2023屆云南省紅河州高三上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知i為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和乘方運(yùn)算，進(jìn)行化簡(jiǎn)、整理，即可得答案．【詳解】．故選：B．2．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域和值域結(jié)論，化簡(jiǎn)集合，再由交集定義求.【詳解】集合，，所以．故選：A．3．溶液酸堿度是通過(guò)計(jì)算的．的計(jì)算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升．當(dāng)胃酸中氫離子的濃度是摩爾/升時(shí)，胃酸的為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．1.5 B．1.6 C．1.9 D．2.1【答案】B【分析】根據(jù)題中公式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由已知得．故選：B4．在中，角的對(duì)邊分別為，的面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形面積公式，正弦定理角化邊，余弦定理結(jié)合即可解決.【詳解】由題知，的面積為，所以，即所以由正弦定理得，即，所以，因?yàn)?，所以．故選：D5．一個(gè)宿舍的6名同學(xué)被邀請(qǐng)參加一個(gè)節(jié)目，要求必須有人去，但去幾個(gè)人自行決定．其中甲和乙兩名同學(xué)要么都去，要么都不去，則該宿舍同學(xué)的去法共有（

）A．15種 B．28種 C．31種 D．63種【答案】C【分析】滿足條件的去法可分為兩類，第一類甲乙都去，第二類甲乙都不去，再進(jìn)一步通過(guò)分類加法原理求出各類的方法數(shù)，將兩類方法數(shù)相加即可.【詳解】若甲和乙兩名同學(xué)都去，則去的人數(shù)可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以滿足條件的去法數(shù)為種；若甲和乙兩名同學(xué)都不去，則去的人數(shù)可能是1人，2人，3人，4人，則滿足條件去法有種；故該宿舍同學(xué)的去法共有種．故選：C.6．函數(shù)在上的部分圖象如圖所示，則的解析式可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性進(jìn)行判斷即可.【詳解】由圖象可知為奇函數(shù)，且過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．A：，且，所以的解析式可能是本選項(xiàng)；B：因?yàn)椋栽摵瘮?shù)是偶函數(shù)，因此的解析式不可能是本選項(xiàng)；C：因?yàn)椋栽摵瘮?shù)不是奇函數(shù)，因此的解析式不可能是本選項(xiàng)；D：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，對(duì)于函數(shù)來(lái)說(shuō)沒(méi)有意義，所以的解析式不可能是本選項(xiàng)；故選：A7．圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的長(zhǎng)度之比為，側(cè)面積為，則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)是（

）A．20 B．2 C． D．10【答案】D【分析】設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑和高分別為母線長(zhǎng)為，得，由計(jì)算即可解決.【詳解】由題知，圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的長(zhǎng)度之比為，側(cè)面積為，設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑和高分別為母線長(zhǎng)為，所以，得，因?yàn)?，所以所以．故選：D8．已知正數(shù)m，n滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用比差法結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較的大小即可.【詳解】由已知，，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以．故選：C．二、多選題9．為了解某校學(xué)生在“學(xué)憲法，講憲法”活動(dòng)中的學(xué)習(xí)情況，對(duì)該校1000名學(xué)生進(jìn)行了一次測(cè)試，并對(duì)得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，按照分成5組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，下列說(shuō)法正確的是（

）A．圖中的x值為0.020B．由直方圖中的數(shù)據(jù)，可估計(jì)第75百分位數(shù)是85C．由直方圖中的數(shù)據(jù)，可估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為75D．由直方圖中的數(shù)據(jù)，可估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75【答案】ABD【分析】根據(jù)頻率分布直方圖性質(zhì)列方程求判斷A，根據(jù)百分位數(shù)的定義計(jì)算第75百分位數(shù)判斷B，根據(jù)平均數(shù)的定義計(jì)算平均數(shù)判斷C，根據(jù)眾數(shù)的定義確定眾數(shù)，判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由題意得，解得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)椋?，故可估?jì)第75%分位數(shù)是，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，由直方圖可知，眾數(shù)為75，故D正確，故選：ABD10．已知函數(shù)的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之差為，且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列關(guān)于函數(shù)的圖象和性質(zhì)的描述中，正確的是（

）A．函數(shù)的解析式為 B．函數(shù)的零點(diǎn)為C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．函數(shù)為奇函數(shù)【答案】BC【分析】由條件確定函數(shù)的周期，利用周期公式結(jié)合特殊點(diǎn)求出函數(shù)解析式，由此判斷A，再結(jié)合正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷B，C，D.【詳解】由題意知周期，所以，所以，把代入解析式，得，所以，因?yàn)?，所以，故函?shù)的解析式為，故A錯(cuò)誤；令，得，即，故B正確；令，得，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：BC．11．已知數(shù)列滿足（其中，q為非零常數(shù)，），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則不是等比數(shù)列 B．若，則既是等差數(shù)列，也是等比數(shù)列C．若，則是遞減數(shù)列 D．若是遞增數(shù)列，則【答案】BC【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義判斷A，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的定義判斷B，根據(jù)遞減數(shù)列的定義判斷C，根據(jù)遞增數(shù)列的性質(zhì)判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，由等比數(shù)列的定義可知，是等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，所以既是等差數(shù)列，也是等比數(shù)列，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)，時(shí)，，即，所以是遞減數(shù)列，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)，不是遞增數(shù)列，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，由是遞增數(shù)列得，，所以或，即或，故D錯(cuò)誤．故選：BC．12．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，P為右支上任一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以下選項(xiàng)中正確的是（

）A．的最小值為B．若過(guò)的直線交C的右支于A，B兩點(diǎn)，則C．若O到的距離是O到距離的2倍，且，則C的離心率為D．若C的方程為，過(guò)O的直線交C于M，N兩點(diǎn)，Q為圓上任一點(diǎn)，則的最大值為15【答案】ACD【分析】結(jié)合雙曲線定義及三角形三邊關(guān)系判斷A，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，求，排除B，由條件，結(jié)合三角形面積公式和雙曲線定義求，利用余弦定理確定關(guān)系可得離心率，判斷C，根據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式表示，結(jié)合雙曲線和圓的范圍求其最值即可判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與的右頂點(diǎn)重合時(shí)等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)軸時(shí)，則直線的方程為，聯(lián)立可得，所以，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)闉榈闹芯€，所以，由題設(shè)知，又，所以，在中，由余弦定理得，所以，故，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)，，，則，，，，當(dāng)取最大值4，取最小值1時(shí)，取得最大值，最大值為，故D正確；故選：ACD．三、填空題13．已知是兩個(gè)不共線的非零向量，若與共線，則_____________．【答案】##0.5【分析】根據(jù)向量共線結(jié)論結(jié)合平面向量基本定理列方程求即可.【詳解】因?yàn)榕c共線，所以，又是兩個(gè)不共線的非零向量，所以，所以，故答案為：.14．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若，則點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為_________________．【答案】##【分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】據(jù)題意，設(shè)，則，得，解得，所以，即．故答案為：15．核桃（又稱胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并稱為世界著名的“四大干果”．它的種植面積很廣，但因地域不一樣，種植出來(lái)的核桃品質(zhì)也有所不同．現(xiàn)已知甲、乙兩地盛產(chǎn)核桃，甲地種植的核桃空殼率為（空殼率指堅(jiān)果，谷物等的結(jié)實(shí)性指標(biāo)，因花未受精，殼中完全無(wú)內(nèi)容，稱為空殼），乙地種植的核桃空殼率為，將兩地種植出來(lái)的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃數(shù)分別占總數(shù)的，從中任取一個(gè)核桃，則該核桃是空殼的概率是_____________．【答案】【分析】利用全概率公式求解即可.【詳解】設(shè)事件所取核桃產(chǎn)地為甲地為事件，事件所取核桃產(chǎn)地為乙地為事件，所取核桃為空殼為事件，則，，所以該核桃是空殼的概率是，故答案為：.16．四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面，，E，F(xiàn)，G分別在棱上，且，過(guò)E，F(xiàn)，G三點(diǎn)的平面交棱于點(diǎn)H，則的長(zhǎng)為_______________．【答案】##1.2【分析】建系如圖，設(shè)，，結(jié)合向量線性運(yùn)算可得，即可解得（即）的值.【詳解】建系如圖：，設(shè)，∵E，F(xiàn)，G分別在棱上，且，∴、G為、中點(diǎn)，∴，，由得.E，F(xiàn)，G三點(diǎn)共面，設(shè)，則有，所以．解得，.所以．故答案為：.四、解答題17．為了了解某城市70后和80后市民每周的體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)情況，隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行調(diào)查，并按年齡段及周平均體育鍛煉時(shí)間是否少于7小時(shí)，將調(diào)查結(jié)果整理成列聯(lián)表，統(tǒng)計(jì)得出樣本中周平均體有鍛煉時(shí)間少于7小時(shí)的人數(shù)占，70后的樣本人數(shù)占樣本總數(shù)的，80后每周平均體育最煉時(shí)間不少于7小時(shí)的樣本有60人．（70后指1970年至1979年出生的人構(gòu)成的群體，80后指1980年至1989年出生的人構(gòu)成的群體）時(shí)間年齡段少于7小時(shí)不少于7小時(shí)合計(jì)70后80后60合計(jì)200(1)請(qǐng)根據(jù)已知條件將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析周平均體育鍛煉時(shí)間長(zhǎng)短與年齡段是否有關(guān)聯(lián)；(2)現(xiàn)從70后的樣本中按周平均體育鍛煉時(shí)間是否少于7小時(shí)，用分層抽樣的方法抽取6人做進(jìn)一步訪談，然后從這6人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行體檢，記抽取的3人中周平均體育鍛煉時(shí)間不少于7小時(shí)的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考公式及數(shù)據(jù)：．0.10.050.010.050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)填表見解析；周平均體育鍛煉時(shí)間長(zhǎng)短與年齡段無(wú)關(guān)聯(lián)(2)分布列見解析；期望為【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表求得即可解決；（2）抽取的6人中，周平均體育鍛煉時(shí)間少于7小時(shí)的有2人，不少于7小時(shí)的有4人，得所有可能的取值為，根據(jù)超幾何分布解決即可.【詳解】（1）補(bǔ)充列聯(lián)表如下：時(shí)間年齡段少于7小時(shí)不少于7小時(shí)合計(jì)70后30609080后5060110合計(jì)80120200假設(shè)：周平體育鍛煉時(shí)間長(zhǎng)短與年齡無(wú)關(guān)聯(lián)，，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)分析判斷成立，故周平均體育鍛煉時(shí)間長(zhǎng)短與年齡段無(wú)關(guān)聯(lián)．（2）由題意可知：抽取的6人中，周平均體育鍛煉時(shí)間少于7小時(shí)的有人，不少于7小時(shí)的有人；所以所有可能的取值為，；；；的分布列為：123數(shù)學(xué)期望．18．如圖，在扇形中，圓心角，A是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)．(1)若平分時(shí)，求的值；(2)若，矩形內(nèi)接于扇形，求矩形面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】(1)由條件求的大小，再利用兩角和正切公式求；(2)設(shè)，利用表示矩形的面積，化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)和不等式性質(zhì)求其最大值.【詳解】（1）因?yàn)?，平分，所以，又，所以，；?）設(shè)，因?yàn)?，所以，，所以，在中，，，，所以，因?yàn)?，得，?dāng)時(shí)，即時(shí)，，故矩形面積最大值為．19．如圖，平面是圓柱的軸截面，是圓柱的母線，．(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面平行的判定定理可得平面，再由線面平行的性質(zhì)定理可得，再由線面平行的判定定理可得答案；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系求出平面、平面的一個(gè)法向量利用向量夾角公式可得答案．【詳解】（1）由題意知，平面平面，所以平面，因?yàn)?，所以平面平面，因?yàn)槠矫妫?，又平面，平面，所以平面；?）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，在中，由，得，所以，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，得，令，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，得，令，得，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值．20．設(shè)首項(xiàng)為2的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，且滿足______________．條件①：；條件②：；條件③：．請(qǐng)?jiān)谝陨先齻€(gè)條件中，選擇一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線處，并解答以下問(wèn)題：（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．）(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和．參考公式：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】(1)選擇①，由條件證明為等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式求的通項(xiàng)公式；選擇②，由條件，結(jié)合關(guān)系，證明，利用累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；選擇③，先證明，由此得為常數(shù)，再求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求，利用裂項(xiàng)相消法求，由此完成證明.【詳解】（1）若選擇條件①：因?yàn)?，所以，又，所以?shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列．所以，所以．若選擇條件②：因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，，整理得，，所以，累乘得，，當(dāng)時(shí)，，符合上式，所以．若選擇條件③：因?yàn)?，所以，即，所以，所以?shù)列為常數(shù)列，又，所以，即．（2）由（1）知：，結(jié)合參考公式可得所以所以.21．已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線l交C于M，N兩點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)A平分線段時(shí)，求直線l的方程；(2)已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)利用點(diǎn)差法求出直線的斜率，再由點(diǎn)斜式求直線的方程；(2)利用設(shè)而不求法證明，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)證明.【詳解】（1）設(shè)，則，所以；又因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，所以，所以，所以直線的方程為：，即，聯(lián)立消得，，方程的判別式，即直線與拋物線相交，滿足條件，故直線的方程為；（2）設(shè)直線的方程為：，則，所以；方程的判別式，設(shè)，所以，所以所以，所以是的平分線，所以，即．【點(diǎn)睛】(1)點(diǎn)差法是解決弦的中點(diǎn)問(wèn)題的常用方法，使用點(diǎn)差法要對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證；(2)有關(guān)直線與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題，常用設(shè)而不求法解決．22．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，求a的值；(2)當(dāng)時(shí)，證明在上恒成立．【答案】(1)；