2022-2023學(xué)年廣西南寧市高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求得集合，再由集合交集的運(yùn)算即可求解.【詳解】集合，集合，則，故選：D.2．若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B．5 C．7 D．25【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，先求出，再計(jì)算復(fù)數(shù)的模．【詳解】由題意有，故．故選：B．3．設(shè)，則“”是“直線：與直線：平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)直線平行的條件和充要條件的概念判斷.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，：，：，，可得兩直線平行；若與平行，則，解得或舍，故為充要條件，故選：C.4．記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式由求出，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，所以，所以.故選：A.5．函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)在上單調(diào)性求出最值即可【詳解】由可得，令，解得，當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增，所以的極小值，也為最小值為，故選：C6．已知圓的方程為，設(shè)該圓過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先分析已知點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，再判斷出最長(zhǎng)弦和最短弦的位置，然后利用三角形的面積公式即可求出四邊形ABCD的面積.【詳解】解：圓心坐標(biāo)是，半徑是5，圓心到點(diǎn)的距離為1．所以點(diǎn)在圓內(nèi)，最長(zhǎng)弦為圓的直徑由垂徑定理得：最短弦BD和最長(zhǎng)弦（即圓的直徑）AC垂直，故最短弦的長(zhǎng)為，最長(zhǎng)弦即直徑，即，所以四邊形的面積為．故選：B.7．已知F為雙曲線的左焦點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，若點(diǎn)A(a，0)，B(0，b)關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，則雙曲線C的離心率為（

）A． B．C．＋1 D．＋1【答案】C【解析】由點(diǎn)A(a，0)，B(0，b)關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，可得直線l為線段AB的垂直平分線，利用中點(diǎn)公式和直線垂直的關(guān)系求得直線l的方程，將F的坐標(biāo)代入，求得a,b,c的關(guān)系式，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化得到a,c的齊次關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為離心率e的方程求解即得.還可以從入手解決，更為簡(jiǎn)潔.【詳解】解法一：由點(diǎn)A(a，0)，B(0，b)關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，可得直線l為線段AB的垂直平分線，線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線AB的斜率為，可得直線l的方程為，令y＝0，可得，由題意可得，即有a(a＋2c)＝b2＝c2－a2，即c2－2ac－2a2＝0，由，可得e2－2e－2＝0，解得(舍去)，故選：C．解法二：由點(diǎn)A(a，0)，B(0，b)關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，可知,即,兩邊平方，并結(jié)合，整理可得c2－2ac－2a2＝0，下同解法一.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)：離心率的求法.根據(jù)已知條件求得a,b,c的關(guān)系，進(jìn)而得到a,c的齊次關(guān)系，根據(jù)離心率的定義轉(zhuǎn)化為離心率e的方程求解，是求離心率的常用方法.8．已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，再比較大小即可.【詳解】設(shè)函數(shù)，則，則在上是減函數(shù)，又，則，又因?yàn)椋?，，所以，即．故選：C.二、多選題9．為弘揚(yáng)我國(guó)古代的“六藝文化”，某夏令營(yíng)主辦單位計(jì)劃利用暑期開(kāi)設(shè)“禮”、“樂(lè)”、“射”、“御”、“書(shū)”、“數(shù)”六門(mén)體驗(yàn)課程，每周一門(mén)，連續(xù)開(kāi)設(shè)六周，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．某學(xué)生從中選2門(mén)課程學(xué)習(xí)，共有15種選法B．課程“樂(lè)”“射”排在不相鄰的兩周，共有240種排法C．課程“御”“書(shū)”“數(shù)”排在相鄰的三周，共有144種排法D．課程“禮”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480種排法【答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件利用組合知識(shí)可以判斷A正確；不相鄰問(wèn)題利用插空法可以判斷B錯(cuò)誤；相鄰問(wèn)題利用捆綁法可以判斷C正確；利用特殊位置法可以判斷D正確.【詳解】對(duì)于A，從六門(mén)課程中選兩門(mén)的不同選法有種，A正確；對(duì)于B，先排“禮”、“御”、“書(shū)”、“數(shù)”，再用插空法排“樂(lè)”“射”，不同排法共有種，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，“御”“書(shū)”“數(shù)”排在相鄰的三周，可將“御”“書(shū)”“數(shù)”視為一個(gè)元素，不同排法共有種，C正確；對(duì)于D，從中間四周中任取一周排“禮”，再排其它五門(mén)體驗(yàn)課程共有種，D正確.故選：ACD.10．已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)積為，若，且，則下列命題正確的是（

）A． B．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值C． D．【答案】ACD【分析】由等比數(shù)列各項(xiàng)積的意義判斷A，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合A求出公比判斷C，等比數(shù)列各項(xiàng)積的意義及所給條件判斷B，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式、等差數(shù)列求和公式計(jì)算可判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，故A正確；又，即，解得，故C正確；由知等比數(shù)列為遞減數(shù)列，且，故取得最大值為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以成立，故D正確.故選：ACD11．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在C上，P為C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．C的準(zhǔn)線方程為 B．若，則的最小值為C．若，則的周長(zhǎng)的最小值為11 D．在x軸上存在點(diǎn)E，使得為鈍角【答案】BC【分析】根據(jù)題意求出，即可求出準(zhǔn)線，即可判斷A；設(shè)點(diǎn)，，則，根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷B；過(guò)點(diǎn)P作垂直于C的準(zhǔn)線，垂足為N，連接MN，再結(jié)合圖象，即可求得的周長(zhǎng)的最小值，即可判斷C；設(shè)，再判斷是否有解即可判斷D.【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，解得，所以拋物線C的方程為，所以C的準(zhǔn)線方程為，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：設(shè)點(diǎn)，，則，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故B正確；C選項(xiàng)：過(guò)點(diǎn)P作垂直于C的準(zhǔn)線，垂足為N，連接MN，則，易知，，所以，所以的周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，N三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以的周長(zhǎng)的最小值為11，故C正確；D選項(xiàng)：設(shè)，則，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在C上，所以，即，所以，所以，故不可能為鈍角，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12．已知函數(shù)分別與直線交于點(diǎn)A，B，則下列說(shuō)法正確的（）A．的最小值為B．，使得曲線在點(diǎn)A處的切線與曲線在點(diǎn)B處的切線平行C．函數(shù)的最小值小于2D．若，則【答案】AB【分析】對(duì)于A：根據(jù)題意整理可得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求最值分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析可得，利用函數(shù)分析判斷；對(duì)于C：構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求其最值分析判斷；對(duì)于D：整理可得：，分類(lèi)討論處理即可.【詳解】設(shè)，對(duì)于A項(xiàng)：由題意可得，解得，所以，構(gòu)建，則在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故，即的最小值為，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)：∵，，可得，，即函數(shù)在點(diǎn)處切線的斜率為，函數(shù)在點(diǎn)處切線的斜率為，令，整理得，故原題意等價(jià)于方程有根，構(gòu)建，故原題意等價(jià)于有零點(diǎn)，因?yàn)?，則有零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)：構(gòu)建，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，，則存在，使得，整理得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，（由于，故等號(hào)取不到），又因?yàn)?，則，即函數(shù)的最小值大于2，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，∵，即整理得：，由可知：，則有：當(dāng)時(shí)，則，可得；當(dāng)時(shí)，則，可得；當(dāng)時(shí)，則，可得；綜上所述；若，則，故D錯(cuò)誤.故選：AB.【點(diǎn)睛】方法定睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值、最值的方法(1)若求極值，則先求方程f′(x)＝0的根，再檢查f′(x)在方程根的左右函數(shù)值的符號(hào)．(2)若探究極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，則探求方程f′(x)＝0在所給范圍內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)．(3)若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情況來(lái)求解．(4)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]的最值時(shí)，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b)與f(x)的各極值進(jìn)行比較，從而得到函數(shù)的最值．三、填空題13．在代數(shù)式的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)____________．【答案】-5【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)，化簡(jiǎn)后，使得的指數(shù)冪為0，即可求得的值.【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為：令，解得，所以，的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：-514．曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_________．【答案】【分析】先驗(yàn)證點(diǎn)在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可．【詳解】由題，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)在曲線上．求導(dǎo)得：，所以．故切線方程為．故答案為：．15．某班宣傳小組有3名男生和2名女生.現(xiàn)從這5名同學(xué)中挑選2人參加小劇場(chǎng)演出，在已知抽取到有男生的條件下，2名都是男生概率是______.【答案】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合條件概率公式，即可求解.【詳解】設(shè)事件A表示“有男生”，事件表示“兩名都是男生”，則，，故.故答案為：.16．已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍_________．【答案】【分析】等價(jià)于有兩不等實(shí)根，則與有兩不同交點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即得解.【詳解】解：由得，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，所以方程有兩不等實(shí)根，即有兩不等實(shí)根，令，則與有兩不同交點(diǎn)，又，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，所以單調(diào)遞減；所以，又時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，所以為使與有兩不同交點(diǎn)，只需．

故答案為：四、解答題17．某校為增強(qiáng)學(xué)生的環(huán)保意識(shí)，普及環(huán)保知識(shí)，在全校范圍內(nèi)組織了一次有關(guān)環(huán)保知識(shí)的競(jìng)賽.現(xiàn)從參賽的所有學(xué)生中，隨機(jī)抽取人的成績(jī)（滿分為分）作為樣本，得到成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)該校此次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的第百分位數(shù)；(2)在該樣本中，若采用分層抽樣的方法，從成績(jī)低于分的學(xué)生中隨機(jī)抽取人，查看他們的答題情況，再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行調(diào)查分析，求這人中至少有人成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率.【答案】(1)，第百分位數(shù)為(2)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖頻率之和為計(jì)算，再根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算公式計(jì)算第百分位數(shù)；（2）根據(jù)分層抽樣確定各區(qū)間人數(shù)，然后利用古典概型概率計(jì)算公式計(jì)算概率.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得，，則，前3組的頻率和為，第4組頻率為，所以第百分位數(shù)位于第4組內(nèi)，記第50百分位數(shù)為，則，解得，即第50百分位數(shù)為；（2）由頻率分布直方圖可知，成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率分別為，采用分層抽樣的方法從樣本中抽取的6人，成績(jī)?cè)趦?nèi)的有1人，記為，成績(jī)?cè)趦?nèi)的有2人，記為，成績(jī)?cè)趦?nèi)的有3人，記為，則從成績(jī)?cè)趦?nèi)的6人隨機(jī)抽取2人，共有：??，共有15種，2人中至少有1人成績(jī)?cè)趦?nèi)，共有：??，有12種，記事件“人中至少有1人成績(jī)?cè)趦?nèi)”，則.18．如圖所示，在中，的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，.（1）求b和；（2）如圖，設(shè)D為AC邊上一點(diǎn)，，求的面積.【答案】(1)，；(2).【解析】（1）通過(guò)正弦定理邊化角，整理化簡(jiǎn)得到的值，再利用余弦定理，求出，根據(jù)正弦定理，求出；（2）根據(jù)正弦定理得到，即，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)三角形面積公式，求出的面積.【詳解】（1）因?yàn)?，所以在中，由正弦定理，得，因?yàn)?，所以，所以，又，所以，由余弦定理得，，所以，在中，由正弦定理，所以；?）在中，由正弦定理得，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，而所以，由，設(shè)，所以，所以，所以，因?yàn)椋?【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理邊角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，屬于簡(jiǎn)單題.19．在數(shù)列中，已知，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使得的整數(shù)的最大值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)5【分析】（1）計(jì)算，，得到等比數(shù)列的證明.（2）確定，，根據(jù)裂項(xiàng)相消法得到，代入不等式計(jì)算得到答案.【詳解】（1），得，，，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；（2），故，故，，，即，即，，故，故使得的最大整數(shù)為.20．如圖，在多面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的菱形，與交于點(diǎn)，平面平面.(1)求證：平面；(2)若，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，證明平面，則平面；（2）以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向量，將二面角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩個(gè)法向量夾角余弦值的問(wèn)題.【詳解】（1）證明：如圖，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面分別為中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平?（2）如圖，以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間坐標(biāo)系，設(shè)設(shè)平面的法向量則即，則.設(shè)平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為為銳角，所以.二面角的余弦值.21．已知橢圓，四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在上.(1)求的方程；(2)若圓的切線與交于點(diǎn)，證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用對(duì)稱(chēng)性可以判斷經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，與的縱坐標(biāo)相同可以判斷在上，進(jìn)而求出結(jié)果；（2）先討論切線的斜率不存在時(shí)，求出，再討論切線的斜率存在時(shí)，利用相切得到，進(jìn)而聯(lián)立直線與橢圓可以判斷，從而求出結(jié)果.【詳解】（1）由兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，可得經(jīng)過(guò)兩點(diǎn).與的縱坐標(biāo)相同，且都位于第一象限，不可能都在上，所以不在上，則解得故的方程為.（2）證明：當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，得.當(dāng)時(shí)，可得.，則.當(dāng)時(shí)，同理可證.當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè).因?yàn)榕c圓相切，所以圓心到的距離為，即.聯(lián)立得.設(shè)，則.由，得，則.綜上，若圓的切線與交于點(diǎn)，則.22．已知函數(shù)，.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)見(jiàn)解析.(2)【分析】（1）分類(lèi)討論，兩種情況，由導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性；（2）將變形為，構(gòu)造函數(shù)，由其單調(diào)性得出，進(jìn)而由導(dǎo)數(shù)得出的最大值，從而得出求實(shí)