8/8第2講圓周運(yùn)動(dòng)及其應(yīng)用1.圖4－2－11在觀看雙人把戲滑冰表演時(shí)，觀眾有時(shí)會看到女運(yùn)發(fā)動(dòng)被男運(yùn)發(fā)動(dòng)拉著離開冰面在空中做水平方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．已知通過目測估計(jì)拉住女運(yùn)發(fā)動(dòng)的男運(yùn)發(fā)動(dòng)的手臂和水平冰面的夾角約為45°，重力加速度為g＝10m/s2，假設(shè)已知女運(yùn)發(fā)動(dòng)的體重為35kgA．受到的拉力約為350eq\r(2)N B．受到的拉力約為350NC．向心加速度約為10m/s2 D．向心加速度約為10eq\r(2)m/s2解析：此題考察了勻速圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析．以女運(yùn)發(fā)動(dòng)為研究對象，受力分析如圖．根據(jù)題意有G＝mg＝350N；那么由圖易得女運(yùn)發(fā)動(dòng)受到的拉力約為350eq\r(2)N，A正確；向心加速度約為10m/s2，C正確．答案：AC2.圖4－2－12中央電視臺《今日說法》欄目最近報(bào)道了一起發(fā)生在湖南長沙某區(qū)湘府路上的離奇交通事故．家住公路拐彎處的張先生和李先生家在三個(gè)月內(nèi)連續(xù)遭遇了七次大卡車側(cè)翻在自家門口的場面，第八次有輛卡車沖進(jìn)李先生家，造成三死一傷和房屋嚴(yán)重?fù)p毀的血腥慘案．經(jīng)公安部門和交通部門協(xié)力調(diào)查，畫出的現(xiàn)場示意圖如圖4－2－12所示．交警根據(jù)圖示作出以下判斷，你認(rèn)為正確的選項(xiàng)是()A．由圖可知汽車在拐彎時(shí)發(fā)生側(cè)翻是因?yàn)檐囎鲭x心運(yùn)動(dòng)B．由圖可知汽車在拐彎時(shí)發(fā)生側(cè)翻是因?yàn)檐囎鱿蛐倪\(yùn)動(dòng)C．公路在設(shè)計(jì)上可能內(nèi)(東)高外(西)低D．公路在設(shè)計(jì)上可能外(西)高內(nèi)(東)低解析：由題圖可知發(fā)生事故時(shí)，卡車在做圓周運(yùn)動(dòng)，從圖可以看出卡車沖入民宅時(shí)做離心運(yùn)動(dòng)，應(yīng)選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；如果外側(cè)高，卡車所受重力和支持力提供向心力，那么卡車不會做離心運(yùn)動(dòng)，也不會發(fā)生事故，應(yīng)選項(xiàng)C正確．答案：AC3.圖4－2－13(2023·湖北局部重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)如圖4－2－13所示，質(zhì)量為m的小球置于正方體的光滑盒子中，盒子的邊長略大于球的直徑．某同學(xué)拿著該盒子在豎直平面內(nèi)做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知重力加速度為g，空氣阻力不計(jì)，要使在最高點(diǎn)時(shí)盒子與小球之間恰好無作用力，那么()A．該盒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期一定小于2πeq\r(\f(R,g))B．該盒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期一定等于2πeq\r(\f(R,g))C．盒子在最低點(diǎn)時(shí)盒子與小球之間的作用力大小可能小于2mgD．盒子在最低點(diǎn)時(shí)盒子與小球之間的作用力大小可能大于2mg解析：要使在最高點(diǎn)時(shí)盒子與小球之間恰好無作用力，那么有mg＝eq\f(mv2,R)，解得該盒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度v＝eq\r(gR)，該盒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T＝eq\f(2πR,v)＝2πeq\r(\f(R,g)).選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；在最低點(diǎn)時(shí)，盒子與小球之間的作用力和小球重力的合力提供小球運(yùn)動(dòng)的向心力，由F－mg＝eq\f(mv2,R)，解得F＝2mg，選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤．答案：B4.圖4－2－14如圖4－2－14所示，半徑為r＝20cm的兩圓柱體A和B，靠電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)按相同方向均以角速度ω＝8rad/s轉(zhuǎn)動(dòng)，兩圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)軸互相平行且在同一平面內(nèi)，轉(zhuǎn)動(dòng)方向已在圖中標(biāo)出，質(zhì)量均勻的木棒水平放置其上，重心在剛開場運(yùn)動(dòng)時(shí)恰在B的正上方，棒和圓柱間動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.16，兩圓柱體中心間的距離s＝1.6m，棒長l>2m，重力加速度取10m/s2，求從棒開場運(yùn)動(dòng)到重心恰在A正上方需多長時(shí)間？解析：棒開場與A、B兩輪有相對滑動(dòng)，棒受向左摩擦力作用，做勻加速運(yùn)動(dòng)，末速度v＝ωr＝8×0.2m/s＝1.6m/s，加速度a＝μg＝1.6m/s2，時(shí)間t1＝eq\f(v,a)＝1s，此時(shí)間內(nèi)棒運(yùn)動(dòng)位移s1＝eq\f(1,2)ateq\o\al(2,1)＝0.8m．此后棒與A、B無相對運(yùn)動(dòng)，棒以v＝ωr做勻速運(yùn)動(dòng)，再運(yùn)動(dòng)s2＝AB－s1＝0.8m，重心到A正上方時(shí)間t2＝eq\f(s2,v)＝0.5s，故所求時(shí)間t＝t1＋t2＝1.5s.答案：1.5s5．圖4－2－15在一次抗洪救災(zāi)工作中，一架直升機(jī)A用長H＝50m的懸索(重力可忽略不計(jì))系住一質(zhì)量m＝50kg的被困人員B，直升機(jī)A和被困人員B以v0＝10m/s的速度一起沿水平方向勻速運(yùn)動(dòng)，如圖4－2－15甲所示．某時(shí)刻開場收懸索將人吊起，在5s時(shí)間內(nèi)，A、B之間的豎直距離以l＝50－t2(單位：m)的規(guī)律變化，取g＝10m/s(1)求這段時(shí)間內(nèi)懸索對被困人員B的拉力大?。?2)求在5s末被困人員B的速度大小及位移大?。?3)直升機(jī)在t＝5s時(shí)停頓收懸索，但發(fā)現(xiàn)仍然未脫離洪水圍困區(qū)，為將被困人員B盡快運(yùn)送到平安處，飛機(jī)在空中旋轉(zhuǎn)后靜止在空中尋找最近的平安目標(biāo)，致使被困人員B在空中做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖乙所示．此時(shí)懸索與豎直方向成37°角，不計(jì)空氣阻力，求被困人員B做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度以及懸索對被困人員B的拉力．(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)解析：(1)被困人員在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上被困人員的位移y＝H－l＝50－(50－t2)＝t2，由此可知，被困人員在豎直方向上做初速度為零、加速度a＝2m/s2的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可得F－mg＝ma，解得懸索的拉力F＝m(g＋a)＝600N.(2)被困人員5s末在豎直方向上的速度為vy＝at＝10m/s，合速度v＝eq\r(v\o\al(2,0)＋v\o\al(2,y))＝10eq\r(2)m/s，豎直方向上的位移y＝eq\f(1,2)at2＝25m，水平方向的位移x＝v0t＝50m，合位移s＝eq\r(x2＋y2)＝25eq\r(5)m.(3)t＝5s時(shí)懸索的長度l′＝50－y＝25m，旋轉(zhuǎn)半徑r＝l′sin37°，由meq\f(v′2,r)＝mgtan37°，解得v′＝eq\f(15,2)eq\r(2)m/s.此時(shí)被困人員B的受力情況如右圖所示，由圖可知Tcos37°＝mg，解得T＝eq\f(mg,cos37°)＝625N.答案：(1)600N(2)10eq\r(2)m/s1.圖4－2－16圖示4－2－16所示為某一皮帶傳動(dòng)裝置．主動(dòng)輪的半徑為r1，從動(dòng)輪的半徑為r2.已知主動(dòng)輪做順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速為n，轉(zhuǎn)動(dòng)過程中皮帶不打滑．以下說法正確的選項(xiàng)是()A．從動(dòng)輪做順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) B．從動(dòng)輪做逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)C．從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速為eq\f(r1,r2)n D．從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速為eq\f(r2,r1)n解析：此題考察的知識點(diǎn)是圓周運(yùn)動(dòng)．因?yàn)橹鲃?dòng)輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，從動(dòng)輪通過皮帶的摩擦力帶動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)，所以從動(dòng)輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤B正確；由于通過皮帶傳動(dòng)，皮帶與輪邊緣接觸處的速度相等，所以由2πnr1＝2πn2r2，得從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速為n2＝eq\f(nr1,r2)，選項(xiàng)C正確D錯(cuò)誤．答案：BC2.圖4－2－17質(zhì)量為m的石塊從半徑為R的半球形的碗口下滑到碗的最低點(diǎn)的過程中，如果摩擦力的作用使得石塊的速度大小不變，如圖4－2－17所示，那么()A．因?yàn)樗俾什蛔?，所以石塊的加速度為零B．石塊下滑過程中受的合外力越來越大C．石塊下滑過程中受的摩擦力大小不變D．石塊下滑過程中的加速度大小不變，方向始終指向球心解析：由于石塊做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，只存在向心加速度，大小不變，方向始終指向球心，D對，A錯(cuò)．由F合＝F向＝ma向知合外力大小不變，B錯(cuò)，又因石塊在運(yùn)動(dòng)方向(切線方向)上合力為零，才能保證速率不變，在該方向重力的分力不斷減小，所以摩擦力不斷減小，C錯(cuò)．答案：D3.圖4－2－182023年4月28日凌晨，山東境內(nèi)發(fā)生兩列列車相撞事故，造成了大量人員傷亡和財(cái)產(chǎn)損失．引發(fā)事故的主要原因是其中一列列車轉(zhuǎn)彎時(shí)超速行駛．如圖4－2－18所示，是一種新型高速列車，當(dāng)它轉(zhuǎn)彎時(shí)，車廂會自動(dòng)傾斜，提供轉(zhuǎn)彎需要的向心力；假設(shè)這種新型列車以360km/h的速度在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)彎，彎道半徑為1.5kA．500N B．1000N C．500eq\r(2)N D．0解析：360km/h＝100m/s，乘客在列車轉(zhuǎn)彎過程中所受的合外力提供向心力F＝eq\f(mv2,r)＝75×eq\f(1002,1.5×103)N＝500N.答案：A4.圖4－2－19如圖4－2－19甲所示，一根細(xì)線上端固定在S點(diǎn)，下端連一小鐵球A，讓小鐵球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，此裝置構(gòu)成一圓錐擺(不計(jì)空氣阻力)．以下說法中正確的選項(xiàng)是()A．小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，受到重力、繩子的拉力和向心力作用B．小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度一定大于eq\r(\f(g,l))(l為擺長)C．另有一個(gè)圓錐擺，擺長更大一點(diǎn)，兩者懸點(diǎn)相同，如圖4－2－19乙所示，如果改變兩小球的角速度，使兩者恰好在同一水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，那么B球的角速度大于A球的角速度D．如果兩個(gè)小球的質(zhì)量相等，那么在圖乙中兩條細(xì)線受到的拉力相等解析：如以以下圖所示，小鐵球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，只受到重力和繩子的拉力，而向心力是由重力和拉力的合力提供的，故A項(xiàng)錯(cuò)誤．根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式可得：mgtanθ＝mlω2sinθ，即ω＝eq\r(g/lcosθ).當(dāng)小鐵球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，θ一定大于零，即cosθ一定小于1，因此，當(dāng)小鐵球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)角速度一定大于eq\r(g/l)，故B項(xiàng)正確．設(shè)點(diǎn)S到點(diǎn)O的距離為h，那么mgtanθ＝mhω2tanθ，即ω＝eq\r(g/h)，假設(shè)兩圓錐擺的懸點(diǎn)相同，且兩者恰好在同一水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，它們的角速度大小一定相等，即C項(xiàng)錯(cuò)誤．如右上圖所示，細(xì)線受到的拉力大小為FT＝eq\f(mg,cosθ)，當(dāng)兩個(gè)小球的質(zhì)量相等時(shí)，由于θA＜θB，即cosθA＞cosθB，所示A球受到的拉力小于B球受到的拉力，進(jìn)而可以判斷兩條細(xì)線受到的拉力大小不相等，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．答案：B5．汽車甲和汽車乙質(zhì)量相等，以相等速率沿同一水平彎道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，甲車在乙車的外側(cè)．兩車沿半徑方向受到的摩擦力分別為Ff甲和Ff乙．以下說法正確的選項(xiàng)是()A．Ff甲小于Ff乙 B．Ff甲等于Ff乙C．Ff甲大于Ff乙 D．Ff甲和Ff乙大小均與汽車速率無關(guān)解析：此題重點(diǎn)考察的是勻速圓周運(yùn)動(dòng)中向心力的知識．根據(jù)題中的條件可知，兩車在水平面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，那么地面對車的摩擦力來提供其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，那么F向＝f，又有向心力的表達(dá)式F向＝eq\f(mv2,r)，因?yàn)閮绍嚨馁|(zhì)量相同，兩車運(yùn)行的速率相同，因此軌道半徑大的車的向心力小，即摩擦力小，A正確．答案：A6.圖4－2－20在高速公路的拐彎處，通常路面都是外高內(nèi)低．如圖4－2－20所示，在某路段汽車向左拐彎，司機(jī)左側(cè)的路面比右側(cè)的路面低一些．汽車的運(yùn)動(dòng)可看作是做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)．設(shè)內(nèi)外路面高度差為h，路基的水平寬度為d，路面的寬度為L.已知重力加速度為g.要使車輪與路面之間的橫向摩擦力(即垂直于前進(jìn)方向)等于零，那么汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)的車速應(yīng)等于()A.eq\r(\f(gRh,L))B.eq\r(\f(gRh,d))C.eq\r(\f(gRL,h))D.eq\r(\f(gRd,h))解析：考察向心力公式．汽車做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，向心力由重力與斜面對汽車的支持力的合力提供，且向心力的方向水平，向心力大小F向＝mgtanθ，根據(jù)牛頓第二定律：F向＝meq\f(v2,R)，tanθ＝eq\f(h,d)，解得汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)的車速v＝eq\r(\f(gRh,d))，B對．答案：B7.圖4－2－21(2023·衡水模擬)如圖4－2－21所示，在豎直的轉(zhuǎn)動(dòng)軸上，a、b兩點(diǎn)間距為40cm，細(xì)線ac長50cm，bc長30cm，在c點(diǎn)系一質(zhì)量為m的小球，在轉(zhuǎn)動(dòng)軸帶著小球轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，以下說法不正確的選項(xiàng)是()A．轉(zhuǎn)速小時(shí)，ac受拉力，bc松弛 B．bc剛好拉直時(shí)ac中拉力為1.25mgC．bc拉直后轉(zhuǎn)速增大，ac拉力不變 D．bc拉直后轉(zhuǎn)速增大，ac拉力增大答案：D8.圖4－2－22如圖4－2－22所示，某同學(xué)用硬塑料管和一個(gè)質(zhì)量為m的鐵質(zhì)螺絲帽研究勻速圓周運(yùn)動(dòng)，將螺絲帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持豎直并在水平方向做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，那么只要運(yùn)動(dòng)角速度適宜，螺絲帽恰好不下滑，假設(shè)螺絲帽與塑料管間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，認(rèn)為最大靜摩擦力近似等于滑動(dòng)摩擦力．那么在該同學(xué)手轉(zhuǎn)塑料管使螺絲帽恰好不下滑時(shí)，下述分析正確的選項(xiàng)是()A．螺絲帽受的重力與最大靜摩擦力平衡B．螺絲帽受到桿的彈力方向水平向外，背離圓心C．此時(shí)手轉(zhuǎn)動(dòng)塑料管的角速度ω＝eq\r(\f(mg,μr))D．假設(shè)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)加快，螺絲帽有可能相對桿發(fā)生運(yùn)動(dòng)解析：由于螺絲帽做圓周運(yùn)動(dòng)過程中恰好不下滑，那么豎直方向上重力與摩擦力平衡，桿對螺絲帽的彈力提供其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，選項(xiàng)A正確、BC錯(cuò)誤；無論桿的轉(zhuǎn)動(dòng)速度增大多少，但豎直方向受力平衡，應(yīng)選項(xiàng)D錯(cuò)誤．答案：A9.圖4－2－23如圖4－2－23所示，螺旋形光滑軌道豎直放置，P、Q為對應(yīng)的軌道最高點(diǎn)，一個(gè)小球以一定速度沿軌道切線方向進(jìn)入軌道，且能過軌道最高點(diǎn)P，那么以下說法中正確的選項(xiàng)是()A．軌道對小球做正功，小球的線速度vP>vQB．軌道對小球不做功，小球的角速度ωP<ωQC．小球的向心加速度aP>aQD．軌道對小球的壓力FP>FQ解析：此題考察圓周運(yùn)動(dòng)和機(jī)械能守恒，中檔題．軌道光滑，小球在運(yùn)動(dòng)的過程中只受重力和支持力，支持力時(shí)刻與運(yùn)動(dòng)方向垂直所以不做功，A錯(cuò)；那么在整個(gè)過程中只有重力做功滿足機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒有vP<vQ，在P、Q兩點(diǎn)對應(yīng)的軌道半徑rP>rQ，根據(jù)ω＝eq\f(v,r)，a＝eq\f(v2,r)，得小球在P點(diǎn)的角速度小于在Q點(diǎn)的角速度，B正確；在P點(diǎn)的向心加速度小于在Q點(diǎn)的向心加速度，C錯(cuò)；小球在P和Q兩點(diǎn)的向心力由重力和支持力提供，即mg＋FN＝ma向，可得P點(diǎn)對小球的支持力小于Q點(diǎn)對小球的支持力，D錯(cuò)．答案：B10.圖4－2－24如圖4－2－24所示，一個(gè)豎直放置的圓錐筒可繞其中心OO′轉(zhuǎn)動(dòng)，筒內(nèi)壁粗糙，筒口半徑和筒高分別為R和H，筒內(nèi)壁A點(diǎn)的高度為筒高的一半．內(nèi)壁上有一質(zhì)量為m的小物塊隨圓錐筒一起做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，那么以下說法正確的選項(xiàng)是()A．小物塊所受合外力指向O點(diǎn)B．當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω＝eq\f(\r(2gH),R)時(shí)，小物塊不受摩擦力作用C．當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω>eq\f(\r(2gH),R)時(shí)，小物塊受摩擦力沿AO方向D．當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω<eq\f(\r(2gH),R)時(shí)，小物塊受摩擦力沿AO方向解析：勻速圓周運(yùn)動(dòng)物體所受合外力提供向心力，指向物體圓周運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心，A項(xiàng)錯(cuò)；當(dāng)小物塊在A點(diǎn)隨圓錐筒做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且其所受到的摩擦力為零時(shí)，小物塊在筒壁A點(diǎn)時(shí)受到重力和支持力的作用，它們的合力提供向心力，設(shè)筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，有：mgtanθ＝mω2·eq\f(R,2)，由幾何關(guān)系得：tanθ＝eq\f(H,R)，聯(lián)立以上各式解得ω＝eq\f(\r(2gH),R)，B項(xiàng)正確；當(dāng)角速度變大時(shí)，小物塊所需向心力增大，故摩擦力沿AO方向，其水平方向分力提供局部向心力，C項(xiàng)正確；當(dāng)角速度變小時(shí)，小物塊所需向心力減小，故摩擦力沿OA方向，抵消局部支持力的水平分力，D項(xiàng)錯(cuò)．答案：BC11.圖4－2－25如圖4－2－25所示，一水平光滑、距地面高為h、邊長為a的正方形MNPQ桌面上，用長為L的不可伸長的輕繩連接質(zhì)量分別為mA、mB的A、B兩小球，兩小球在繩子拉力的作用下，繞繩子上的某點(diǎn)O以不同的線速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心O與桌面中心重合，已知mA＝0.5kg，L＝1.2m，LAO＝0.8m，a＝2.1m，h＝1.25m，A球的速度大小vA＝0.4m/s，重力加速度g取10m/s(1)繩子上的拉力F以及B球的質(zhì)量mB；(2)假設(shè)當(dāng)繩子與MN平行時(shí)突然斷開，那么經(jīng)過1.5s兩球的水平距離；(3)兩小球落至地面時(shí)，落點(diǎn)間的距離．解析：(1)F＝mAeq\f(v\o\al(2,A),LOA)＝0.5×eq\f(0.42,0.8)N＝0.1N，由F＝mAω2LOA＝mBω2LOB得mB＝mAeq\f(LOA,LOB)＝1kg.(2)x＝(vA＋vB)t1＝0.6×1.5m＝0.9m，水平距離為s