初中經(jīng)典幾何證明練習題含答案初中經(jīng)典幾何證明練習題含答案/初中經(jīng)典幾何證明練習題含答案初中幾何證明題經(jīng)典題（一）1、已知：如圖，O是半圓的圓心，、E是圓上的兩點，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求證：CD＝GF．（初二）2、已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)部的一點，∠PAD＝∠PDA＝15°。求證：△PBC是正三角形．（初二）3、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，、N分別是AB、CD的中點，AD、BC的延長線交MN于、．求證：∠DEN＝∠．經(jīng)典題（二）1ABC中，HO為外心，且OM⊥BC于．（1）求證：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝600，求證：AH＝AO．（初二）2MN是圓O外一條直線，過O作OA⊥MN于A引圓的兩條割線交圓O于C及、，連接并延長交MN于，連接EB并延長交MN于P.求證：AP＝AQ．3、如圖,分別以△ABC的AB和AC為一邊,在△ABC的外側(cè)作正方形ABFG和正方形ACDE，點O是的中點，OP⊥BC求證：BC=2OP初二）證明：分別過、、D作直線BC的垂線，垂足分別是L、、N∵OF=ODDN∥OP∥FL∴PN=PL∴OP是梯形DFLN的中位線∴DN+FL=2OP∵ABFG是正方形∴∠ABM+∠FBL=90°又∠BFL+∠FBL=90°∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90，BF=AB∴△BFL≌△ABM∴FL=BM同理△AMC≌△CND∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN∴BC=FL+DN=2OP經(jīng)典題（三）1、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE與CD訂交于．求證：CE＝CF．（初二）證明：連接BD交AC于。過點E作EG⊥AC于G∵ABCD是正方形∴BD⊥AC又EG⊥AC∴BD∥EG又DE∥AC∴ODEG是平行四邊形又∠COD=90∴ODEG是矩形1∴EG=OD=21BD=21AC=2AE∴∠0∵AC=AE∴∠ACE=∠AEC=75°又∠AFD=90°-15°=75°∴∠CFE=∠AFD=75°∠AEC∴CE=CF2、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直線EC交DA延長線于．求證：AE＝AF．（初二）證明：連接BD，過點E作EG⊥AC于G∵ABCD是正方形∴BD⊥AC，又EG⊥AC∴BD∥EG又DE∥AC∴ODEG是平行四邊形1∴∠CAE=∠CEA=2∠GCE=15在△AFC中∠F=180°-∠FAC-∠ACF又∠COD=90=180°-∠FAC-∠GCE∴ODEG是矩形1∴EG=OD=21BD=21AC=2CE∴∠GCE=30∵AC=EC3、設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點，PF⊥AP，CF均分∠DCE．求證：PA＝PF．（初二）證明：過點F作FG⊥于，F(xiàn)H⊥CD于H∵CD⊥CG∴HCGF是矩形∵∠HCF=∠GCF∴FH=FG∴HCGF是正方形∴CG=GF設(shè)，，∵AP⊥FPz：y=（x-y+z）：x∴∠APB+∠FPG=90°化簡得（x-y）·y=（x-y）·z∵∠APB+∠BAP=90°∵x-y≠0∴∠FPG=∠BAP∴y=z又∠FGP=∠PBA即BP=FG∴△FGP∽△PBA∴△ABP≌△PGF∴FG：PB=PG：AB4PC切圓O于AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AEAF與直線PO訂交于．求證：AB＝DC，BC＝AD．（初三）證明：過點E作EK∥BD，分別交AC、AF于、，取EF的中點，連接OH、MH、EC∵EH=FH∴OH⊥EF，∴∠PHO=90∴EM=KM又PC⊥OC，∴∠POC=90∵EK∥BD∴、、、O四點共圓∴OBEMAOAMODKM∴∠=HPO又EK∥BD，∴∠=HEK∴∠HCM=HEM∴、、、M四點共圓∴∠=EHM又∠=EFA∴∠=EFA∴HM∥AC∵EH=FH經(jīng)典題(四)A1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形內(nèi)一點，PA＝，PB＝4，PC＝5．P求∠的度數(shù)．（初二）解：將△ABP繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△BCQ，連接PQBCQ則△BPQ是正三角形∴∠0，PQ=PB=3在△PQC中，PQ=4，CQ=AP=3PC=5∴△PQC是直角三角形∴∠PQC=90∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=60+90°=150°∴∠APB=∠BQC=1502、設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點，且∠PBA＝∠PDA．求證：∠PAB＝∠PCB．（初二）AD證明：過點P作AD的平行線，過點A作PD的平行線，EPB

C兩平行線訂交于點，連接BE∵PE∥AD，AE∥PD∴ADPE是平行四邊形∴PE=AD，又ABCD是平行四邊形∴AD=BC∴PE=BC又PE∥AD，AD∥BC又∠ADP=∠ABP∴PE∥BC∴∠AEP=∠ABP∴BCPE是平行四邊形∴、、、P四點共圓∴∠BEP=∠PCB∴∠BEP=∠PAB∵ADPE是平行四邊形∴∠PAB=∠PCB∴∠ADP=∠AEP3、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）A證明：在BD上去一點，使∠BCE=∠ACDD∵D∴∠CAD=∠CBDEBC∴△BEC∽△ADC∴BEADBCAC∴AD·BC=BE·AC????????①∵∠BCE=∠ACD∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE即∠BCA=∠ECD∵B∴∠BAC=∠BDC①②得AB·CD+AD·BC=DE·AC+BE·AC△BAC∽△EDC=（DE+BE）·AC∴ABDEACCD∴AB·CD=DEAC????????②4、平行四邊形ABCD中，設(shè)、F分別是BC、AB上的一點，AE與CF訂交于，且AE＝CF．求證：∠DPA＝∠DPC．（初二）A

D證明：過點D作DG⊥AE于，作DH⊥FC于，連接DF、G11∴△ADE=AE·DG，△FDC=FC·DH22HBEC1又△ADE=S△FDC=S□ABCD2∴AE·CDH又AE=CF∴DG=DH∴點D在∠APC的角均分線上∴∠DPA＝∠DPC經(jīng)典題（五）1、設(shè)P是邊長為1的正△ABC內(nèi)任一點，L＝PA＋PB＋PC，求證：3≤L＜2．證明：（）將△BPC繞B點順時針旋轉(zhuǎn)60°的△BEF，連接PE，A∵BP=BE，∠PBE=60°GP

D∴△PBE是正三角形。CB∴又EF=PCE∴L=PA+PB+PC=PA+PE+EFF當PA、PE、EF在一條直線上的時候，L=PA+PE+EF的值最?。ㄈ鐖D）在△中，∠ABP=120°∴AF=3∴L=PA+PB+PC3（）過點P作BC的平行線分別交AB、AC于、G則△ADG是正三角形∴∠ADP=∠AGP，AG=DG∵∠APD＞∠AGP∴∠APD＞∠ADP∴AD＞PA??????????①又BD+PD＞PB????????②CG+PG＞PC????????③①②③得AD+BD+CG+PD+∴AB+CG+DG=AB+CG+AG=A∵AB=AC=1L＜2由（1）（2）可知：3≤L＜2．2、已知：P是邊長為1的正方形ABCD內(nèi)的一點，求PA＋PB＋PC的最小值．AD解：將△BCP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得△BEF，連接PE，P則△BPE是正三角形BC

E∴PE=PB∴PA＋PB＋PC=PA+PE+EFGF∴要使PA＋PB＋PC最小，則PA、PE、EF應(yīng)該在一條直線上（如圖）此時AF=PA+PE+EF過點F作FG⊥AB的延長線于G則∠0-∠ABF=180°-150°=30°1∴GF=，BG=232∴AF=2AG2GF=1223212=23∴PA＋PB＋PC的最小值是233、P為正方形ABCD內(nèi)的一點，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的邊長．AD證明：將△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得△BCQ，連接PQP則△BPQ是等腰直角三角形，CB∴PQ=2PB=2×2a=22aQ又QC=AP=a∴QP2+QC2=(22a)2+QC2=(22a)2=9a2=PC2∴△PQC是直角三角形∴∠BQC=135∵BC2=BQ2+CQ2-2BQ·CQ·cos∠BQC=PB2+PA·PAcos135°=4a2+a-2×2a×a×(-2)2解得BC=522a∴正方形的邊長為522a4、如圖，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80°，、E分別是AB、AC上的點，∠DCA＝30°，∠AEBA＝20°，求∠BED的度數(shù)．解：在AB上取一點，使∠BCF=60°，CF交BE于，連接EF、DG∵∠ABC=80°，∠ABE=20°，∴∠EBC=60°，又∠BCG=60FED∴△BCG是正三角形∴BG=BCG∵∠ACB=80°，∠BCG=60∴∠FCA=20°∴∠EBA=∠FCABC又∵∠A=∠，AB=AC∴△ABE≌ACF∴AE=AF1∴∠AFE=∠AEF=（°-∠）=80°2又∵∠ABC=80°∠AFE∴EF∥BC∴∠EFG=∠BCG=60∴△EFG是等邊三角形∴EF=EG，∠FEG=∠EGF=∠EFG=60°∵ACB=80°，∠0∴∠0∴∠BDC=180-∠BCD-∠0-50°-80°=50°∴∠BCD=∠BDC∴BC=BD前已證CBD=BG1∠=BDG=（°-∠ABE）=80°2∴∠FGD=180-∠-0-80°-60°=40°又∠DFG=180-∠AFE-∠0-80°-60°=40°∴∠FGD=∠DFG∴DF=DG又EF=EG，E△EFD≌△EGD11

∴∠BED=∠FED=∠FEG=×60°=30°

225、如圖，△ABC內(nèi)接于⊙，且AB為⊙O的直徑，∠ACB的均分線交⊙O于點，過點D作⊙O的切線PD交CA的延長線于點，過點A作AE⊥CD于點，過點B作BF⊥CD于點，若AC=6，BC=8，求線段PD的長。解：∵∠ACD=∠BCD∴⌒BD∴AD=BD∵AB為⊙O的直徑∴∠ADB=90°∴△ABD是等腰直角三角形∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8∴AB=10∴AD=AB·cos∠DAB=10×22=52又AE⊥CD，∠5∴△ACE是等腰直角三角形∴CE=AE=ACcos∠CAE=6×2=322在△ADE中，DE=AD2∴DE2523232∴2∴+42=72∵∠PDA=∠PCD，∠P=∠P∴△PDA∽△PCD∴PDPCPAPDADCD5722577∴PC=55PD，PA=7PD∵PC=PA+AC755PD=735PD+6解得PD=41證明：過點G作GH⊥AB于，連接OE∵EG⊥CO，EF⊥AB∴∠EGO=90，∠EFO=90°∴∠+0∴、、、F四點共圓∴∠=HFG∵∠=0∴△EGO∽△FHG∴EOFG=GOHG∵GH⊥AB，CD⊥AB∴GH∥CD∴GOHGCOCD∴EOFGCOCD∵EO=CO∴CD=GF2證明：作正三角形ADM，連接MP∵∠MAD=60，∠PAD=15°∴∠MAP=∠MAD+PAD=75°∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75°∴∠BAP=∠MAP∵MA=BAAP=AP∴△MAP≌△BAP∴∠BPA=∠MPA，MP=BP同理∠CPD=∠MPD，MP=CP∵∠PAD＝∠PDA＝15°∴PA=PD，∠BAP=∠5∵BA=CD∴△BAP≌∠CDP∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA，∠CPD=∠MPD∴∠MPA=∠MPD=75∴∠0-75°×4=60°∵MP=BPMP=CP∴BP=CP∴△BPC是正三角形3證明:連接AC，取AC的中點G,連接NG、MG∵CN=DNCG=DG1∴GN∥AD，GN=2AD∴∠DEN=∠GNM∵AM=BMAG=CG1∴GM∥BC，GM=2BC∴∠F=∠GMN∵AD=BC∴GN=GM∴∠GMN=GNM∴∠DEN=∠F1證明：（）延長AD交圓于，連接BF，過點O作OG⊥AD于G∵OG⊥AF∴AG=FG∵B=AB∴∠F=∠ACB又AD⊥BC，BE⊥AC∴∠BHD+∠0∠ACB+∠DBH=90∴∠ACB=∠BHD∴∠F=∠BHD∴BH=BF又AD⊥BC∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH又AD⊥BC，OM⊥BC，OG⊥AD∴四邊形OMDG是矩形∴OM=GD∴AH=2OM（）連接OB、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120∵OB=OCOM⊥BC1∴∠BOM=2∠BOC=60∴∠OBM=30∴BO=2OM由（1）知AH=2OMAH=BO=AO2證