-.z.第十章曲線積分與曲面積分答案一、選擇題1．曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，其中有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，那么BA.B.C.D.02．閉曲線C為的正向，那么CA.0B.2C.4D.63．閉曲線C為的正向，那么DA.B.C.0D.4．為YOZ平面上，那么DA.0B.C.D.5．設(shè)，那么CA.B.C.D.6.設(shè)為球面，那么曲面積分的值為[B]A.B.C.D.7.設(shè)L是從O(0,0)到B(1,1)的直線段，那么曲線積分[C]A.B.C.D.8.設(shè)I=其中L是拋物線上點(diǎn)〔0,0〕與點(diǎn)(1,1)之間的一段弧,那么I=[D]A.B.C.D.9.如果簡(jiǎn)單閉曲線所圍區(qū)域的面積為，那么是〔D〕A.；B.；C.；D.。10．設(shè)，為在第一卦限中局部，那么有CA.B.C.D.二、填空題1.設(shè)L是以(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)為頂點(diǎn)的正方形邊界正向一周，那么曲線積分-22.S為球面的外側(cè),那么03. =4．曲線積分，其中是圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓周，那么積分值為5．設(shè)∑為上半球面，那么曲面積分=32π6.設(shè)曲線為圓周,那么曲線積分.7.設(shè)C是以O(shè)(0,0),A(1,0),B(0,1)為頂點(diǎn)的三角形邊界，那么曲線積分1+8.設(shè)為上半球面，那么曲面積分的值為。9.光滑曲面z=f〔x，y〕在xoy平面上的投影區(qū)域?yàn)镈，那么曲面z=f〔x，y〕的面積是10．設(shè)是拋物線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧，那么曲線積分1211、。12、設(shè)為的正向，那么。三、計(jì)算題1．，其中為圓周，直線及x軸在第一象限所圍圖形的邊界。解：記線段方程，圓弧方程線段方程。那么原式＝＋＋＝＋＋＝＃2．，其中為曲線與直線段所圍閉區(qū)域的正向邊界。解：利用格林公式，，，那么，故原式＝＝＃3．，其中為圓周的上半局部，的方向?yàn)槟鏁r(shí)針。解：的參數(shù)方程為，從0變化到。故原式＝＝＝＃4．求拋物面被平面所割下的有界局部的面積。解：曲面的方程為，這里為在XOY平面的投影區(qū)域。故所求面積＝＃5、計(jì)算，其中為圓的上半圓周，方向?yàn)閺狞c(diǎn)沿到原點(diǎn)O。解：添加從原點(diǎn)到點(diǎn)A的直線段后，閉曲線所圍區(qū)域記為D，利用格林公式，，，于是＋＝而＝，于是便有＝＃6．，其中為球面在第一卦限局部的邊界，當(dāng)從球面外看時(shí)為順時(shí)針。解：曲線由三段圓弧組成，設(shè)在YOZ平面的圓弧的參數(shù)方程，從變化到0。于是＝＝由對(duì)稱(chēng)性即得＃7．，其中為平面所圍立體的外表的外側(cè)。解：記為該外表在XOY平面的局部，為該外表在YOZ平面的局部，為該外表在XOZ平面的局部，為該外表在平面的局部。的方程為，根據(jù)定向，我們有＝＝同理，的方程為，故，由對(duì)稱(chēng)性可得，故于是所求積分為＃8．計(jì)算曲面積分：，其中為曲面的外側(cè)。解：利用高斯公式，所求積分等于==8＃9.計(jì)算I=，其中S為x+y+z=1,x=0,y=0,z=0所圍立體的外表外側(cè)解：設(shè)V是x+y+z=1,x=0,y=0,z=0所圍的立體由Gass公式得:I===＃10．計(jì)算I=,其中是從點(diǎn)A(3,2,1)到點(diǎn)B(0,0,0)的直線段AB解：直線段AB的方程是；化為參數(shù)方程得：x=3t,y=2t,z=t,t從1變到0，所以：I=＝＝＃11.計(jì)算曲線積分I=其中是由點(diǎn)A(a,0)至點(diǎn)O(0,0)的上半圓周解：在x軸上連接點(diǎn)O(0,0),A(a,0)將擴(kuò)大成封閉的半圓形AMOA在線段OA上,從而又由Green公式得:＃12.計(jì)算曲線積分其中L是z=2與z=3的交線沿著曲線的正向看是逆時(shí)針?lè)较蚪猓簩寫(xiě)成參數(shù)方程:x=cost,y=sint,z=2t:0于是:==另證：由斯托克斯公式得=上側(cè)，那么：＃設(shè)曲面S為平面x+y+z=1在第一卦限局部，計(jì)算曲面S的面積I解：S在xoy平面的投影區(qū)域?yàn)椋篒==＝＝＃14.計(jì)算曲線積分其中L是沿著圓從點(diǎn)A(0,1)到點(diǎn)B(2,1)的上半單位圓弧解：設(shè)，當(dāng)時(shí)，故：所求曲線積分在不包圍原點(diǎn)的區(qū)域與路徑無(wú)關(guān)那么：===ln5-arctan2＃15.確定的值，使曲線積分在平面上與路徑無(wú)關(guān)。當(dāng)起點(diǎn)為，終點(diǎn)為時(shí)，求此曲線積分的值。解：由，；由條件得,即,＃16.設(shè)曲面S為球面被平面z=1截出的頂部，計(jì)算I=解：S的方程為：S在xoy平面的投影區(qū)域?yàn)椋篒=＝＝＃17.計(jì)算I=，其中是，，取下側(cè)解：作輔助曲面:z=a，取上側(cè)設(shè)為,所圍閉區(qū)域?yàn)槠矫鎱^(qū)域===＃18.．為上半橢圓圓周，取順時(shí)針?lè)较?，求ABxABxy0＃19．計(jì)算曲面積分，其中為錐面與所圍的整個(gè)曲面的外側(cè)。解：由高斯公式，可得＃20．計(jì)算曲線積分，其中是橢圓的正向。解：令,,那么。設(shè)所圍成的閉區(qū)域?yàn)?，那么其面積。從而由格林公式可得.＃21．設(shè)為柱面在使得，的兩個(gè)卦限被平面及所截下局部的外側(cè)，試計(jì)算。解：將分成與，其中：〔取上側(cè)〕，：〔取下側(cè)〕，與在面上的投影為，故＃計(jì)算曲面積分，其中是柱面介于的局部。解：設(shè)為在第一卦限的局部曲面。，得。在面上的投影域?yàn)?。故?3.計(jì)算曲面積分，其中是旋轉(zhuǎn)拋物面介于及之間局部的下側(cè)。解：利用高斯公式，取且。取上側(cè)，與構(gòu)成封閉的外側(cè)曲面，所圍的閉域?yàn)椋瑢?duì)應(yīng)的為：。＃24．計(jì)算曲線積分，其中是自點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)的曲線段。解：,取小圓周充分小,取逆時(shí)針?lè)较?那么由Green公式可得:＃25．用高斯公式計(jì)算，其中柱面及平面圍成封閉曲面的外側(cè)。解：原式=====26．計(jì)算曲面積分，其中是曲面被平面所截下的局部，取下側(cè)。解：補(bǔ),取上側(cè),,而,其中,＃27．計(jì)算曲線積分，其中L是區(qū)域0≤x≤1，0≤y≤1的邊界正向。解：利用Green公式=＃28、計(jì)算曲面積分，其中∑為平面方程x+y+z=1在第一卦限的上側(cè)。解：=或由對(duì)稱(chēng)性：，而，故?；蚩芍?。＃29.計(jì)算，其中L是由點(diǎn)A〔0，0〕到B〔π，2π〕的直線段。解：AB的方程＃30、設(shè)可微，且曲線積分與路徑無(wú)關(guān)。求。解：因該項(xiàng)積分與路徑無(wú)關(guān)，所以。令，得微分方程，解得，〔2分〕代入條件得C=1從而有＃31、計(jì)算對(duì)面積的曲面積分。解:曲面在XOY平面上的投影為原式====32、計(jì)算曲面積分，其