高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)-統(tǒng)計(jì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)統(tǒng)計(jì)一、三種抽樣方法1．三種抽樣方法的比較類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍簡單隨機(jī)抽樣是不放回抽樣，抽樣過程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)(概率)相等從總體中逐個(gè)抽取—總體中的個(gè)數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則，在各部分抽取在起始部分抽樣時(shí)，采用簡單隨機(jī)抽樣總體中的個(gè)數(shù)比較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取各層抽樣時(shí)，采用簡單隨機(jī)抽樣或者系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成2．抽樣方法的選取方法(1)若總體由差異明顯的幾個(gè)層次組成，則選用分層抽樣．(2)若總體沒有差異明顯的層次，則考慮采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣．當(dāng)總體容量較小時(shí)宜用抽簽法；當(dāng)總體容量較大，樣本容量較小時(shí)宜用隨機(jī)數(shù)表法；當(dāng)總體容量較大，樣本容量也較大時(shí)宜用系統(tǒng)抽樣．特別提醒利用系統(tǒng)抽樣的兩個(gè)關(guān)鍵步驟：(1)分組，當(dāng)總體個(gè)數(shù)N能被樣本容量n整除時(shí)，分為n個(gè)組，分段間隔k＝eq\f(N,n)；(2)獲取樣本用簡單隨機(jī)抽樣在第一組抽取起始數(shù)s，通常把起始數(shù)s加上間隔k得到第2個(gè)個(gè)體編號(hào)(s＋k)，再加上k得第3個(gè)個(gè)體編號(hào)(s＋2k)，依次進(jìn)行下去，直到獲取樣本．二、用樣本估計(jì)總體1．?dāng)?shù)字特征高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)-統(tǒng)計(jì)全文共6頁，當(dāng)前為第1頁。（1）眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)-統(tǒng)計(jì)全文共6頁，當(dāng)前為第1頁。數(shù)字特征定義與頻率分布直方圖的關(guān)系眾數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)最高的小長方形中的某個(gè)（些）點(diǎn)的橫坐標(biāo)中位數(shù)將數(shù)據(jù)按大小依次排列，處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和（2）極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差極差：即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差．方差：.標(biāo)準(zhǔn)差：.（3）性質(zhì)①若的平均數(shù)為，那么的平均數(shù)為.②數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差不變．③若的方差為s2，那么的方差為.2．統(tǒng)計(jì)表（1）頻率分布的估計(jì)：頻率分布是指各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本中所占比例的大小，可以用樣本的頻率分布估計(jì)總體的頻率分布，頻率分布表是反映樣本的頻率分布的表格．通過頻率分布直方圖和頻率分布表可以看到樣本的頻率分布．（2）盡管有些總體密度曲線是客觀存在的，但是在實(shí)際應(yīng)用中我們并不知道它的具體表達(dá)形式，需要用樣本來估計(jì)．由于樣本是隨機(jī)的，不同的樣本得到的頻率分布折線圖不同；即使對于同一個(gè)樣本，不同的分組情況得到的頻率分布折線圖也不同．頻率分布折線圖是隨樣本容量和分組情況的變化而變化的，因此不能用樣本的頻率分布折線圖得到準(zhǔn)確的總體密度曲線．（3）估計(jì)總體分布的步驟是：①選擇適當(dāng)?shù)某闃臃椒◤目傮w中抽取樣本，即收集數(shù)據(jù)．②利用樣本數(shù)據(jù)畫出統(tǒng)計(jì)圖或計(jì)算數(shù)字特征．高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)-統(tǒng)計(jì)全文共6頁，當(dāng)前為第2頁。③結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖分析樣本取值的分布規(guī)律．高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)-統(tǒng)計(jì)全文共6頁，當(dāng)前為第2頁。④用樣本取值的分布規(guī)律估計(jì)總體分布，由于是用科學(xué)抽樣抽取的樣本，那么樣本與總體取值的分布規(guī)律近似，有時(shí)也可看成相同.⑤利用總體分布解決有關(guān)問題．（4）各種統(tǒng)計(jì)表的優(yōu)點(diǎn)與不足優(yōu)點(diǎn)不足頻率分布表表示數(shù)據(jù)較確切分析數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢不方便頻率分布直方圖表示數(shù)據(jù)分布情況非常直觀原有的具體數(shù)據(jù)信息被抹掉了頻率分布折線圖能反映數(shù)據(jù)的變化趨勢不能顯示原有數(shù)據(jù)莖葉圖一是所有的信息都可以從這個(gè)莖葉圖中得到；二是莖葉圖便于記錄和表示，能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時(shí)，不方便表示數(shù)據(jù)特別提醒頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、總體密度曲線都是描述樣本數(shù)據(jù)分布情況，估計(jì)總體頻率分布規(guī)律的，其聯(lián)系如下：三、變量間的相關(guān)關(guān)系1．相關(guān)關(guān)系當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性，則這兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系．即相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．當(dāng)一個(gè)變量的值由小變大時(shí)，另一個(gè)變量的值也由小變大，則這兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)一個(gè)變量的值由小變大時(shí)，而另一個(gè)變量的值由大變小，則這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).2．散點(diǎn)圖高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)-統(tǒng)計(jì)全文共6頁，當(dāng)前為第3頁。將樣本中的n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)描在平面直角坐標(biāo)系中，所得圖形叫做散點(diǎn)圖．高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)-統(tǒng)計(jì)全文共6頁，當(dāng)前為第3頁。從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)．具有正相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖如圖1，具有負(fù)相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖如圖2.3．回歸分析如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，則這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．回歸直線對應(yīng)的方程叫做回歸直線方程(簡稱回歸方程)．4．回歸方程的求解（1）求回歸方程的方法是最小二乘法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最?。糇兞縳與y具有線性相關(guān)關(guān)系，有n個(gè)樣本數(shù)據(jù)，則回歸方程中，.其中，稱為樣本點(diǎn)的中心．（2）線性回歸模型，其中稱為隨機(jī)誤差，自變量稱為解釋變量，因變量稱為預(yù)報(bào)變量．特別提醒高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)-統(tǒng)計(jì)全文共6頁，當(dāng)前為第4頁。①回歸直線必過樣本點(diǎn)的中心，這個(gè)結(jié)論既是檢驗(yàn)所求回歸直線方程是否準(zhǔn)確的依據(jù)，也是求參數(shù)的一個(gè)依據(jù)．高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)-統(tǒng)計(jì)全文共6頁，當(dāng)前為第4頁。②利用回歸直線方程不但可以預(yù)測在x取某一個(gè)值時(shí)，y的估計(jì)值，同時(shí)也能知道x每增加1個(gè)單位，的變化量．③在回歸直線方程中，既表示直線的斜率，又表示自變量x的取值每增加一個(gè)單位時(shí)，函數(shù)y的改變量．5．相關(guān)系數(shù)（1）樣本相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式我們可以利用相關(guān)系數(shù)來定量地衡量兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系，計(jì)算公式為.（2）樣本相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)①；②當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)；③|r|越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；④|r|越接近于0，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越弱.6．非線性回歸分析對某些特殊的非線性關(guān)系，可以通過變量轉(zhuǎn)換，把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化成線性回歸問題，然后用線性回歸的方法進(jìn)行研究．在大量的實(shí)際問題中，所研究的兩個(gè)變量不一定都呈線性相關(guān)關(guān)系，當(dāng)兩變量y與x不具有線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，要借助散點(diǎn)圖，與已學(xué)過的函數(shù)(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等)的圖象相比較，找到合適的函數(shù)模型，利用變量代換轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)關(guān)系，從而使問題得以解決．特別提醒求非線性回歸方程的步驟：①確定變量，作出散點(diǎn)圖．②根據(jù)散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)．③變量置換，通過變量置換把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題，并求出線性回歸方程．④分析擬合效果：通過計(jì)算相關(guān)指數(shù)或畫殘差圖來判斷擬合效果．⑤根據(jù)相應(yīng)的變換，寫出非線性回歸方程．高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)-統(tǒng)計(jì)全文共6頁，當(dāng)前為第5頁。7．刻畫回歸效果的方式高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)-統(tǒng)計(jì)全文共6頁，當(dāng)前為第5頁。方式方法計(jì)算公式刻畫效果越接近于1，表示回歸的效果越好殘差圖稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，其中這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精確度越高.殘差平方和殘差平方和越小，模型的擬合效果越好四、獨(dú)立性檢驗(yàn)1．獨(dú)立性檢驗(yàn)利用隨機(jī)變量(也可表示為)(其中為樣本容量)來判斷“兩個(gè)變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)．2．獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表；(2)計(jì)算隨機(jī)變量的觀測值k，查下表確定臨界值k0：(3)如果，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”．特別提醒(1)通常認(rèn)為時(shí)，樣本數(shù)據(jù)就沒有充分的證據(jù)顯示“X與Y有關(guān)系”．(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，只能說結(jié)論成立的概