2023屆甘肅省蘭州市第五十中學(xué)高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，，則真子集的個數(shù)（

）A．8 B．7 C．4 D．6【答案】B【分析】利用對數(shù)不等式的解法及交集的定義，結(jié)合真子集的個數(shù)公式即可求解.【詳解】由題，則，得，所以，，所以真子集的個數(shù)為．故選：B.2．設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的模為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算公式，計算出的模.【詳解】依題意，，故選D.【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)模的概念及運算，屬于基礎(chǔ)題.3．下列命題中是假命題的是()A．?x∈R， B．?x∈R，cosx＝1C．?x∈R，>0 D．?x∈R，>0【答案】C【詳解】；；；，所以假命題是C4．已知為第二象限角，則（

）A．3 B． C．1 D．【答案】C【分析】由為第二象限角，可得，再結(jié)合，化簡即可.【詳解】由題意，，因為為第二象限角，所以，所以.故選：C.【點睛】本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.5．總體由編號為01，02，，49，50的50個個體組成，利用下面的隨機數(shù)表選取6個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第6行的第9列和第10列數(shù)字開始從左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出的第4個個體的編號為附：第6行至第9行的隨機數(shù)表2748

6198

7164

4148

7086

2888

8519

16207477

0111

1630

2404

2979

7991

9683

51253211

4919

7306

4916

7677

8733

9974

67322635

7900

3370

9160

1620

3882

7757

4950A．3 B．19 C．38 D．20【答案】B【解析】根據(jù)用用隨機數(shù)表法進行簡單隨機抽樣的方法，得出結(jié)論．【詳解】解：從隨機數(shù)表第6行的第9列和第10列數(shù)字開始從左到右依次選取兩個數(shù)字，位于01至50中間，含端點，則這四個數(shù)為：41、48、28，19，故選：B．【點睛】本題主要考查用隨機數(shù)表法進行簡單隨機抽樣，屬于基礎(chǔ)題．6．已知非零單位向量滿足，則與的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由等式兩邊同時平方可得，同時計算出的值，設(shè)與的夾角為，代入公式，計算可得答案.【詳解】解：由等式兩邊同時平方可得：，化簡可得：，又因為，所以，設(shè)與的夾角為，則，又，所以，故選：D.【點睛】本題主要考查向量的模、夾角及平面向量數(shù)量積的公式，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.7．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(－1，1) D．(－1，1]【答案】A【分析】求得特稱命題的否定，結(jié)合一元二次不等式在上恒成立求參數(shù)范圍即可.【詳解】命題：存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0的否定是：對任意的，.若對任意的，為真命題，則：當(dāng)時，，顯然不是恒成立，故舍去；當(dāng)時，，且，解得.綜上所述，.又因為原命題：存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0是真命題，故任意的，是假命題.故.故選：.【點睛】本題考查由特稱命題的真假求參數(shù)的范圍，涉及一元二次不等式在上恒成立求參數(shù)范圍，屬綜合基礎(chǔ)題.8．?dāng)?shù)列滿足，且對任意的都有，則的前100項和為A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：由可得,取,并將這些等式兩邊相加可得因,因,故,故應(yīng)選D.【解析】數(shù)列求和的疊加和裂項相消等方法．【易錯點晴】本題重點考查是數(shù)列求和的方法,解答時可充分借助題設(shè)條件,先想方設(shè)法求出數(shù)列的通項公式,再求數(shù)列的前一的通項公式時,依據(jù)道可得,再對取值,并將所得這個等式兩邊相加,抵消去相同的項并化簡計算可得,當(dāng)?shù)玫綍r,再巧妙地將其變形為,運用裂項相消的方法從而使問題獲解.9．一個幾何體三視圖如下圖所示，則該幾何體體積為（

）A．12 B．8 C．6 D．4【答案】D【分析】根據(jù)三視圖還原立體幾何圖得該幾何體為三棱錐，然后代入棱錐體積計算公式求解.【詳解】由三視圖可知該幾何體為三棱錐，如圖，故其體積，故選：D．10．已知是橢圓：的左焦點，經(jīng)過原點的直線與橢圓交于，兩點，若，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意設(shè)橢圓的右焦點，根據(jù)正弦定理即可求得和的關(guān)系，即可求得橢圓的離心率．【詳解】解：設(shè)橢圓的右焦點，連接，，根據(jù)橢圓對稱性可知四邊形為平行四邊形，則，且由，可得，所以，則，由余弦定理可得，即，∴橢圓的離心率，故選：A．【點睛】本題考查橢圓離心率的求解，其中涉及到橢圓的定義以及余弦定理，對學(xué)生的分析與計算能力要求較高，難度較難.11．李雷和韓梅梅兩人都計劃在國慶節(jié)的7天假期中，到“東亞文化之都--泉州”“二日游”，若他們不同一天出現(xiàn)在泉州，則他們出游的不同方案共有A．16種 B．18種 C．20種 D．24種【答案】C【詳解】分析：根據(jù)分類計數(shù)原理，“東亞文化之都﹣﹣泉州”“二日游”，任意相鄰兩天組合一起，一共有6種情況，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，分兩種情況討論即可．詳情：任意相鄰兩天組合一起，一共有6種情況，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，若李雷選①②或⑥⑦，則韓梅梅有4種選擇，選若李雷選②③或③④或④⑤或⑤⑥，則韓梅梅有3種選擇，故他們不同一天出現(xiàn)在泉州，則他們出游的不同方案共有2×（4+6）=20，故答案為C點睛：本題主要考查計數(shù)原理，意在考查計數(shù)原理等基礎(chǔ)知識的掌握能力和分類討論思想的運用能力.12．已知函數(shù)，若函數(shù)在上的最小值為，則的值為A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意，，若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，矛盾；若，函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，解得；若，函數(shù)在上是遞增函數(shù)，所以，矛盾；若，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得，矛盾.綜上.故選：A.二、填空題13．如圖為計算函數(shù)值的程序框圖，則此程序框圖中的判斷框內(nèi)應(yīng)填________．【答案】【分析】將化簡成分段函數(shù)即可求解【詳解】由知，判斷框內(nèi)應(yīng)填故答案為：14．已知，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【詳解】由于恒成立，需，由基本不等式得，因此，．點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.15．已知直線，則過圓的圓心且與直線垂直的直線的方程為________.【答案】【分析】的方程.【詳解】圓,化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得則圓心坐標(biāo)為因為,直線與直線垂直由兩條直線垂直的斜率關(guān)系可得直線的斜率為由點斜式方程可得化簡即故答案為:【點睛】本題考查了圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的轉(zhuǎn)化,兩條直線垂直時斜率關(guān)系,點斜式方程的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.16．對大于或等于的自然數(shù)的次方冪有如下分解方式：根據(jù)上述分解規(guī)律，則,若的分解中最小的數(shù)是73，則的值為__________.【答案】9【詳解】試題分析：根據(jù)23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，從23起，m3的分解規(guī)律恰為數(shù)列3，5，7，9，若干連續(xù)項之和，23為前兩項和，33為接下來三項和，故m3的首數(shù)為m2－m+1．∵m3（m∈N*）的分解中最小的數(shù)是73，∴m2-m+1=73，∴m=9．故答案為9．【解析】本題主要考查歸納推理，等差數(shù)列通項公式．點評：中檔題，歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題．三、解答題17．在四邊形中，∥，．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）在三角形中，根據(jù)余弦定理可求出的大小，即為的大小，然后在三角形中根據(jù)余弦定理可以求出的值（2）根據(jù)，分別表示出兩角的余弦令其相等，可求出的長度，從而求出【詳解】（1）在三角形中，根據(jù)余弦定理可得，，由題得：，所以，在三角形中，根據(jù)余弦定理可得，，所以，（2）設(shè)，在三角形中，根據(jù)余弦定理可得，，在三角形中，根據(jù)余弦定理可得，，所以，得：或（舍），則18．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為直角梯形，，AB⊥AD，四邊形ADEF為正方形，平面ADEF⊥平面ABCD．BC＝3AB＝3AD，M為線段BD的中點．(1)求證：BD⊥平面AFM；(2)求平面AFM與平面ACE所成的銳二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)證明AF⊥BD以及BD⊥AM即可求證BD⊥AM；(2)在點A處建立空間坐標(biāo)系，分別計算平面AFM與平面ACE的法向量，結(jié)合空間角與向量角的聯(lián)系計算即可.【詳解】（1）因為四邊形ADEF為正方形，所以AF⊥AD．又因為平面ADEF⊥平面ABCD，且平面平面ABCD＝AD，平面，所以AF⊥平面ABCD，而平面，所以AF⊥BD，因為AB＝AD，M線段BD的中點，所以BD⊥AM，且AM∩AF＝A，平面，所以BD⊥平面AFM（2）由（1）知AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AB，AF⊥AD，又AB⊥AD，所以AB，AD，AF兩兩垂直．分別以為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz（如圖）．設(shè)AB＝1，則A，B，C，D，E，所以，，，設(shè)平面ACE的一個法向量為，則

即，令y＝1，則，則．由（1）知，為平面AFM的一個法向量．設(shè)平面AFM與平面ACE所成的銳二面角為，則．所以平面AFM與平面ACE所成的銳二面角的余弦值為．19．清華大學(xué)自主招生考試題中要求考生從A，B，C三道題中任選一題作答，考試結(jié)束后，統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示共有600名學(xué)生參加測試，選擇A，B，C三題答卷數(shù)如下表：題ABC答卷數(shù)180300120（Ⅰ）負(fù)責(zé)招生的教授為了解參加測試的學(xué)生答卷情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法從600份答案中抽出若干份答卷，其中從選擇A題作答的答卷中抽出了3份，則應(yīng)分別從選擇B，C題作答的答卷中各抽出多少份？（Ⅱ）測試后的統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，A題的答卷得優(yōu)的有60份，若以頻率作為概率，在（Ⅰ）問中被抽出的選擇A題作答的答卷中，記其中得優(yōu)的份數(shù)為，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望．【答案】(Ⅰ)5份，2份；（Ⅱ）詳見解析．【詳解】試題分析：(Ⅰ)根據(jù)分層比是，所以每一層都是按此分層比抽取，題抽取，題抽取的是；（Ⅱ）由題可知得優(yōu)的概率是，所以題抽取的3人中，答案滿足優(yōu)的份數(shù),根據(jù)二項分布的公式列出分布列，和期望．試題解析：解：（Ⅰ）由題意可得：題ABC答卷數(shù)180300120抽出的答卷數(shù)352應(yīng)分別從題的答卷中抽出份，份．（Ⅱ）由題意可知，A題答案得優(yōu)的概率為，顯然被抽出的A題的答案中得優(yōu)的份數(shù)的可能取值為0,1,2,3，且．；；；隨機變量的分布列為：所以．【解析】1．分層抽樣；2．二項分布．20．已知橢圓的離心率為，直線交于，兩點；當(dāng)時，.（1）求E的方程；（2）設(shè)A在直線上的射影為D，證明：直線過定點，并求定點坐標(biāo).【答案】（1）；（2）證明見解析，定點.【分析】（1）首先根據(jù)題意得到，橢圓過點，從而得到，，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）首先設(shè)，，則，聯(lián)立橢圓與直線得到，利用根系關(guān)系得到，再寫出直線，利用根系關(guān)系即可得到定點.【詳解】（1）由題意得，整理得，由時，，得到橢圓過點，得.因此，，故的方程是.（2）設(shè)，，則.將代入得，，，.從而①.直線，設(shè)直線與x軸的交點為，則，.所以，.將①式代入上式可得.故直線過定點.【點睛】本題第一問考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，第二問考查直線與橢圓的位置關(guān)系，同時考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.21．設(shè)函數(shù)其中(Ⅰ)若曲線在點處切線的傾斜角為，求的值;(Ⅱ)已知導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在零點，證明:當(dāng)時，.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見解析【解析】(Ⅰ)求導(dǎo)得到，，解得答案.(Ⅱ)，故，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，設(shè)，證明函數(shù)單調(diào)遞減，故，得到證明.【詳解】(Ⅰ)，故，，故.(Ⅱ)，即，存在唯一零點，設(shè)零點為，故，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，設(shè)，則，設(shè)，則，單調(diào)遞減，，故恒成立，故單調(diào)遞減.，故當(dāng)時，.【點睛】本題考查了函數(shù)的切線問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵.22．已知曲線C：和直線l：（t為參數(shù)）．(1)求曲線C的參數(shù)方程和直線l的普通方程；(2)過曲線C上任意一點P作與直線l夾角為30°的直線，交l于點A，求的最大值與最小值．【答案】(1)曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；直線l的普通方程為；(2)最大值為，最小值為