數(shù)學(xué)試卷第4頁(共7頁)2018年北京市高級(jí)中等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試卷姓名準(zhǔn)考證號(hào)考場(chǎng)號(hào)座位號(hào)考生須知1．本試卷共7頁，共三道大題，28道小題。滿分100分。考試時(shí)間120分鐘。2.在試卷和草稿紙上準(zhǔn)確填寫姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)。3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。4.5.考試結(jié)束，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回。一、選擇題(本題共16分，每小題2分)第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).1.下列幾何體中，是圓柱的為 (B) (C) (D)2.實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是(A)EQ\b\lc\|(a)|>4 (B)c-b>0 (C)ac>0 (D)a+c>03.方程組的解為（A） （B） （C） （D）4.被譽(yù)為“中國(guó)天眼”的世界上最大的單口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡FAST的反射面總面積相當(dāng)于35個(gè)標(biāo)準(zhǔn)足球場(chǎng)的總面積.已知每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)足球場(chǎng)的面積為7140m2，則FAST的反射面總面積約為(A)7.14×103m2 (B)7.14×104m2 (C)2.5×105m2 (D)2.5×106m25.若正多邊形的一個(gè)外角是60°，則該正多邊形的內(nèi)角和為(A)360° (B)540° (C)720° (D)900°6.如果a-b=2EQ\r(3)，那么代數(shù)式(EQ\f(a2+b2,2a)-b)·EQ\f(a,a-b)的值為(A)EQ\r(3) (B)2EQ\r(3) (C)3EQ\r(3) (D)4EQ\r(3)7.跳臺(tái)滑雪是冬季奧運(yùn)會(huì)比賽項(xiàng)目之一.運(yùn)動(dòng)員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，運(yùn)動(dòng)員起跳后的豎直高度y(單位:m)與水平距離x(單位:m)近似滿足函數(shù)關(guān)系y=ax2+bx+c(a≠0).下圖記錄了某運(yùn)動(dòng)員起跳后的x與y的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出該運(yùn)動(dòng)員起跳后飛行到最高點(diǎn)時(shí)，水平距離為(A)10m (B)15m (C)20m (D)22.5m8.如圖是老北京城一些地點(diǎn)的分布示意圖.在圖中，分別以正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，有如下四個(gè)結(jié)論:①當(dāng)表示天安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，0)，表示廣安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-6，-3)時(shí)，表示左安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(5，-6);②當(dāng)表示天安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，0)，表示廣安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-12，-6)時(shí)，表示左安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(10，-12);③當(dāng)表示天安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，1)，表示廣安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-11，-5)時(shí)，表示左安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(11，-11);④當(dāng)表示天安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1.5，1.5)，表示廣安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-16.5，-7.5)時(shí)，表示左安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(16.5，-16.5).上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是(A)①②③ (B)②③④ (C)①④ (D)①②③④二、填空題(本題共16分，每小題2分)9.右圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，∠BAC∠DAE.(填“>”，“=”或“<”)10.若EQ\r(x)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.11.用一組a，b，c的值說明命題“若a<b，則ac<bc”是錯(cuò)誤的，這組值可以是a=，b=，c=.12.如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，CB=CD，∠CAD=30°，∠ACD=50°，則∠ADB=°.(第12題圖)(第13題圖)13.如圖，在矩形ABCD中，E是邊AB的中點(diǎn)，連接DE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，若AB=4，AD=3，則CF的長(zhǎng)為.14.從甲地到乙地有A，B，C三條不同的公交線路.為了解早高峰期間這三條線路上的公交車從甲地到乙地的用時(shí)情況，在每條線路上隨機(jī)選取了500個(gè)班次的公交車，收集了這些班次的公交車用時(shí)(單位:分鐘)的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)如下:公交車公交車用時(shí)公交車用時(shí)的頻數(shù)線路30≤t≤3535<t≤4040<t≤4545<t≤50合計(jì)A59151166124500B5050122278500C4526516723500早高峰期間，乘坐(填“A”，“B”或“C”)線路上的公交車，從甲地到乙地“用時(shí)不超過45分鐘”的可能性最大.

15.某公園劃船項(xiàng)目收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:船型兩人船(限乘兩人)四人船(限乘四人)六人船(限乘六人)八人船(限乘八人)每船租金(元/小時(shí))90100130150某班18名同學(xué)一起去該公園劃船，若每人劃船的時(shí)間均為1小時(shí)，則租船的總費(fèi)用最低為元.16.2017年，部分國(guó)家及經(jīng)濟(jì)體在全球的創(chuàng)新綜合排名、創(chuàng)新產(chǎn)出排名和創(chuàng)新效率排名情況如圖所示，中國(guó)創(chuàng)新綜合排名全球第22，創(chuàng)新效率排名全球第.三、解答題(本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題6分，第27，28題，每小題7分)解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17.下面是小東設(shè)計(jì)的“過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程.已知:直線l及直線l外一點(diǎn)P.求作:直線PQ，使得PQ∥l.作法:如圖， ①在直線l上取一點(diǎn)A，作射線PA，以點(diǎn)A為圓心，AP長(zhǎng)為半徑畫弧，交PA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)B;②在直線l上取一點(diǎn)C(不與點(diǎn)A重合)，作射線BC，以點(diǎn)C為圓心，CB長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q;③作直線PQ.所以直線PQ就是所求作的直線.根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形;(保留作圖痕跡)(2)完成下面的證明.證明:∵AB=，CB=，∴PQ∥l()(填推理的依據(jù)).18.計(jì)算:4sin45°+(π-2)0-EQ\r(18)+EQ\b\lc\|(-1)|.19.解不等式組:20.關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.(1)當(dāng)b=a+2時(shí)，利用根的判別式判斷方程根的情況;(2)若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，寫出一組滿足條件的a，b的值，并求此時(shí)方程的根.21.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC平分∠BAD，過點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OE.(1)求證:四邊形ABCD是菱形;(2)若AB=EQ\r(5)，BD=2，求OE的長(zhǎng).22.如圖，AB是⊙O的直徑，過⊙O外一點(diǎn)P作⊙O的兩條切線PC，PD，切點(diǎn)分別為C，D，連接OP，CD.(1)求證:OP⊥CD;(2)連接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的長(zhǎng).23.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=EQ\f(k,x)(x>0)的圖象G經(jīng)過點(diǎn)A(4，1)，直線l:y=EQ\f(1,4)x+b與圖象G交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C.(1)求k的值;(2)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).記圖象G在點(diǎn)A，B之間的部分與線段OA，OC，BC圍成的區(qū)域(不含邊界)為W.①當(dāng)b=-1時(shí)，直接寫出區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù);②若區(qū)域W內(nèi)恰有4個(gè)整點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求b的取值范圍.24.如圖，Q是AB與弦AB所圍成的圖形的內(nèi)部的一定點(diǎn)，P是弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接PQ并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)C，連接AC.已知AB=6cm，設(shè)A，P兩點(diǎn)間的距離為xcm，P，C兩點(diǎn)間的距離為y1cm，A，C兩點(diǎn)間的距離為y2cm.小騰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，分別對(duì)函數(shù)y1，y2隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.下面是小騰的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整:(1)按照下表中自變量x的值進(jìn)行取點(diǎn)、畫圖、測(cè)量，分別得到了y1，y2與x的幾組對(duì)應(yīng)值;x/cm0123456y1/cm5.624.673.762.653.184.37y2/cm5.625.595.535.425.194.734.11(2)在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出補(bǔ)全后的表中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x，y1)，(x，y2)，并畫出函數(shù)y1，y2的圖象;(3)結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題:當(dāng)△APC為等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)度約為cm.25.某年級(jí)共有300名學(xué)生.為了解該年級(jí)學(xué)生A，B兩門課程的學(xué)習(xí)情況，從中隨機(jī)抽取60名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，獲得了他們的成績(jī)(百分制)，并對(duì)數(shù)據(jù)(成績(jī))進(jìn)行整理、描述和分析.下面給出了部分信息.a.A課程成績(jī)的頻數(shù)分布直方圖如下(數(shù)據(jù)分成6組:40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100):b.A課程成績(jī)?cè)?0≤x<80這一組的是:707171717676777878.578.579797979.5c.A，B兩門課程成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下:課程平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)A75.8m84.5B72.27083根據(jù)以上信息，回答下列問題:(1)寫出表中m的值;(2)在此次測(cè)試中，某學(xué)生的A課程成績(jī)?yōu)?6分，B課程成績(jī)?yōu)?1分，這名學(xué)生成績(jī)排名更靠前的課程是(填“A”或“B”)，理由是;(3)假設(shè)該年級(jí)學(xué)生都參加此次測(cè)試，估計(jì)A課程成績(jī)超過75.8分的人數(shù).26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=4x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，拋物線y=ax2+bx-3a經(jīng)過點(diǎn)A，將點(diǎn)B向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)C.(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)求拋物線的對(duì)稱軸;(3)若拋物線與線段BC恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍.27.如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，連接DE，點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為F，連接EF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，連接DG，過點(diǎn)E作EH⊥DE交DG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接BH.(1)求證:GF=GC;(2)用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明.28.對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M，N，給出如下定義:P為圖形M上任意一點(diǎn)，Q為圖形N上任意一點(diǎn)，如果P，Q兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱這個(gè)最小值為圖形M，N間的“閉距離”，記作d(M，N).已知點(diǎn)A(-2，6)，B(-2，-2)，C(6，-2).(1)求d(點(diǎn)O，△ABC);(2)記函數(shù)y=kx(-1≤x≤1，k≠0)的圖象為圖形G.若d(G，△ABC)=1，直接寫出k的取值范圍;(3)⊙T的圓心為T(t，0)，半徑為1.若d(⊙T，△ABC)=1，直接寫出t的取值范圍.2018年北京市高級(jí)中等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試卷答案一、選擇題題號(hào)12345678答案ABDCCABD二、填空題9.> 10.x≥011.答案不唯一，如:a=1，b=2，c=-1 12.7013.EQ\f(10,3) 14.C15.380 16.3三、解答題17.(1)補(bǔ)全的圖形如圖所示:(2)AP，CQ，三角形的中位線平行于三角形的第三邊.18.解:原式=4×EQ\f(\r(2),2)+1-3EQ\r(2)+1=2-EQ\r(2).19.解:原不等式組為解不等式①，得x>-2.解不等式②，得x<3.∴原不等式組的解集為-2<x<3.20.解:(1)依題意，得Δ=(a+2)2-4a=a2+4.∵a2+4>0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(2)由題意可知，a≠0，b2=4a.以下答案不唯一，如:當(dāng)a=1，b=2時(shí)，方程為x2+2x+1=0.解得x1=x2=-1.21.(1)證明:∵AB∥DC，∴∠CAB=∠ACD.∵AC平分∠BAD，∴∠CAB=∠CAD.∴∠CAD=∠ACD.∴DA=DC.∵AB=AD，∴AB=DC.∴四邊形ABCD是平行四邊形.∵AB=AD，∴四邊形ABCD是菱形.(2)解:∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD.∵BD=2，∴OB=1.在Rt△AOB中，AB=EQ\r(5)，可得OA=EQ\r(AB2-OB2)=2.∵CE⊥AE，∴OE=EQ\f(1,2)AC=OA=2.22.(1)證明:∵PC，PD是⊙O的兩條切線，∴PC=PD，PO平分∠CPD.∴OP⊥CD.(2)解:連接OC，OD，如圖.∴∠OCP=∠ODP=90°.∵OA=OB=OC=OD，∴∠ODA=∠OAD=50°，∠OCB=∠OBC=70°.∴∠AOD=80°，∠BOC=40°.∵∠AOD+∠DOC+∠COB=180°，∴∠DOC=60°.∴∠DOP=30°.在Rt△ODP中，OD=OA=2，可得OP=EQ\f(OD,cos30°)=EQ\f(4\r(3),3).23.解:(1)∵函數(shù)y=EQ\f(k,x)(x>0)的圖象G經(jīng)過點(diǎn)A(4，1)，∴k=4.(2)①3.②如圖，由題意可得b≠0.當(dāng)b>0時(shí)，(ⅰ)當(dāng)b=EQ\f(7,4)時(shí)，區(qū)域W內(nèi)有3個(gè)整點(diǎn).(ⅱ)當(dāng)b=EQ\f(11,4)時(shí)，區(qū)域W內(nèi)有4個(gè)整點(diǎn).結(jié)合圖象可得EQ\f(7,4)<b≤EQ\f(11,4).當(dāng)b<0時(shí)，(ⅰ)當(dāng)b=-1時(shí)，區(qū)域W內(nèi)有3個(gè)整點(diǎn).(ⅱ)當(dāng)b=-EQ\f(5,4)時(shí)，區(qū)域W內(nèi)有4個(gè)整點(diǎn).結(jié)合圖象可得-EQ\f(5,4)≤b<-1.綜上所述，b的取值范圍是-EQ\f(5,4)≤b<-1或EQ\f(7,4)<b≤EQ\f(11,4).24.解:本題答案不唯一，如:(1)x/cm0123456y1/cm5.624.673.763.002.653.184.37y2/cm5.625.595.535.425.194.734.11(2)(3)3.00或4.83或5.86.25.(本小題滿分6分)解:(1)78.75.(2)在此次測(cè)試中，這名學(xué)生成績(jī)排名更靠前的課程是B，理由是這名學(xué)生的A課程成績(jī)?yōu)?6分，小于A課程樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)78.75，說明這名學(xué)生的A課程成績(jī)排在后30名;這名學(xué)生的B課程成績(jī)?yōu)?1分，大于B課程樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)70，說明這名學(xué)生的B課程成績(jī)排在前30名.(3)在樣本中，A課程成績(jī)?cè)诮M80≤x<90，90≤x≤100的人數(shù)分別為18，8，在75.8<x<80范圍內(nèi)的人數(shù)為10，所以A課程成績(jī)超過75.8分的人數(shù)為36.假設(shè)該年級(jí)學(xué)生都參加此次測(cè)試，估計(jì)A課程成績(jī)超過75.8分的人數(shù)為EQ\f(36,60)×300=180.26.(本小題滿分6分)解:(1)∵直線y=4x+4與y軸交于點(diǎn)B，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，4).∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，4).(2)∵直線y=4x+4與x軸交于點(diǎn)A，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1，0).∵拋物線y=ax2+bx-3a經(jīng)過點(diǎn)A，∴a-b-3a=0，即b=-2a.∴拋物線的對(duì)稱軸是x=1.(3)如圖，當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)a=EQ\f(1,3)時(shí)，拋物線與線段BC有一個(gè)公共點(diǎn).結(jié)合函數(shù)圖象可得a≥EQ\f(1,3).當(dāng)a<0時(shí)，(ⅰ)當(dāng)a=-1時(shí)，拋物線與線段BC有一個(gè)公共點(diǎn).(ⅱ)當(dāng)a=-EQ\f(4,3)時(shí)，拋物線與線段BC有兩個(gè)公共點(diǎn).結(jié)合函數(shù)圖象可得a=-1或a<-EQ\f(4,3).綜上所述，a的取值范圍是a<-EQ\f(4,