高考數(shù)學(xué)離散型隨機(jī)變量的分布列第1頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四更多資源

第2頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例：（1）某人射擊一次，可能出現(xiàn)哪些結(jié)果？其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出現(xiàn)的結(jié)果(次品數(shù))可以由0，1，2，3，4這5個(gè)數(shù)表示可能出現(xiàn)命中0環(huán)，命中1環(huán)，…，命中10環(huán)等結(jié)果，即可能出現(xiàn)的結(jié)果（環(huán)數(shù)）可以由0，1，……10這11個(gè)數(shù)表示；（2）某次產(chǎn)品檢驗(yàn)，在可能含有次品的100件產(chǎn)品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是多少件？1.離散型隨機(jī)變量10987第3頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用希臘字母、等表示．

2.對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．

按一定次序一一列出例如：上面射擊的命中環(huán)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量：＝０表示命中０環(huán)，＝10表示命中10環(huán)＝１表示命中１環(huán)，……,例如：上面產(chǎn)品檢驗(yàn)所取4件產(chǎn)品中含有的次品數(shù)也是一個(gè)隨機(jī)變量:=0,表示含有0個(gè)次品;=4,表示含有4個(gè)次品;……第4頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（1）從10張已編號(hào)的卡片（從1號(hào)到10號(hào)）中任取1張，被取出的卡片的號(hào)數(shù)ξ；分析：ξ可取1，2，…，10.ξ＝1，表示取出第1號(hào)卡片；ξ＝2，表示取出第2號(hào)卡；

……ξ＝10，表示取出第10號(hào)卡片；練習(xí)一解：ξ可取1，2，…，10.

ξ＝i，表示取出第i號(hào)卡片；

1。寫(xiě)出下列各隨機(jī)變量可能取的值，并說(shuō)明隨機(jī)變量所取的值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；第5頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（2）一個(gè)袋中裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，其中所含白球的個(gè)數(shù)ξ；解：

ξ可取0，1，2,3.ξ＝０，表示取出０個(gè)白球；ξ＝１，表示取出１個(gè)白球；ξ＝２，表示取出２個(gè)白球；ξ＝３，表示取出３個(gè)白球；練習(xí)一第6頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（3）拋擲兩個(gè)骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和是ξ；練習(xí)一解:ξ可取2，3，4，…，12。ξ＝2，表示兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和是2；ξ＝3，表示兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和是3；ξ＝4，表示兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和是4；……ξ＝12，表示兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和是12；若以(i,j)表示拋擲甲、乙骰子甲得i點(diǎn)且骰子乙得j點(diǎn)，則ξ＝2,表示(1,1);ξ＝3,表示(1,2),(2,1)；ξ＝4,表示(1,3),(2,2),(3,1)；……；ξ＝12表示(6,6)第7頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（4）連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)需要的射擊次數(shù)η練習(xí)一

解：可取1，2，…，n，…．

，表示第i次首次命中目標(biāo)。第8頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四思考：某林場(chǎng)樹(shù)木最高達(dá)30米，則此林場(chǎng)樹(shù)木的高度是一個(gè)隨機(jī)變量。它可以?。?，30]內(nèi)的一切值，不可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫連續(xù)型隨機(jī)變量注1.

隨機(jī)變量分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。第9頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四在姚明的一次罰籃中，可能出現(xiàn)罰中、罰不中這兩種情況。例如：用變量ξ來(lái)表示這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果：ξ=0，表示沒(méi)罰中；ξ=1，表示罰中。注2.某些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果不具備數(shù)量性質(zhì)，但仍可以用數(shù)量來(lái)表示它。又如：任擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面向上、反面向上。ξ＝0，表示正面向上；ξ＝1，表示反面向上．用變量ξ來(lái)表示這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果：第10頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四拋擲一枚骰子，設(shè)得到的點(diǎn)數(shù)為ξ，則ξ可能取的值有：ξ123456p此表從概率的角度指出了隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中取值的分布情況，稱為隨機(jī)變量ξ的概率分布.2.離散型隨機(jī)變量的分布列1，2，3，4，5，6雖然在拋擲骰子之前，我們不能確定隨機(jī)變量會(huì)取哪一個(gè)值，但是卻知道取各值的概率都等于ξξ第11頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四ξ取每一個(gè)ｘｉ（ｉ＝1，2，……）的概率P（ξ＝ｘｉ）＝Ｐｉ，則稱表：ξＸ1Ｘ2…Ｘｉ…ＰＰ1Ｐ2…Ｐｉ…為隨機(jī)變量ξ的概率分布，簡(jiǎn)稱為ξ的分布列.離散型隨機(jī)變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取的值為：ｘ1，ｘ2，……，ｘｉ，……．第12頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由概率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下面兩個(gè)性質(zhì)：

（1）pi≥0，i=1,2,3,……；（2）p1+p2+…=1第13頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例題１某一射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：ξ45678910Ｐ0.020.040.060.090.280.290.22求此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)≧7”的概率。解：根據(jù)射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列，有P（ξ＝7）＝P（ξ＝8）＝P（ξ＝9）＝P（ξ＝10）＝0.090.280.290.22所求得概率為P（ξ≧7）＝0.09+0.28+0.29+0.22第14頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四某運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)X的分布列如下：現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊，以該運(yùn)動(dòng)員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績(jī)，記為.(Ⅰ)求該運(yùn)動(dòng)員兩次都命中7環(huán)的概率；(Ⅱ)求分布列.X0-678910Ｐ00.20.30.30.2例題２第15頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四袋中共有50個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的5個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)（n=1，2，3，…9）。現(xiàn)從袋中任取一球，求所取球的號(hào)數(shù)的分布列以及取出球的號(hào)數(shù)是偶數(shù)的概率解：設(shè)所取球的號(hào)數(shù)為，則是隨機(jī)變量，其分布列為0123456789

P取出球的號(hào)數(shù)是偶數(shù)的概率為例題3第16頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四ξ01…k…np……如果在一次試驗(yàn)中，某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是多少？在這個(gè)試驗(yàn)中，隨機(jī)變量是什么？其中k=0,1,…,n.p=1-q.于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布如下：(2)二項(xiàng)分布第17頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由于恰好是二項(xiàng)展開(kāi)式中的各項(xiàng)的值，所以稱這樣的隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布，記作ξ～B(n，p)，其中n，p為參數(shù)，并記＝b(k；n，p)．二項(xiàng)分布第18頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例如：拋擲一個(gè)骰子，得到任一確定點(diǎn)數(shù)（比如2點(diǎn)）的概率是。重復(fù)拋擲n次，得到此確定點(diǎn)數(shù)的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，ξ又如，重復(fù)拋擲一枚硬幣n次，得到向上的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，ξ第19頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（3）幾何分布于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布如下：（k=0,1,2…,q=1-p.）ξ1

2

3…k

…Pppqpq2…pqk-1

…

稱ξ服從幾何分布，并記g(k,p)=p·qk-1檢驗(yàn)p1+p2+…=1在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，某事件第一次發(fā)生時(shí)所作試驗(yàn)的次數(shù)ξ也是一個(gè)取值為正整數(shù)的離散型隨機(jī)變量。“ξ=k”表示在第k次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)事件第一次發(fā)生。如果把第k次實(shí)驗(yàn)時(shí)事件A發(fā)生記為Ak，事件A不發(fā)生記為，

p（Ak）=p，，那么第20頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四某人每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.2，射擊中每次射擊的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求他在10次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)不超過(guò)5次的概率（精確到0.01）.解：設(shè)在這10次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)是，則ξ~B(10,0.2)ξP(ξ≤5)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+…+P(ξ=5)答：他在10次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)不超過(guò)5次的概率為0.99例題４第21頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

設(shè)他首次投籃投中時(shí)投籃次數(shù)為,則123…k…P……他在5次內(nèi)投中的概率是答：他在5次內(nèi)投中的概率是0.41.服從幾何分布,其中p=0.1，的分布列為0.10.090.081解：

某人每次投籃投中的概率為0.1，各次投籃的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求他首次投籃投中時(shí)投籃次數(shù)的分布列，以及他在5次內(nèi)投中的概率（精確到0.01）例題５第22頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一個(gè)口袋里有5只球,編號(hào)為1,2,3,4,5,在袋中同時(shí)取出3只,以ξ表示取出的3個(gè)球中的最小號(hào)碼,試寫(xiě)出ξ的分布列.解:隨機(jī)變量ξ的可取值為1,2,3.當(dāng)ξ=1時(shí),即取出的三只球中的最小號(hào)碼為1,則其它兩只球只能在編號(hào)為2,3,4,5的四只球中任取兩只,故有P(ξ=1)==3/5;同理可得P(ξ=2)=3/10;P(ξ=3)=1/10.因此,ξ的分布列如下表所示

ξ123p3/53/101/10練習(xí)二：第23頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

1名學(xué)生每天騎自行車上學(xué),從家到學(xué)校的途中有5個(gè)交通崗,假設(shè)他在交通崗遇到紅燈的事件是獨(dú)立的,并且概率都是1/3.(1)求這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)ξ的分布列.(2)求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率.解:(1)ξ∽B(5,1/3),ξ的分布列為P(ξ=k)=,k=0,1,2,3,4,5.練習(xí)三：P543210ξ(2)所求的概率:P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-32/243=211/243.第24頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四拋擲兩個(gè)骰子，取其中一個(gè)的點(diǎn)數(shù)為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，另一個(gè)的點(diǎn)數(shù)為P的縱坐標(biāo)，求連續(xù)拋擲這兩個(gè)骰子三次，點(diǎn)P在圓內(nèi)次數(shù)的概率分布0123P解：由題意可知~B（3，），所以而符合題意的點(diǎn)只有8個(gè)，那么在拋擲骰子時(shí)，點(diǎn)P在圓內(nèi)的概率為可得的分布列為由題意可知：P點(diǎn)的坐標(biāo)可能有種情況，練習(xí)四：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)第25頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四小結(jié)：本節(jié)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容及學(xué)習(xí)目標(biāo)要求：1、理解離散型隨機(jī)變量的分布列的意義，會(huì)求某些簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的分布列；2、掌握離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)基本性質(zhì)，并會(huì)用它來(lái)解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題；3、理解二項(xiàng)分布和幾何分布的概念。第26頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四求離散型隨機(jī)變量的概率分布的方法步驟：1、找出隨機(jī)變量ξ的所有可能的取值2、求出各取值的概率3、列成表格。第27頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量．1.隨機(jī)變量課堂小結(jié)2.離散型隨機(jī)變量對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．隨機(jī)變量ξ的線性組合η=aξ+b(其中a、b是常數(shù))也是隨機(jī)變量．3.離散型隨機(jī)變量的分布列ξＸ1Ｘ2…Ｘｉ…ＰＰ1Ｐ2…Ｐｉ…第28頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.1離散型隨機(jī)變量的分布列作業(yè)１.從編號(hào)為1,2,3,…，20的20個(gè)大小完全相同的球中任取一個(gè)球，求所取球的號(hào)數(shù)的分布列。2.某射手射擊擊中目標(biāo)的概率為0.9，求從開(kāi)始射擊到擊中目標(biāo)所需要的射擊次數(shù)ξ

的概率分布。3.連續(xù)拋擲兩個(gè)骰子，求所得的兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和的概率分布。4.已知隨機(jī)變量ξ

所有可能取的值是1,2,3,…，n,且取這些值的概率依次是k,2k,…，nk，求常數(shù)k的值。5.某批數(shù)量較大的商品的次品率為10%，從中任意地連續(xù)取出5件，求其中次品數(shù)ξ

的分布列。第29頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四練習(xí)：（2000年高考題）某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為5%．現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意地連續(xù)取出2件，寫(xiě)出其中次品數(shù)ξ的概率分布．解：依題意，隨機(jī)變量ξ～B(2，5%)．所以，因此，次品數(shù)ξ的概率分布是ξ012P0.90250.0950.0025第30頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四問(wèn)題2中有3個(gè)交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈上學(xué)途中恰好遇到2次紅燈的概率及遇到紅燈某學(xué)生騎自行車上學(xué)，從他家到學(xué)校途的事件是獨(dú)立的，并且概率都是0.2，求他解：P==0.096P0123次數(shù)的分布列。第31頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4、在一袋中裝有一只紅球和九只白球。每次從袋中任取一球取后放回，直到取得紅球?yàn)橹?，求取球次?shù)ξ的分布列。分析：袋中雖然只有10個(gè)球，由于每次任取一球，取后又放回，因此應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)一次取球兩個(gè)結(jié)果：取紅球A或取白球ā，且P(A)=0.1；(2)取球次數(shù)ξ可能取1，2，…；(3)由于取后放回。因此，各次取球相互獨(dú)立。第32頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四從一批有10個(gè)合格品與3個(gè)次品的產(chǎn)品中，一件一件地抽取產(chǎn)品，設(shè)各個(gè)產(chǎn)品被抽到的可能性相同，在下列三種情況下，分別求出直到取出合格品為止時(shí)所需抽取的次數(shù)的分布列．解：表示只取一次就取到合格品表示第一次取到次品，第二次取到合格品表示第一、二次都取到次品，第三次取到合格品∴隨機(jī)變量的分布列為：的所有取值為：1、2、3、4．每次取出的產(chǎn)品都不放回此批產(chǎn)品中；4321第33頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期四返回某射手有5發(fā)子彈，射擊一次命中的概率為0.9⑴如果命中了就停止射擊，否則一直射擊到子彈用完，求耗用子彈數(shù)的分布⑵如果命中2次就停止射擊，否則一直射擊到子彈用完，求耗用子彈數(shù)