2023屆黑龍江省佳木斯市第一中學(xué)高三上學(xué)期第三次調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別求出集合A、B，然后根據(jù)并集的運算求解即可.【詳解】，，所以，故選：B.2．已知（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點一定在（

）A．實軸上 B．虛軸上C．第一?三象限的角平分線上 D．第二?四象限的角平分線上【答案】C【分析】設(shè)出，從而得到，即，得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第一?三象限的角平分線上.【詳解】設(shè)，則，則，即，從而，故，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在直線上，即第一?三象限的角平分線上.故選：C3．命題“”為真命題的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】對命題進(jìn)行求解，可得，再通過充分條件和必要條件進(jìn)行判斷即可.【詳解】因為命題是真命題，當(dāng)時，，若恒成立，則，結(jié)合選項，命題是真命題的一個充分不必要條件是，故選：B．4．設(shè)等差數(shù)列的前項的和為，若，則（

）A．17 B．34 C．51 D．102【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項求公差，進(jìn)而根據(jù)求和公式即可求解.【詳解】設(shè)公差為，則由得，即，故.故選：B5．在新冠肺炎疫情防控中，核酸檢測是新冠肺炎確診的有效快捷手段，在某醫(yī)院成為新冠肺炎核酸檢測定點醫(yī)院并開展檢測工作的第n天，設(shè)每個檢測對象從接受檢測到檢測報告生成的平均耗時為（單位：小時），已知與n之間的函數(shù)關(guān)系為（，為常數(shù)），并且第16天的檢測過程平均耗時16小時，第64天和第67天的檢測過程平均耗時均為8小時，那么可得第49天的檢測過程平均耗時大約為（

）A．7小時 B．8小時 C．9小時 D．10小時【答案】C【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，當(dāng)時，函數(shù)為定值，所以可得，然后代入數(shù)值即可解得，得到解析式.【詳解】由已知可得，當(dāng)時，函數(shù)為定值；當(dāng)時，顯然函數(shù)為單調(diào)函數(shù).則根據(jù)數(shù)值分析可得，.所以有，解得.因為，所以.故選：C.6．已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角的余弦公式求得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式即可得解.【詳解】解：因為，所以，即，所以.故選：A.7．中，，，，，且，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，得，則可得，再結(jié)合，，，計算可得答案【詳解】因為，所以，因為，所以，,所以，因為，，，所以，解得，故選：D8．已知函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)為奇數(shù)，當(dāng)時，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，可得，．于是，．即函數(shù)是以4為周期的函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)得周期性即可的解.【詳解】解：是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，，．，．即函數(shù)是以4為周期的函數(shù)，則.故選：B.二、多選題9．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則是鈍角三角形C．若，則為等腰三角形D．若，則符合條件的有兩個【答案】AB【分析】根據(jù)正、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，通過邊角轉(zhuǎn)化等一一判斷即可.【詳解】對A選項，根據(jù)結(jié)論大角對大邊，則有，又因為正弦定理，所以，故A正確；對B選項，由可得，，為鈍角三角形，故B正確:對C選項，由可得，，或，是直角三角形或等腰三角形，故C錯誤；對D選項，由正弦定理得，故不存在滿足條件的，故D錯誤.故選：AB.10．已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前n項和為，且，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．公差C．當(dāng)時最大 D．使的n的最大值為16【答案】ABC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得出，，逐項判斷即可.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)知，，，又，所以，所以，B項正確；又，所以，A項正確；根據(jù)，，，，可知，等差數(shù)列前8項均為正數(shù)，從第9項起為負(fù)數(shù)，所以當(dāng)時最大，C項正確；，，所以使的n的最大值為15.故選：ABC.11．已知函數(shù)，則（

）A．為奇函數(shù) B．在處取極大值C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．存在3個零點【答案】BD【分析】由已知，，結(jié)合定義域可判斷A項；將函數(shù)整理為，可得到在上的解析式，求導(dǎo)可判斷BC兩項；解，可得到函數(shù)零點的個數(shù).【詳解】，定義域為，所以為偶函數(shù)，A不正確；由題意可得，，即當(dāng)時，，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，在處取極大值，B項正確；在區(qū)間上單調(diào)遞減，C項錯誤；解，即，可得，解得，，，所以存在3個零點，D項正確.故選：BD.12．已知函數(shù)，，若存在，，使得成立，則（

）A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，的最小值為 D．當(dāng)時，的最大值為【答案】ACD【分析】對于A項，可通過解不等式直接得出；對于B項，可以取合適的特殊值驗證；求出，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則可畫出等價于，結(jié)合圖象可知當(dāng)時，與只有一個交點，則，則，代入CD項可構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)得到最值.【詳解】由已知，當(dāng)時，即，，，，所以有，A正確；取，則，此時令，則有，，B項錯誤；∵，

∴當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；所以，的圖象如圖所示.又，即.當(dāng)時，如圖易知，與只有一個交點，由可得，此時，，.則.令，則.當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減.所以，在處有最小值，C項正確；當(dāng)時，.令，.當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增.所以，在處有最大值，D項正確.故選：ACD.【點睛】本題考察利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與交點問題，屬于難題.通過導(dǎo)函數(shù)得出性質(zhì)，畫出函數(shù)圖象.對多個變量時，?？紤]利用同構(gòu).本題利用同構(gòu)可知，等價于，結(jié)合圖象，得出的關(guān)系，簡化解題過程，找到突破口.三、填空題13．已知角的終邊上一點，則____.【答案】【分析】由三角函數(shù)的定義求，再由誘導(dǎo)公式求.【詳解】角的終邊上一點，點到原點距離為2，由三角函數(shù)的定義，由誘導(dǎo)公式.故答案為：14．已知圓柱的兩個底面的圓周在體積為的球O的球面上，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為_____________．【答案】【分析】先求出球的半徑，根據(jù)條件列出圓柱底面半徑和母線的關(guān)系式，即可得到側(cè)面積表達(dá)式，然后用重要不等式即可求解.【詳解】設(shè)球的半徑為R，圓柱的底面半徑為r，母線為l，則由題意知，，解得R=2.又圓柱的兩個底面的圓周在體積為的球O的球面上，則圓柱的兩個底面圓的圓心關(guān)于球心對稱，且.則圓柱的側(cè)面積，，因為，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立.所以，故答案為：.15．摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以在高處俯瞰四周景色．如圖，某摩天輪的最高點距離地面的高度為12，轉(zhuǎn)盤的直徑為10，A，B為摩天輪在地面上的兩個底座，，點P為摩天輪的座艙，則的范圍為______．【答案】【分析】由題意可得到P到AB中點距離的最大值和最小值，然后根據(jù)數(shù)量積的運算，可得到答案.【詳解】設(shè)C為AB的中點，如圖示：由題意可知：,則，又因為，所以的取值范圍是,故答案為：16．設(shè)正數(shù)數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項之積為，且，則數(shù)列的通項公式是______．【答案】【分析】由遞推關(guān)系可得，求出前幾項，可猜想出，再加以驗證，利用即可求出.【詳解】當(dāng)時，，即，則，當(dāng)時，，，則，整理可得，則可得，，，，則猜想，代入檢驗得，滿足猜想，，，當(dāng)時，，.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查利用遞推關(guān)系求數(shù)列得通項公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)遞推關(guān)系先得出，利用猜想得出.四、解答題17．已知向量，．(1)若，且，求x的值；(2)若函數(shù)，求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】(1)或(2)，【分析】（1）根據(jù)平面向量共線得坐標(biāo)表示列出方程，解之即可；（2）根據(jù)數(shù)量積得坐標(biāo)表示結(jié)合三角恒等變換化簡，再根據(jù)三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性即可得解.【詳解】（1）解：因為，所以，即，所以或，則或，又，所以或；（2）解：，所以函數(shù)的最小正周期，令，得，所以函數(shù)得單調(diào)遞增區(qū)間為.18．設(shè)數(shù)列滿足，且．等差數(shù)列的公差d大于0．已知，且成等比數(shù)列．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列得定義證明等于一個定值即可得證，從而可求得數(shù)列的通項，再利用累加法即可求出的通項公式；（2）先求出數(shù)列的通項，再利用裂項相消法即可得出答案.【詳解】（1）證明：因為，所以，又，所以數(shù)列是以4為首項，2為公差的等差數(shù)列，則，當(dāng)則，n=1成立所以；（2）解：由，得，又成等比數(shù)列，使用，即，解得（舍去），所以，則，所以.19．在中，角所對的邊分別為，且滿足.(1)求角；(2)為邊上一點，，且，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理得到，再利用輔助角公式求出；（2）分別在與中，利用正弦定理得到，再由余弦定理得到，從而求出.【詳解】（1）由，得.由，故所以，又因為，所以，故.即，又，所以.（2）由（1）知：所以.在中，；在中，.又，代入得：.由余弦定理得：，所以.20．已知數(shù)列單調(diào)遞增且，前項和滿足，數(shù)列滿足，且，.(1)求數(shù)列、的通項公式;(2)若，求證：.【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）由結(jié)合可求得的值，令，由題意推導(dǎo)出數(shù)列是等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，可求得數(shù)列的通項公式，分析可知數(shù)列為等比數(shù)列，確定的該數(shù)列的公比，結(jié)合的值可求得數(shù)列的通項公式；（2）由時，，由時，利用放縮法可得出，再利用等比數(shù)列的求和公式可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：當(dāng)時，，所以或，因為，故；當(dāng)時，，即，因為是單調(diào)遞增的數(shù)列，所以，，則，即，所以，是等差數(shù)列，公差為，首項是，所以，.由得，，所以是等比數(shù)列，，，則數(shù)列的公比為，所以，.（2）解：當(dāng)時，，當(dāng)時，.所以，.綜上可知，對任意的，成立.21．設(shè)函數(shù)，且是定義域為R的奇函數(shù)，且的圖象過點．(1)求和的值；(2)若R，，求實數(shù)的取值范圍；(3)是否存在實數(shù)m，使函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】(1)直接利用奇函數(shù)可得到t的值，再代回解析式看是否符合奇函數(shù)的條件，由函數(shù)過點代入求a；(2)利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得，再由函數(shù)單調(diào)性脫去“”，轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立求解即可；(3)令換元后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)有最大值，分類討論求出最大值得出即可.【詳解】（1）∵f（x）是定義域為R上的奇函數(shù)，且，∴，∴，此時，滿足，故符合題意，∵函數(shù)的圖象過點，∴，即，解得或，因為且，∴．（2）由（1）知，由，得，∵為奇函數(shù)，∴，為R上的增函數(shù)，∴對一切R恒成立，即對一切R恒成立，故，解得．（3）由題意設(shè)則，∵，∴，記，∴函數(shù)在有最大值為1，①若對稱軸，∴，不合題意．②若對稱軸，綜上所述：故存在實數(shù)，使函數(shù)g（x）在上的最大值為1．22．已知函數(shù).(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)若有兩個極值點，（），且不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合切線的點斜式方程，可得答案；（2）由極值點的必要條件，得到參數(shù)與極值點之間的等量關(guān)系，化簡整理并整體還原，可得一元不等式，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立，可得答案.【詳解】（1）若，則，