大一高等數(shù)學(xué)期末考試試卷

（一）

一、選擇題（共12分）

f2e'r<0

1.（3分）若/（x）=''為連續(xù)函數(shù)，則。的值為（）.

[a+x,x>0

（A）l（B）2（C）3（D）-l

2.（3分）已知f'（3）=2,則limeh）：/⑶的值為（）

2h

（A）l（B）3（0-1（D）-

2

兀____________

3.（3分）定積分J弓Jl-cos?。面的值為（）.

~2

（A）0（B）-2（C）l（D）2

4.（3分）若/（%）在》=不處不連續(xù)，則/（x）在該點(diǎn)處（）.

（A）必不可導(dǎo)（B）一定可導(dǎo)（C）可能可導(dǎo)（D）必?zé)o極限

二、填空題（共12分）

1.（3分）平面上過(guò)點(diǎn)（0,1）,且在任意一點(diǎn)（x,y）處的切線(xiàn)斜率為3/的曲線(xiàn)方程

為.

2.（3分）J）（x2+x4sinx）dx=

,11

3.（3分）limx-sin—=.

4.（3分）y=2d―3d的極大值為:

三、計(jì)算題（共42分）

1.（6分）求lin/ma+y

a。sin3廠(chǎng)

2.（6分）設(shè)丫=華■，求y'.

x+1

3.（6分）求不定積分Jxlna+V）辦.

X

「3--------.X：

4.（6分）求]（）/（%-1%憶其中/（x）={1+cosx

+l,x>1.

5.(6分)設(shè)函數(shù)y=/(x)由方程力+［cos就=0所確定，求血

6.(6分)設(shè)j/(x)公=sinx?+C,求J,f(2x+3)辦:.

7.(6分)求極限limk+2］.

2n)

四、解答題(共28分)

1.(7分)設(shè)/'(lnx)=l+x,且，(0)=1,求/(無(wú)).

2.(7分)求由曲線(xiàn)y=cosx(-工＜》4工］與x軸所圍成圖形繞著x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋

、22)

轉(zhuǎn)體的體積.

3.(7分)求曲線(xiàn)y=d-3d+24x—19在拐點(diǎn)處的切線(xiàn)方程.

4.(7分)求函數(shù)y=在［—5,1］上的最小值和最大值.

五、證明題(6分)

設(shè)f\x)在區(qū)間切上連續(xù),證明

￡f(x)dx=^--［f(a)+/0)］+；J：(x-a)(x-b)，(x)dx.

（一）

一、填空題(每小題3分，共18分)

1.設(shè)函數(shù)/(x)==J—1，則x=l是/(x)的第_____類(lèi)間斷點(diǎn).

x-3x+2

2.函數(shù)丁=16+*2),則y=

4.曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)____________________________

X

5.函數(shù)y=2/—3/在［_1,4］上的最大值_______,最小值

rarctanx,

6.I------ax=

J1+x2

二、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共20分）

1.數(shù)列｛*“｝有界是它收斂的（）?

（A）必要但非充分條件；（B）充分但非必要條件；

（C）充分必要條件；（。）無(wú)關(guān)條件.

2.下列各式正確的是（）.

（A）Je-xdx=e-x+Ci（B）jlnx</x=-+C；

（C）［——--dx=—ln（l-2x）+C；（￡））［—-—dx=lnlnx+C.

Jl-2x2Jxlnx

3.設(shè)/（x）在［a㈤上，/'（x）>0且/”（x）>0,則曲線(xiàn)y=/（x）在［a,）上.

（A）沿x軸正向上升且為凹的；（3）沿x軸正向下降且為凹的；

（。）沿x軸正向上升且為凸的；（。）沿x軸正向下降且為凸的.

4.設(shè)/（x）=xlnx,則/（x）在x=0處的導(dǎo)數(shù)（）.

（A）等于1；（8）等于一1；

（C）等于0；（。）不存在.

5.已知limf（x）=2,以下結(jié)論正確的是（）.

（A）函數(shù)在x=l處有定義且/（1）=2；（B）函數(shù)在x=l處的某去心鄰域內(nèi)有定義；

（C）函數(shù)在x=1處的左側(cè)某鄰域內(nèi)有定義；（。）函數(shù)在x=1處的右側(cè)某鄰域內(nèi)有定義.

三、計(jì)算（每小題6分，共36分）

1.求極限：limx2sin—.

XT°X

2.已知y=ln（l+A：?）,求y'.

3.求函數(shù)丁=/門(mén)（*>0）的導(dǎo)數(shù).

rx2

4.I-----dx.

J1+x2

5.Jxcosxdx.

6.方程y*=x，確定函數(shù)y=/（x）,求y'.

四、（10分）已知e/為/（X）的一個(gè)原函數(shù)，求Jl/Gkv.

五、（6分）求曲線(xiàn)y=xe-、的拐點(diǎn)及凹凸區(qū)間.

六、（10分）設(shè)//'（后法="卜'三+1）+0,求/（x）.

（三）

一、填空題（本題共5小題，每小題4分，共20分）.

J_1

lim（cosx）12~r

（1）1。=Te.

（2）曲線(xiàn)y=%lnx上與直線(xiàn)x—y+l=°平行的切線(xiàn)方程為_(kāi)丁=1一1.

、-(Inx)2

⑶已知/'（"）=xe-',且八1）=°,貝！j/（x）=____」(x)=2_____.

x211

y=y=X——.

（4）曲線(xiàn).3尢+1的斜漸近線(xiàn)方程為_(kāi)______.39_

2-

y'--^-=（x+l）2322

;=_(x+l)+C(x+l).

（5）微分方程.x+l的通解為_(kāi)________

二、選擇題（本題共5小題，每小題4分，共20分）.

（1）下列積分結(jié)果正確的是（D）

f」=0[,-\-dx=-2

（A）Jtx（B）JtX

f+81jf+301,

-dx=-w1.—r=ax=+8

（C）J1X（D）Jy/X

（2）函數(shù)f（x）在出，句內(nèi)有定義，其導(dǎo)數(shù)T（x）的圖形如圖1-1所示，貝lj(D).

（A）X|,%2都是極值點(diǎn).

（B）&，/（玉）），（工2，/（*2））都是拐點(diǎn).

y=ff(x)

（C）七是極值點(diǎn).，（%2，/*2））是拐點(diǎn).,7.

（D）（%，/區(qū)））是拐點(diǎn)，％是極值點(diǎn).一/------!——>

Oj/巧x

(3)函數(shù)y=Ge'+GeT'+猊'滿(mǎn)足的一個(gè)微分方程是(

D).

x

(A)y"-y'-2y=3xex.(B)/-y'-2y=3e.

(C)y+/-2y=3xev.⑴)/+y'-2y=3ex.

lim""。)——

(4)設(shè)f(x)在天處可導(dǎo)，則2。h為(A).

(A)(B)-/'(“0).(C)0.

(D)不存在.

（5）下列等式中正確的結(jié)果是（A）.

(A)(J7(x)公)'=/(x).聞J/V)=/(O

(C)d[\f(x)dx]=f(x).(d)\f'(x)dx^f(x).

三、計(jì)算題（本題共4小題，每小題6分,共24分）.

lim（--------）

1.求極限jx-lEx.

V-1xlnx-x+1

lim(-----------)leim

解3%-1Inx(x-l)lnJC1分

Inx

lim-----------

XT】X—1.

-+lnx

x2分

..x\nx

lim------------

Ix-l+xlnx1分

「1+lnx1

lim----------=—

I1+lnx+l22分

，=lnsinfdy_d^y_

2.方程b=cosf+fsinf確定），為x的函數(shù)，求區(qū)與%Z.

包=也=4以

解dxx'（t）（3分）

d^y(fsin/),

—y=-------=sinrtanr+zsinr.

公￡⑴(6分)

rarctanVx.

J-=T------dx

3.4.計(jì)算不定積分Jx(l+x).

解:|■學(xué)4=2烏&------------------2分

JVx(l+x)」(1+x)

=2,arctany/xdarctany/x------------2分

=(arctan5/x)2+C---------------2分

dx

4.計(jì)算定積分Joi+JH7》

>3X

dx-

°i+VT+x

解Jo-%（3分）

3

2-_5

=-3+-(l+x)2

~3

0（6分）

(或令JiH=f)

四、解答題（本題共4小題，共29分）.

1.（本題6分）解微分方程V-5V+6y=xe”.

解：特征方程產(chǎn)-5r+6=0----------------1分

特征解｛=2,7;=3.----------------1分

次方程的通解Y二C-----------1分

2x

令y*=x（hQx+bx）e------------------1分

代入解得d,b]=-1.

2

2.（本題7分）一個(gè)橫放著的圓柱形水桶（如圖4-1）,桶內(nèi)盛有半桶水，設(shè)桶的底半徑為R,

水的比重為7,計(jì)算桶的一端面上所受的壓力.

3.（本題8分）設(shè)/（X）在［。，句上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且L'。）''一1,

試求公

解:[:xf(x)f'(x)dx=￡xf(x)df(x)-------2分

=〈『阿2(x)--------2分

2Ja

=時(shí)2（%比-gf.嚴(yán)（外八一一2分

=04=42分

4.（本題8分）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線(xiàn)y=lnx的切線(xiàn)，該切線(xiàn)與曲線(xiàn)y=lnx及x軸圍成平

面圖形D.

（1）（3）求D的面積A;

（2）（4）求D繞直線(xiàn)x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.

解：（1）設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為飛,則曲線(xiàn)

丁=Inx在點(diǎn)（與，In/）處的切線(xiàn)方程是

，1,、

y=lnXo+—（x-x0）.

%--1分

由該切線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)知也與一1=°,從而％=4

所以該切線(xiàn)的方程為

1

y=—x.

e--1分

平面圖形D的面積

A=￡f"=J"1，

-2分

1

y=—x

(2)切線(xiàn).e與x軸及直線(xiàn)x=e所圍成的三角形繞直線(xiàn)x=e旋轉(zhuǎn)所得的圓錐體積為

V.=~7te2.

132分

曲線(xiàn)y=Inx與x軸及直線(xiàn)x=e所圍成的圖形繞直線(xiàn)x=e旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積為

e)勺］分

因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為

喉匕一匕=/一「(e-e，)2辦="5e—2e+3).?分

五、證明題(本題共1小題，共7分).

1.證明對(duì)于任意的實(shí)數(shù)》,"21+x.

￡X=1+XH----X~21+X

解法一:2

解法二：設(shè)./■(幻=2'-1.則/(。)=0?1分

因?yàn)?'(x)=e'_L］分

當(dāng)xNO時(shí)，/'(x)20-7(%)單調(diào)增力口，/(x)>/(0)=0.2分

當(dāng)x<0時(shí)，/'(x)KO./(x)單調(diào)增加，/(x)>/(0)=0.2分

所以對(duì)于任意的實(shí)數(shù)X,外幻2°?即"Nl+x。1分

解法三：由微分中值定理得，

e、-l=e'-e°=e：(x—O)=e\,其中J位于o到x之間。2分

當(dāng)xNO時(shí)，/>1,"-12乙2分

x

當(dāng)xWO時(shí)，/<1,e-l>xo2分

所以對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,e'>\+xo1分

(四)

一.填空題(每小題4分，5題共20分)：

1

i-八人

2.J：x(l+x刃(/-"*)公=7.

3.設(shè)函數(shù)工心)由方程L確定，則五以1—1.

4,設(shè)?。┛蓪?dǎo)，且「阿力”⑴/\-r2

,/(。)=1,貝］jJ(x)=e2‘

2

5.微分方程V+4V+4y=0的通解為>=（Ci+C2x）e~'

二.選擇題（每小題4分，4題共16分）：

f(x)=Inx--+Zr

1.設(shè)常數(shù)左＞0,則函數(shù).e在（。,+8）內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（B

(A)3個(gè)；(B)2個(gè)；(C)1個(gè);(D)0個(gè).

微分方程V+4y=3cos2x的特解形式為（c）

(A)/=Acos2x.(B)y*=Arcos2x.

(C)y*=Arcos2x+Bxsin2x,(D)/=Asin2x

3.下列結(jié)論不一定成立的是(A)

若卜業(yè)［",則必有

(A)(A)

若/（x）N0在［a,b］上可積,則J“/（*）八3°

(B)(B)

若/W是周期為T(mén)的連續(xù)函數(shù)，則對(duì)任意常數(shù)。都有

(0(C)

a+T

f(x)dx=^f(x)dx

若可積函數(shù)/（x）為奇函數(shù),貝IJJ。dt

(D)(D)也為奇函數(shù).

x

/(x)l+e

4.設(shè)2+3e，，則x=°是/（X）的（C）.

(A)連續(xù)點(diǎn)；（B）可去間斷點(diǎn);

(C)跳躍間斷點(diǎn);（D）無(wú)窮間斷點(diǎn).

三.計(jì)算題（每小題6分，5題共30分）:

x3e~xdx

1.計(jì)算定積分

設(shè)x?=.，則x3e~xdx=12—te~fdt=—

解：％Jo2.2

22

—\redt

0J。

2.2

213

—e~'

2022.2

xsinx,

2.計(jì)算不定積分,-------ax

cosx

rxsinx.1r1)=；x4rdx

-—dx=-\xd(——~J4-

解:Jcosx4，cosx4cosxJCOSX3

---X-------f(tan2x4-l)t/tanx

4cosx4J

X4--tan3x--tanx+C

4cos晨1243

x=a(t-sinZ),

V71

3.求擺線(xiàn)［y=〃(l_cos。,在

2處的切線(xiàn)的方程.

(a(g-1),a)

解：切點(diǎn)為2-2

kMasiit

dxa(l-co6)

t=

22=1.........2

y—ci—x—Q(---1)y=x+(2--^)a

切線(xiàn)方程為2即■2

4.設(shè)(，J。()，貝ijFf(x)=2xcosx2-(2x-l)cos(x2-x).

_+1)(幾+2)(力+3)…(21)

,求/“

5.設(shè)“n

2/七)

解:-2

n；1)

V1nl(+—)—=fI1nK+x)dx

limlnxn=lim

〃一>8??—>00

-2

_xln(l+琳-J；x—^—dx=2In2-1

1+x■2

,2ln2-l_4

故—

e

四.應(yīng)用題（每小題9分，3題共27分）

1.求由曲線(xiàn)'=4^與該曲線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線(xiàn)及X軸所圍圖形的面積.

解：

1

y=—■,x

設(shè)切點(diǎn)為（X。，％）,則過(guò)原點(diǎn)的切線(xiàn)方程為2網(wǎng)-2,

由于點(diǎn)（工,%）在切線(xiàn)上，帶入切線(xiàn)方程，解得切點(diǎn)為用=4，%=后.…-3

X

過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)（4,后）的切線(xiàn)方程為.一2五...................3

面積5=『（9+2-z6y）dy=下...........3

s=f"-7=xdx~\~f（——x—y/x—2）dx=----

或Jo2V2J22V23

2.設(shè)平面圖形。由f+VW2x與yNx所確定，試求。繞直線(xiàn)x=2旋轉(zhuǎn)一周所生成的

旋轉(zhuǎn)體的體積.

7r(2-y)2dy

-y2-(y-i)2py

6

1c,萬(wàn)1、

2萬(wàn)(-----)

043.3

法二：V=

5

4

—71

3

c1,4

7t—(2.x—)+2x—^-x1---71

043

212412

=-71H--71---71——712---71

323234

3.設(shè)。>1，/(。=儲(chǔ)一帆在(一8,”)內(nèi)的駐點(diǎn)為/⑷?問(wèn)。為何值時(shí)『⑷最小？并求最

小值.

由/")=a'\na-a=0得f(a)=1—'>",

解：'Ina.........3

又由，(a)=Em=o得唯一駐點(diǎn)/="

a(1皿尸........3

當(dāng)a>e，時(shí)/(a)>0;當(dāng)a<e，時(shí)/(a)<0,于是a=e，為f(a)的極小值點(diǎn)2

a=為&a)的最小值點(diǎn)，最小值為t(ee)=1--=l-i.

故ee.........1

五.證明題(7分)

設(shè)函數(shù)F(x)在。1〕上連續(xù)，在(。，1)內(nèi)可導(dǎo)且“°)一，⑴一°,"5)一

試證明至少存在一點(diǎn)Je(°，1),使得尸修)=L

證明：設(shè)E(x)=/(x)-x,P(x)在Oil上連續(xù)在(0，1)可導(dǎo)，因/(。)寸⑴=。,

有F(0)=/(0)-0=0,F(l)=/(I)-1=-1,...2

又由"萬(wàn)"，知"5)一"5*5一匕一5‘在弓"上尸(》)用零點(diǎn)定理,

"*jo

根據(jù).........2

(1(1)/S)=o，77^4,1)<=(0,1)

可知在2內(nèi)至少存在一點(diǎn)7,使得2,

口(0)=/(〃)=°由ROLLE中值定理得至少存在一點(diǎn)4e(°，〃)u(0,D使得

產(chǎn)0=0即/'4)—1=0,證畢..........3

標(biāo)準(zhǔn)答案

一、1B;2C;3D;4A.

二、1y=x3+V,2-；30;40.

_,.x-5x5

二、1解原式=ltim——二一6分

D3x23

,,7。x,2/

2解lny=1H-T——=——In(+2分

x2+l2

.,V?rl2%

___________4分

x2+l2x2+l

原式=；Jln(l

3解+/)或1+%2)3分

12x

=—[(1+/)111(1+%2)—]'(1+%)-----^dx\-----------2分

21JC

=！[(1+/)ln腳252+i-----------I分

2

4解令1—1=1,貝!|------------2分

J：f(x)dx=邙⑴力-----------1分

=:——-——dt+/(/+x)dt-----------1分

l+cosrJl

=0+[d+/1分

2

e-e+l1分

兩邊求導(dǎo)得ey?/+cosx=0,2分

,cos%

y=——1分

cost

1分

sinr-

,cosx

ay=--------afx2分

sinx-1

6解J/(2%+3H/(2升3>Z(3f-----------2分

1,

=—sin(2x+3)2+C-----------4分

2n3

(3ATI3

7解原式=lim1+——=e2-----------6分

2n)

四、1解令lnx=f則x=e'C戶(hù)￥e'-----------3分

/?)=J(l+d)由=/+e'+C.-----------2分

f(0)=l,/.C=0,2分

f(x)-x+ex.-----------1分

兀

2解匕.=j弓乃coGxd.-----------3分

~~2

=2zr￡2co3d12分

_￡___________2分

2

3解y'=3x-6x+24,j/=6r------------1分

令y"=0,得x=l.-----------1分

當(dāng)一8<%<1時(shí),y”<0；當(dāng)1<%<+00時(shí),y">0,2分

.?.(1,3)為拐點(diǎn),1分

該點(diǎn)處的切線(xiàn)為y=3+21(%—1).----------2分

27T~X-1

4解y'=i2分

2>/1—%2，1一%

3

令y'=0,得％=W-------------------1分

y(—5)=—5+遙產(chǎn)-2.55,y==----------2分

⑷4

(3、5

最小值為丁(一5)=-5+最大值為y—=—.----------2分

⑷4

五、證明

[(x-a)(x-b)fn(x)=f(x-a)(x—b)dff(x)----------1分

Ja,Ja

=[(x-a)(x-Z?)/'(x)]|^-f'(x)[2x-(tz+b)dx---------1分

=-￡[2x_(a+b)df(x)----------1分

=一｛[2]-(a+b)]/(%)｝『+2'/(%)公------------1分

=-(b-a)"(a)+/(砌+2c/(%)四-----------i分

移項(xiàng)即得所證.------------1分

高等數(shù)學(xué)I(大一第一學(xué)期期末考試題及答案)

1.當(dāng)“fx。時(shí)，a(x)/(x)都是無(wú)窮小，則當(dāng)X-與時(shí)(D)不一定是

無(wú)窮小.

(A)|出)+31(B)a\x)+/32(x)

a2(x)

(C)ln[l+?(%)-/7(%)](D)隊(duì)x)

2.極限的值是(c).

(A)1(B)e(C)*皿(D)e,ano

/(X)=jX

aX=°在x=0處連續(xù)，則。=(D).

(A)1(B)0(C)e(D)-1

f(a+h)-f(a-2h)

“、lim---------------------=

4.設(shè)/(x)在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)，那么修。(A

(A)3/(a)(B)

(C)/⑷(D)

二、填空題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)

..ln(x+a)-lna.八、1

lim-------------(a>0)—

5.極限%的值是a.

6.由eC'+ylnx=cos2x確定函數(shù)八分，則導(dǎo)函數(shù)/=

2sin2x+2+yexy

____________x_______

xe^+lnx

7.直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)M(L2,3)且與兩平面1+2丁-2=°,2%一3丁+52=6都平行，貝ij直

x-1_y-2_z-3

線(xiàn)/的方程為一r一二r一二r.

8.求函數(shù)N=2x-ln(4x)2的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,0)和(1,+8).

三、解答題(本大題有4小題，每小題8分，共32分)

2

..(l+x)*-e

hm----------

9.計(jì)算極限2。x

「(l+x)”—e].ex-11.ln(l+x)-xe

lim----------=enm-----------------=ehm-----------------=——

解：x->0%1。XXTOX2

F(x)=f(x-z)f(t)dtxG[a,b]

10.設(shè)/(x)在[a,切上連續(xù)，且?，試求出尸(X)。

XX

/(無(wú))=q—j

解：aa

xx

F'(x)=jf(t)dt+xf(x)-xf(x)=jf(t)dt

F\x)=f(x)

rcosx,

x——T—ax.

11.求」sinx

解

1-2f

=—xs———

2J

四、解答題(本大題有4小題，每小題8分，共32分)

12.求忑

令2

X

3

2

萬(wàn)

I2=arcsint—--

2Vl-r256

2x

y------

13.求函數(shù),1+/的極值與拐點(diǎn).

解：函數(shù)的定義域(—8,+00)

,2(1—x)(l+x)ff—4x(3—x~)

y(i+x2)2=(i+無(wú)2產(chǎn)

令y'=°得x\=i,尤2=-i

y"⑴<oX1=1是極大值點(diǎn)，y"(T)>°X2=T是極小值點(diǎn)

極大值yQ)=i,極小值M-D=_I

令y=0得X3=0,-4=6,X5=

X(-6,0)

(-00,-)(0,舟(,+oo)

一+一+

y"

V36

故拐點(diǎn)（-百，-2）,（0,0）（百，2）

14.求由曲線(xiàn)）=7與y=3x--所圍成的平面圖形的面積.

V-

解:2—=3x-x2,x3—12x+4x2=0,

4

x(x+6)(x-2)=0,X]=-6,x2=0,x3=2.

S=J^(——3x+x2)dx+((3x—x~——^dx

=45+2—=47—

33

15.設(shè)拋物線(xiàn)y=4-/上有兩點(diǎn)4—1,3),B(3,-5),在弧A8上，求一點(diǎn)

P(x,y)使A4BP的面積最大.

4B連線(xiàn)方程：y+2x-l=0\AB\=445

點(diǎn)P到AB的距離以+廣4=+y+3(_]wxw3)

AA8P的面積

S(x)=—?4A/5?"+產(chǎn)+3_2(―12+2%+3)

2y/5

S，(x)=Tx+4當(dāng)x=lS\x)=O

S"(x)=-4<0

當(dāng)x=1時(shí)S(x)取得極大值也是最大值

此時(shí)y=3所求點(diǎn)為(1,3)

另解：由于A(yíng)48c的底AB一定，故只要高最大而過(guò)C點(diǎn)的拋物線(xiàn)

的切線(xiàn)與AB平行時(shí)，高可達(dá)到最大值，問(wèn)題轉(zhuǎn)為求C(x。，4-X：)

，使/''(/)=-2x0=-5-%+[=-2,解得X。=1,所求C點(diǎn)為(1,3)

六'證明題(本大題4分)

16.設(shè)x〉0,試證e2%l-x)<l+x

證明：設(shè)/(X)=e2'(1-X)-(1+x),X>0

/'(x)=e2*(l—2x)—1,_T(x)=Txe2",%>0,/"(x)WO,因此/'(x)在(0,

+oo)內(nèi)遞減。在(0,+00)內(nèi)，尸(無(wú))<尸(0)=0,/(X)在(0,+8)內(nèi)遞減，在(0,+00)

內(nèi)，/(x)</(。)，即e”(l—x)—(l+x)<o亦即當(dāng)Q0時(shí)，e2v(l-x)<l+x試證

e2x(\-x)<1+x

中國(guó)傳媒大學(xué)

2009-2010學(xué)年第-學(xué)期期末考試試卷(A卷)

及參考解答與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

考試科目：高等數(shù)學(xué)A(上)考試班級(jí)：2009級(jí)工科

各班

考試方式：閉卷命題教師：

六

大題-?二三四五總分

得分

得分評(píng)卷人

填空題(將正確答案填在橫線(xiàn)上。本大題共3小題，每小題3分，總計(jì)9分)

1、若在(.力)內(nèi)，函數(shù)/(?的一階導(dǎo)數(shù)/"(幻＞°,二階導(dǎo)數(shù)/則函數(shù)了(幻在此

區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加，曲線(xiàn)是上凸的。

2、設(shè)卜=2尸+3廣確定函數(shù)y=y(x),求dx22(1+r)。

r11,?1,

—cos—ax=-sin-+C

3、■"xxx。

得分評(píng)卷人

二.單項(xiàng)選擇題(在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案,填在題末的括

號(hào)中。本大題共3小題，每小題3分，總計(jì)9分)

../—Q廠(chǎng)—X+4

hm--------------二A

1、設(shè)3XT,則必有

(A)a=2,A=5;(B)a=4,A=—10;

(C)a=4A=—6;(D)a=—4?4=10.

答(C)

/(x)=-7f

2、設(shè)1一廠(chǎng)，則/(X)的一個(gè)原函數(shù)為

(A)arcsinx(B)arctanx

小、1i1i1+x

(O-In-(z))-ln-

211+x|21-x

答(D)

3、設(shè)/為連續(xù)函數(shù)，又，則尸(°)=

(A)e(B)/(I)

(C)0(D)/(l)-/(0)

答(B)

得分評(píng)卷人

三.解答下列各題(本大題共2小題，每小題5分，總計(jì)10分)

3+1

1,求極限1°1—COSX

e-X+,e-x-2C..eX-e-X

lim----------=hm-------

解:D1-cosxsinx(3分)

=lim2

x->0cosx（5分）

kJl+lMx,求匕

2、

y=(i+in2xy--/=2=

2

解：2Vl+lnx（3分）

21nx--?—1.Inx

2xVl+ln2x

x2Vl+lnx（5分）

得分評(píng)卷人

四.解答下列各題（本大題共3小題，每小題8分，總計(jì)24分）

，2

arctanx-人

../（x）-/（0）arctanx2

~=lim----；——

解：…。x-0-。x