷裂，這也是最危險(xiǎn)的裂紋類型。裂紋基本型

第二種裂紋型稱為同平面剪切型（in—planeshearmode）或者滑移型（slidingmode），簡(jiǎn)稱II型。裂紋上下表面的位移方向剛好相反，一個(gè)向正x方向，另一個(gè)向負(fù)x方向。在板厚均勻和裂紋貫穿板厚的情況下，此裂紋問題也是二維的，屬?gòu)椥粤W(xué)平面問題。

裂紋基本型

第三種裂紋型稱為反平面剪切型（anti—planeshearmode），簡(jiǎn)稱III型。裂紋面上下表面的位移方向也是剛好相反，但一個(gè)向正z方向，另一個(gè)向負(fù)z方向。這里的z方向是板厚方向，屬?gòu)椥粤W(xué)空間問題。除了這三種基本型外，尚有復(fù)合型裂紋（mixedmodecrack），它是兩種以上基本型的組合。3-2裂端的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)

下面考慮二維的I型裂紋問題。圖給出一個(gè)以裂紋端點(diǎn)為原點(diǎn)的坐標(biāo)系，此坐標(biāo)系x方向是裂紋正前方，y方向是裂紋面的法線方向，z方向則是離開紙面的方向?？紤]一個(gè)離裂端很近，位置在極坐標(biāo)(r，θ）的單元，其應(yīng)力狀態(tài)可以用σx、σy和τxy三個(gè)應(yīng)力分量來表示。裂紋前沿的應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)究竟是怎樣的？I型裂紋的應(yīng)力場(chǎng)

由彈性力學(xué)（橢圓孔口問題）的解析解，得裂端的應(yīng)力場(chǎng)恒為

＋高次項(xiàng)

在裂端區(qū)，即r足夠小的情形下，式中r的高次項(xiàng)比首項(xiàng)小得多，因而可以忽略。I型裂紋的應(yīng)變場(chǎng)

從上式可見，裂端區(qū)應(yīng)力場(chǎng)的形式恒定，其強(qiáng)度完全由KI值的大小來決定，因此就稱KI為I型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子。裂端區(qū)的應(yīng)變場(chǎng)可以由彈性力學(xué)公式求得為：我們的興趣不在于得到精確的應(yīng)變場(chǎng)形式，而在于知道應(yīng)變分量也只由應(yīng)力強(qiáng)度因子來確定。I型裂紋的位移場(chǎng)

通過應(yīng)變一位移關(guān)系，經(jīng)過復(fù)雜的計(jì)算，可以得到裂端區(qū)的位移場(chǎng)為：

這里u和v分別為x和y方向的位移分量，μ是剪切模量，κ與泊松比ν的關(guān)系為：平面應(yīng)力平面應(yīng)變II型和III型裂紋

對(duì)于II型和III型裂紋，裂端區(qū)的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)的形式也是恒定的，而且其表達(dá)式與I型裂紋相似。II型和III型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子分別用KII和KIII表示。由于II型裂紋也是平面問題，可采用上面的坐標(biāo)系來描述，而且只有應(yīng)力分量σx、σy和τxy存在。III型裂紋問題是反平面剪切問題，位移分量?jī)H有z方向的w，應(yīng)力分量?jī)H有τxz和τyz。II型裂紋的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)III型裂紋的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)思考題

如圖所示的坐標(biāo)系，I型和II型裂紋的裂端區(qū)應(yīng)力場(chǎng)在裂紋表面有何特點(diǎn)？在裂紋正前方又分別有何特點(diǎn)？裂端區(qū)位移分量在裂紋表面和正前方又有何特點(diǎn)？3-3應(yīng)力奇異性和應(yīng)力強(qiáng)度因子

三種基本裂紋型的裂端區(qū)應(yīng)力場(chǎng)給出的裂端區(qū)應(yīng)力場(chǎng)有一個(gè)共同的特點(diǎn)，即r→0時(shí)，即在裂紋端點(diǎn)，應(yīng)力分量均趨于無限大。這種特性稱為應(yīng)力奇異性（stresssingularity）。為何會(huì)出現(xiàn)應(yīng)力奇異性呢？這是因?yàn)榱鸭y端點(diǎn)是幾何上的不連續(xù)點(diǎn)的緣故。應(yīng)力奇異性

圖示帶有圓孔、橢圓孔和裂紋的無限大平板。它們分別受到無窮遠(yuǎn)處y方向的均勻拉應(yīng)力的作用。對(duì)于圓孔，此時(shí)A和B兩點(diǎn)有應(yīng)力集中現(xiàn)象，其應(yīng)力集中系數(shù)(stressconcentrationfactor)已廣為人知。對(duì)于橢圓孔，應(yīng)力集中仍發(fā)生A點(diǎn)和B點(diǎn)，其應(yīng)力集中系數(shù)為：a為橢圓的長(zhǎng)半軸，ρ為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)的曲率半徑。

應(yīng)力奇異性

由于a大于ρ，所以Kt恒大于3，即橢圓應(yīng)力集中的程度比圓孔問題嚴(yán)重。若是短軸長(zhǎng)趨于零，則ρ也將趨于零，此時(shí)應(yīng)力集中系數(shù)Kt將趨于無限大。在沒有特別說明的情況下，斷裂力學(xué)所指的裂紋，其裂端的曲率半徑是為零的；在不受力的情況下，上下兩個(gè)裂紋面是互相接觸的。因此，裂紋即裂端曲率半徑趨于零時(shí)的橢圓孔，其裂端有無限大應(yīng)力。

應(yīng)力是看不見的，它是個(gè)抽象的概念，然而位移過程是可以看到的。物體上個(gè)別點(diǎn)（無限遠(yuǎn)處除外）具有無限大的應(yīng)力并不會(huì)使該點(diǎn)的位移趨于無限。因此，裂端具有無限大應(yīng)力是允許的。同時(shí)可以證明，這并不影響裂端區(qū)應(yīng)變能的有界。三種基本裂紋型裂端區(qū)某點(diǎn)的應(yīng)力值、應(yīng)變值、位移值和應(yīng)變能密度值都由應(yīng)力強(qiáng)度因子及其位置來決定。因此，只要知道應(yīng)力強(qiáng)度因子，裂端區(qū)的應(yīng)力、應(yīng)變、位移和應(yīng)變能密度就都能求得。由于有這一特點(diǎn)，應(yīng)力強(qiáng)度因子可以作為表征裂端應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)強(qiáng)度的參量。近代斷裂力學(xué)，就是Irwin在五十年代中期提出了應(yīng)力強(qiáng)度因子的概念，認(rèn)識(shí)到它的意義后才開始發(fā)展起來的。習(xí)題

當(dāng)應(yīng)力奇異性是由r-n來決定時(shí)，n就稱為應(yīng)力奇異性的指數(shù)。當(dāng)線彈性體的裂紋端點(diǎn)具有指數(shù)n為1/2的應(yīng)力奇異性時(shí)，試由量綱分析著手，證明裂端區(qū)的應(yīng)變能將是有界的。若要裂端區(qū)的應(yīng)變能有界，能否反過來從數(shù)學(xué)上證明應(yīng)力奇異性指數(shù)不得大于或等于1？3-4辦常見牧裂紋的姜應(yīng)力強(qiáng)催度因子應(yīng)力強(qiáng)度習(xí)因子可以記用來表征瞞裂紋端點(diǎn)囑區(qū)應(yīng)力應(yīng)欺變場(chǎng)強(qiáng)度昏的參量，逆因此，在龍工程應(yīng)用貞前，首先垃要計(jì)算應(yīng)逆力強(qiáng)度因禮子。計(jì)算鉛應(yīng)力強(qiáng)度月因子有解費(fèi)析法和數(shù)墾值法兩種驅(qū)，前者包蕉括應(yīng)力函遼數(shù)法、積筑分變換法悉、契合問獄題解法等宿等；后者龜包括有限楊單元法、嚷邊界元法苦、邊界配治置法等。從五十年訂代中期以刃來，已建鞏立了許多戲的計(jì)算應(yīng)招力強(qiáng)度因朝子的方法蠻，對(duì)很多抗常見裂紋茂問題的應(yīng)均力強(qiáng)度因代子已匯集蓬成手冊(cè)。吼因此，可絞以根據(jù)手仿冊(cè)的結(jié)果軟，作一定淺的簡(jiǎn)化和賴近似后，物來解決工胸程問題。裂紋的應(yīng)偶力強(qiáng)度因誦子應(yīng)力強(qiáng)度然因子的值俗由載荷、棄裂紋數(shù)目祝、長(zhǎng)度和陵位置以及漲物體的幾給何形狀等總共同決定直。它的單歌位是[力畜]?[長(zhǎng)庭度]-3/2。常用單透位為制的供百萬牛頓好?米-3/優(yōu)2(MN/喪m3/2)或用公政制的公斤紅力?毫米-3/2。由于I羨型裂紋毒是最主齊要的裂設(shè)紋型，巾下面介賭紹一些贈(zèng)標(biāo)準(zhǔn)裂瓶紋問題側(cè)，給出鞭實(shí)驗(yàn)室?guī)X常用試羨件和工跨程零構(gòu)忘件最常趟見I型宏裂紋的閃應(yīng)力強(qiáng)麻度因子動(dòng)（用K表示）蚊。Grif球fith敢裂紋的應(yīng)隸力強(qiáng)度因插子無限大夠平板有孝中心裂布紋，裂尤紋表面睜受到均怪勻拉伸盲應(yīng)力作樸用的應(yīng)密力強(qiáng)度取因子無限大絮平板有她中心裂軍紋，裂穿紋表面歪某處受員到一對(duì)慌集中拉丹力P（武單位厚喘度集中跌力）作貨用的步應(yīng)力強(qiáng)市度因子有限寬危的長(zhǎng)條測(cè)板有中罩心裂紋亮，受到造無窮遠(yuǎn)早處的均汗勻拉伸位的應(yīng)力剛強(qiáng)度因折子有限寬賢的長(zhǎng)條訊板有單至邊裂紋副，受到腎無窮遠(yuǎn)稼處的均割勻拉伸蝴的應(yīng)力房誠(chéng)強(qiáng)度因番子有限寬特的長(zhǎng)條母板有單矮邊裂紋范，受到姜無窮遠(yuǎn)料處的純籌彎曲的瓣應(yīng)力強(qiáng)施度因子設(shè)則圓孔萌生趴的單邊裂照紋—工程另近似解的謀應(yīng)力強(qiáng)度紅因子無限大銅平板的趕圓孔萌閱生了一膝條穿透網(wǎng)板厚的湊裂紋，眠裂長(zhǎng)為鍬L。若售平板受似到無窮善遠(yuǎn)處的菌均勻拉郊伸，當(dāng)涌L<<哄R時(shí)，悔應(yīng)力強(qiáng)呼度因子憤的上限盾為:若裂紋谷較長(zhǎng)，尸則下限戒用:圓孔萌生械的雙邊裂刃紋—工程孩近似解的乎應(yīng)力強(qiáng)度鑒因子圓裂紋樸的應(yīng)力灑強(qiáng)度因蠻子又稱為錢友幣裂紋（纖penn礎(chǔ)y-sh揉aped勿cra反ck），叼是三維的你I型裂紋妥問題，裂沒紋表面呈墻圓形。假瓜設(shè)受到垂臺(tái)直裂紋表燦面的拉伸壁應(yīng)力，當(dāng)互彈性體的壯體積遠(yuǎn)大桐于圓裂紋賤尺寸，且轎拉伸應(yīng)力絮為均布時(shí)餓，圓周上臭每一點(diǎn)的旬應(yīng)力強(qiáng)度嚇因子（精晝確解）為點(diǎn)：橢圓裂紋決的應(yīng)力強(qiáng)槐度因子Φ為第二類傾橢圓積分：在短軸的李端點(diǎn)，K喂有最大值紗。在長(zhǎng)軸忠的端點(diǎn)，蔽K有最小止值。半橢圓形責(zé)表面裂紋形狀因婦子從上述例倡子可見，暢強(qiáng)度因子哀總是與載曠荷成正比筍（這里指夢(mèng)單向加載邪的拉伸應(yīng)耽力或集中旨力），而伐且在均勻瘋拉伸下，諸恒有撈的形式。求這里Y是滅與載荷無燦關(guān)，而與膠幾何變數(shù)炒（裂紋長(zhǎng)扭度或位置恐、物體形狹狀等）有蓄關(guān)的量，掛故稱為幾場(chǎng)何因子或庫(kù)形狀因子帖（geo挖metr純icf登acto纖r）。3-5蕩疊加找原理及昌其應(yīng)用線彈性松力學(xué)的司本構(gòu)關(guān)陰系是線浙性的，除因此，掛裂紋問帖題的應(yīng)讓力強(qiáng)度望因子可娘以利用緞疊加原迅理來求唯得。下面舉烈例介紹仗疊加原顯理在求晉應(yīng)力強(qiáng)隊(duì)度因子持方面的剖幾種應(yīng)巷用。1.同瓶型裂紋錢的疊加兩個(gè)以癥上的外盈載荷同竹時(shí)作用德于一個(gè)估帶裂紋暖的物體執(zhí)，若此在時(shí)的裂級(jí)紋問題節(jié)與每個(gè)滅載荷單劑獨(dú)作用林時(shí)是同休一型裂耽紋，則話應(yīng)力強(qiáng)砍度因子臭為每個(gè)設(shè)載荷單代獨(dú)作用剛時(shí)應(yīng)力括強(qiáng)度因拳子之和然。2.復(fù)破合型裂候紋的分女解如果幾蹈種載荷礎(chǔ)或是特饞殊載荷準(zhǔn)的作用霜，產(chǎn)生形了復(fù)合錘型裂紋妥，則復(fù)色合型裂嘗紋的各國(guó)型應(yīng)力放強(qiáng)度因群子是把蒼載荷分棄解后各悅型裂紋子問題的當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)龍度因子職。3.把裂是紋問題化毒為同型的爛另一個(gè)裂途紋問題當(dāng)一個(gè)裂席紋問題的肚應(yīng)力強(qiáng)度踏因子很大抱易求得時(shí)板，有時(shí)可捧以通過疊厚加原理，犧改求另一且個(gè)較簡(jiǎn)單稈裂紋型的態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度載因子，而疾此兩裂紋達(dá)問題的應(yīng)巖力強(qiáng)度因腔子是相等資的。4.Gr呀een函笛數(shù)的應(yīng)用集中力的幫解可作為界格林函數(shù)種，然后用賠積分來得布到分布力姿的解。練秘習(xí)1．如圖（3漠—17）悠所示，寬論為h的無美限長(zhǎng)條板記有長(zhǎng)為a列的單邊裂荷紋，無窮嘴遠(yuǎn)處的拉販伸應(yīng)力分逝布是由σ1線性降兆低到σ2,試求其蹲應(yīng)力強(qiáng)度劃因子。2．釀如圖匪（3—企18）滲所示的則無限大撈平板，息無窮遠(yuǎn)濾處拉伸遠(yuǎn)應(yīng)力的管方向與涉