第一講函數(shù)內(nèi)容要點(diǎn)一，函數(shù)概念（一）函數(shù)定義設(shè)D是一個(gè)非空集合，如果對(duì)變量x在D內(nèi)的每一個(gè)值，變量y按對(duì)應(yīng)規(guī)則y是變量x的f，有一個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng)，則稱對(duì)應(yīng)規(guī)則f為定義在D上的一個(gè)函數(shù)關(guān)系，稱變量函數(shù)，記為yf(x),xDZyyf(x),xD為函數(shù)的值域。稱D為函數(shù)的定義域。集合兩個(gè)基本要素：定義域和對(duì)應(yīng)規(guī)則.（二）函數(shù)的幾種特性M0,對(duì)任意f(x)M，則稱函數(shù).如果存xA,有f(x)在A上有界1有界性.,否則稱為無(wú)界.x,x,且xx有f(x)f(x)2單調(diào)性如果對(duì)區(qū)間任意兩點(diǎn)121212f(x)f(x)），則稱函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加（單調(diào)減少）。（1,23奇偶性如果對(duì)對(duì)稱區(qū)間內(nèi)任意x,有f(x)f(x)則稱f(x)為偶函數(shù)；如果f(x)f(x)則稱f(x)為奇函數(shù).T0,使得對(duì)任意f(xT)f(x)則稱x,有f(x)為周期函數(shù)，4周期性如果存在T為其周期.（三）反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)1反函數(shù)設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镈，值域?yàn)閆.如果對(duì)任意yZ,有唯一確定的xD與之對(duì)應(yīng),且滿足yf(x),則稱此關(guān)于xf1(y).習(xí)慣上，取為yf1(x)。yf(x)的反函數(shù)，常記y的函數(shù)為函數(shù)x為2復(fù)合函數(shù)設(shè)有函數(shù)yf(u),u(x).當(dāng)D(f)Z()￠時(shí)，則yf(u)與u(x)可構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)yf[(x)]，為中間變量u.（四）基本初等函數(shù)與初等函數(shù)1基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)是指以下六類函數(shù)：常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)1和反三角函數(shù).2初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)稱為初等函數(shù).典型例題一，求定義域4y例1．求函數(shù)x212x1lg(3x)的定義域.解：要使式子有意義，要求x1x1,x10,2x322x10,x1,x20231123x0x3,D[1,1)(1,3).定義域?yàn)?arccos2x的定義域.1x例2．求函數(shù)yx11x02x1,且1x11x1,解：1x1,即1x2xx3x132x1xx11x01x2xx1矛盾或32x1xx11總之，定義域?yàn)?13xx7,0x1,2例3．己知f(x)求f(x2)并求其定義域.sinx,1x2,f(x2)(x2)(x2)7,0x21,2解：sin(x2),1x22,x3x9,2x3,定義域?yàn)?,4.2=sin(x2),3x4,例4．已知f(x)的定義域?yàn)閇0,1],求(1)f(1lnx)；(2)f(xa)f(xa)(a0)的定義域.1,e.解：(1)01lnx10lnx11xe,定義域?yàn)?(2)由于f(xa)的定義域?yàn)?xa1axa1f(xa)的定義域?yàn)?xa1ax1axaxa1與xaxa1交集不空要使,則要求11a,即aa2于是，當(dāng)0a1(fxaf(xa)的定義域?yàn)?時(shí)，函數(shù)2a,a1aoaxa11a1當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f(xa)f(xa)定義域?yàn)榭占?2二，求函數(shù)值及函數(shù)表達(dá)式例5．已知f(2x1)x2,求f(x)xt1解：令2x1t,即,21212f(2x1)x2f(t)tt24改t為x.得f(x)(x1)241x21,求f(x)xx2例6．已知fxf(x1)x2x2112f(x)x22解：xxx2三，判斷函數(shù)是否相同例7．下引（A,B）中，兩個(gè)函數(shù)是相同的.(A)yxln(1x);yln(1x)ylnx2;y2lnx(B)(D)x2x(C)y1sin2x;ycosxyx(x1);yxx1(,)xcosx1sin2解：(C)定義域相同，均為，但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同,y(D)定義域不同.yx(x1)的定義域?yàn)?,0][1,),yxx1的定義域?yàn)閇1,).3四，討論函數(shù)的性質(zhì)（奇、偶性與周期性）例8．下列（C）中的函數(shù)為偶函數(shù)exexyx(2x2x(B)y)(A)2sinln1x(D)yxx(C)yx1x例9．設(shè)f(x)為周期函數(shù)，則下列（A,B,C,D）中的函數(shù)也是周期函數(shù).fk(x)(k0)(B)f(kx)(k0)(C)f(xk)(D)f(x)k(A)五，求反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)xy例10．求函數(shù)x2的反函數(shù)，并指出其定義域.的定義域?yàn)?,2)(2,)xx2解：yx2yyx2y(x2)xx(1y)2yx1y2x,其定義域?yàn)?,1)(1,)1x反函數(shù)為yx1x1x1例11．設(shè)f(x)x1,證明：fff(x)x112xx21x證：ffx()f(x)1x1x11f(x)1x1x1x1x1fff(x)課堂練習(xí)題1,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇1,2]，求函數(shù)f(1lnx)的定義域.1,1答：e2,設(shè)yf(x)的定義域?yàn)閇1,1]，0a1,求函數(shù)yf(xa)f(xa)的定義域.答：[a1,1a]3,判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)yln(xx21)(2)ycos(sinx)答：(1)奇函數(shù)；(2)偶函數(shù).44,若f(x)x2,g(x)2fg(x)ff(x)gf(x)gg(x).x,求,,,fg(x)=2,ff(x)=x.4,gf(x)=2x2,gg(x).=22x答：2x第二講極限與連續(xù)內(nèi)容要點(diǎn)(一)數(shù)列極限的概念與性質(zhì)1,數(shù)列極限limxa的概念及其嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義；nn(二)函數(shù)極限的概念與性質(zhì)1,一點(diǎn)處函數(shù)極限limf(x)A的概念及其嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義.xx02,左、右極限limf(x)A,limf(x)A的概念.xxxx00limf(x)Alimf(x)limf(x)Axxxxxx0003,無(wú)窮遠(yuǎn)處函數(shù)極限limf(x)A的概念及其嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義.xlimf(x)A及l(fā)imf(x)A的概念.limf(x)Alimf(x)limf(x)A.4,xxxxx(三)極限運(yùn)算法則1,四則運(yùn)算法則若limf(x),limg(x)存在，則有l(wèi)im[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)；limf(x)g(x)limf(x)limg(x)limf(x)limf(x)(limg(x)0)g(x)limg(x)2,復(fù)合運(yùn)算法則若xa,lim()limf(u)A,則有l(wèi)imf(x)limf(u)Axxuxx0uaa0（四）極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限1,兩個(gè)極限存在準(zhǔn)則：夾逼定理、單調(diào)有界收斂定理sinx1xe.limx01,lim1x2,兩個(gè)重要極限：xx（五）無(wú)窮小、無(wú)窮大及無(wú)窮小的比較1,無(wú)窮小與無(wú)窮大的概念；無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系：互為倒數(shù).2,無(wú)窮小的性質(zhì)：5有限個(gè)無(wú)窮小之和（積）為無(wú)窮小；無(wú)窮小與有界變量的乘積為無(wú)窮小.；有極限變量等于其極限與一個(gè)無(wú)窮小之和..3,高階無(wú)窮小、同階無(wú)窮小及等價(jià)無(wú)窮小的概念.4,等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)：~o()；若~,~且lim存在，則limlim.x0時(shí),常用的等價(jià)無(wú)窮?。寒?dāng)5,幾個(gè)sinx~x,tanx~x,1cosx~12x2,ex1~xln(1x)~x,1x1~x（六）1,函數(shù)在一2,函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的3,間斷點(diǎn)的函數(shù)的連續(xù)與間斷點(diǎn)點(diǎn)處連續(xù)的三個(gè)等價(jià)定義，左、右連續(xù)的概念；左、右連續(xù)與連續(xù)的關(guān)系.概念及幾何意義.分類：第一類間斷點(diǎn)（分為跳躍間斷點(diǎn)、可去間斷點(diǎn)）,第二類間斷點(diǎn)（常見的有無(wú)窮間斷點(diǎn)、振蕩間斷點(diǎn)）(七)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與初等函數(shù)的連續(xù)性1,連續(xù)函數(shù)的和復(fù)合函數(shù)為連續(xù)函數(shù).定義區(qū)間內(nèi)連續(xù).閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1,最大值與、差、積、商（分母不為零）為連續(xù)函數(shù)；連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)為連續(xù)函數(shù)；續(xù)函數(shù)的初等函數(shù)在其（八）最小值定理：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上必有最大值與最小值.端點(diǎn)函數(shù)值(可推廣為介于最點(diǎn).推論：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上必有界.2,介值定理：在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上必可取得介于小值與最大值)之間的任何值.推論：端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)的閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上必存在函數(shù)值為零的典型例題一，極限、無(wú)窮小與無(wú)窮大的概念2x例1．.設(shè)函數(shù)f(x),x1x1,問(wèn)：當(dāng)x1時(shí)，f(x)的極限是否存在？x212,2xx1x21解：由于limf(x)limx11,limf(x)lim22x1x1limf(x)limf(x)可見,x1x1故limf(x)不存在.x1例2．已知當(dāng)xx時(shí)，f(x)為無(wú)窮大，g(x)為無(wú)窮小，則當(dāng)xx時(shí)，下列變量006（B,C）必是無(wú)窮小g(x)f(x)f(x)g(x)(A)(C)(B)11g(x)f(x)(g(x)0)(D)f(x)g(x)解：(A)反例取fx()1,g(x)x,xx0時(shí)，f(x)為無(wú)窮大，g(x)為無(wú)窮小，但f(x)g(x)1不是無(wú)窮小.當(dāng)(B)兩個(gè)無(wú)窮小的乘積為無(wú)窮小.(C)兩個(gè)無(wú)窮小之差為無(wú)窮小.取fx(D)反例()2,g(x)x,x11為無(wú)窮大，不是無(wú)g(x)xx0時(shí)，f(x)為無(wú)窮大，g(x)為無(wú)窮小，但f(x)當(dāng)窮小.二，求極限求極限的常用方法有：1,利用分解因式、分母有理化等代數(shù)和三角公式化簡(jiǎn)和整理所求極限的數(shù)列或函數(shù)，再結(jié)合極限的四則運(yùn)算法則求極限.2,利用公式0,nmlimaxnaxn1aa,nmnn1nbxbxb0bmm1xmm10nnm,求有理分式的極限3,利用4,利用極限5,利用兩個(gè)6,利用利用無(wú)窮小的7,利用無(wú)窮小8,利用9,利用10,利用11,利用復(fù)合函數(shù)求極限法則，即變量代換法求極限.存在準(zhǔn)則求極限.重要極限求極限.性質(zhì)，如無(wú)窮小與有界變量的乘積為無(wú)窮小求極限.與無(wú)窮大的關(guān)系求極限.等價(jià)無(wú)窮小替換的方法求極限.左、右極限與極限的關(guān)系求極限.初等函數(shù)的連續(xù)性求極限羅必塔法則求極限.12nlimn例3．求nn22n2712lim=limn2nn1n(n1)11limn2n2解：n2n2n2n2nx232x283limx1例4．求x232x32x32x83222lim=limx1解：x283x83x83x32x1222x1x83322=limx12x1x3222(2x21)(x1)113x8(x1)5limx例5．求解：由有理分式，當(dāng)x時(shí)的極限結(jié)果，立即可得lim(2x21)(x1)112=3x8(x1)35xx41limsinxcosx例6．求5x5x7x解：利用有理分式的極限及無(wú)窮小與有界變量乘積為無(wú)窮小的性質(zhì)，立即可得x415x5x7sinxcosx0limxsinax,其中a,b0為常數(shù).limx0例7．求sinbxlimsinaxx0解：若a0，顯然sinbx=0a0,則limsinax=limsinaxbxaaaxsinbxbb若x0sinbxx0limsinaxax0總之=sinbxb2xlim1x例8．求x2x22xlim1xlim12e2解：=xxxsin3xlimx0例9．求tan2x8x0時(shí)，sin3x~3x,tan2x~2x,便有解：由于,在sin3xtan2x=3x3limx0lim.x02x2111limn例10．求n21n22n2n解：顯然n111nn21n22n2nn21nn2而nnlimnlimn1n2nn21由夾逼定理便得111limn=1n21n22n2n三，無(wú)窮小的比較x時(shí)，當(dāng)1cos1o(1)例11．證明：xx1cos1t2xlim1costlim2limt0,故limx解：1tt2t0t0t0x當(dāng)x時(shí)，1cos1o(1).xxxx0例12．證明：當(dāng)時(shí)，1x1與1e為等價(jià)無(wú)窮小,而與x是同階無(wú)1x1窮小.解：(1)1x11x1lim1x1limlimx1xxx0xx0x01x1x所以當(dāng)x0時(shí)，1x1與為等價(jià)無(wú)窮小.1x1x(2)lim1x1lim1(exx11)lim12,21exxx0x0x09故當(dāng)x0時(shí)，1x1與1ex是同階無(wú)窮小四，討論函數(shù)的連續(xù)性例13.討論函數(shù)2x1,1x1f(x)x2,1x2x1處的連續(xù)性在.f(1)2x13，且解：由于x1limf(x)li