高中物理--萬有引力高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第1頁。高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第1頁。第6課萬有引力與航天考綱展示命題探究eq\a\vs4\al(考點一萬有引力定律及其應用)基礎點知識點1開普勒三定律1．開普勒第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。2．開普勒第二定律：對每一個行星來說，它與太陽的連線在相等時間內掃過的面積相等。高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第2頁。3．開普勒第三定律：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第2頁。定律內容圖示高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第3頁。高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第3頁。高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第4頁。高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第4頁。②結論：M＝eq\f(gR2,G)，只要知道g、R的值，就可計算出地球的質量。(2)太陽質量的計算①依據：質量為m的行星繞太陽做勻速圓周運動時，行星與太陽間的萬有引力充當向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝eq\f(4π2mr,T2)。②結論：M＝eq\f(4π2r3,GT2)，只要知道行星繞太陽運動的周期T和半徑r就可以計算出太陽的質量。(3)其他行星的質量計算：同理，若已知衛(wèi)星繞行星運動的周期T和衛(wèi)星與行星之間的距離r，可計算行星的質量M，公式是M＝eq\f(4π2r3,GT2)。2．發(fā)現(xiàn)未知天體海王星、冥王星的發(fā)現(xiàn)都是天文學家根據觀測資料，利用萬有引力定律計算出的，人們稱其為“筆尖下發(fā)現(xiàn)的行星”。重難點高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第5頁。高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第5頁。特別提醒(1)開普勒行星運動定律不僅適用于行星繞太陽的運動，也適用于其他天體的運動。對于不同的中心天體，比例式eq\f(a3,T2)＝k中的k值是不同的。(2)應用開普勒第三定律進行計算時，一般將天體的橢圓運動近似為勻速圓周運動，在這種情況下，若用R代表軌道半徑，T代表公轉周期，開普勒第三定律用公式可以表示為eq\f(R3,T2)＝k。二、對萬有引力定律的理解1．對萬有引力定律表達式F＝Geq\f(m1m2,r2)的說明(1)引力常量G：G＝6.67×10－11N·m2/kg2；其物理意義為：兩個質量都是1kg的質點相距1m時，相互吸引力為6.67×10－11N。高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第6頁。(2)距離r：公式中的r高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第6頁。2．F＝Geq\f(m1m2,r2)的適用條件(1)萬有引力定律的公式適用于計算質點間的相互作用，當兩個物體間的距離比物體本身大得多時，可用此公式近似計算兩物體間的萬有引力。(2)質量分布均勻的球體間的相互作用，可用此公式計算，式中r是兩個球體球心間的距離。(3)一個均勻球體與球外一個質點的萬有引力也可用此公式計算，式中的r是球體球心到質點的距離。3．萬有引力的四個特性(1)普遍性：萬有引力不僅存在于太陽與行星、地球與月球之間，宇宙間任何兩個有質量的物體之間都存在著這種相互吸引的力。(2)相互性：兩個有質量的物體之間的萬有引力是一對作用力和反作用力，總是滿足大小相等，方向相反，作用在兩個物體上。高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第7頁。(3)宏觀性：地面上的一般物體之間的萬有引力比較小，與其他力比較可忽略不計，但在質量巨大的天體之間或天體與其附近的物體之間，萬有高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第7頁。(4)特殊性：兩個物體之間的萬有引力只與它們本身的質量和它們間的距離有關，而與它們所在空間的性質無關，也與周圍是否存在其他物體無關。特別提醒(1)萬有引力與距離的平方成反比，而引力常量又極小，故一般物體間的萬有引力是極小的，受力分析時可忽略。(2)任何兩個物體間都存在著萬有引力，只有質點間或能看成質點的物體間的引力才可以應用公式F＝Geq\f(m1m2,r2)計算其大小。(3)萬有引力定律是牛頓發(fā)現(xiàn)的，但引力常量卻是大約百年后卡文迪許用扭秤測出的。高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第8頁。高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第8頁。1．在地球表面上的物體重力是地面附近的物體受到地球的萬有引力而產生的；萬有引力是物體隨地球自轉所需向心力和重力的合力。如圖所示，萬有引力F產生兩個效果：一是提供物體隨地球自轉所需的向心力F向；二是產生物體的重力mg，其中F＝Geq\f(Mm,R2)，F(xiàn)向＝mrω2(r為地面上某點到地軸的距離)，則可知：(1)當物體在赤道上時，F(xiàn)、mg、F向三力同向，此時F向達到最大值，F(xiàn)向max＝mRω2，重力達到最小值，Gmin＝F－F向＝Geq\f(Mm,R2)－mRω2，重力加速度達到最小值，gmin＝eq\f(F－F向,m)＝eq\f(GM,R2)－Rω2。高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第9頁。(2)當物體在兩極點時，F(xiàn)向＝0，F(xiàn)＝mg，此時重力等于萬有引力，重力達到最大值，Gmax＝Geq\f(Mm,R2)，重力加速度達到最大值，gmax＝eq\f(GM,R2)。高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第9頁。(3)在物體由赤道向兩極移動的過程中，向心力減小，重力增大，重力加速度增大。2．地球表面附近(脫離地面)的重力與萬有引力物體在地球表面附近(脫離地面)時，物體所受的重力等于地球表面處的萬有引力，即mg＝eq\f(GMm,R2)，R為地球半徑，g為地球表面附近的重力加速度，此處也有GM＝gR2。3．距地面一定高度處的重力與萬有引力物體在距地面一定高度h處時，mg′＝eq\f(GMm,R＋h2)＝meq\f(v2,R＋h)，R為地球半徑，g′為該高度處的重力加速度。特別提醒：高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第10頁。(1)由于地球的自轉角速度很小，地球自轉帶來的影響可以忽略不計。一般情況下可以認為Geq\f(Mm,R2)＝mg，化簡可得GM＝gR2，此即常用的“黃金代換式”。高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第10頁。(2)在并非有意考查地球自轉的情況下，一般近似地認為萬有引力等于重力(數(shù)值)，但無論如何都不能說重力就是萬有引力。四、天體的質量和密度的計算首先要將天體看做質點，將環(huán)繞天體的運動看做勻速圓周運動，建立環(huán)繞天體圍繞中心天體的模型，環(huán)繞天體所需要的向心力來自于中心天體和環(huán)繞天體之間的萬有引力，然后結合向心力公式列方程：eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝meq\f(4π2,T2)r＝m4π2rf2。(1)利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R。由于Geq\f(Mm,R2)＝mg，故天體質量M＝eq\f(gR2,G)，天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。(2)通過觀察衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的周期T和軌道半徑r。高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第11頁。①由萬有引力等于向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得出中心天體質量M＝eq\f(4π2r3,GT2)；高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第11頁。②若已知天體半徑R，則天體的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)；③若天體的衛(wèi)星在天體表面附近環(huán)繞天體運動，可認為其軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2)?？梢?，只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的周期T，就可估算出中心天體的密度。特別提醒(1)利用上面的方法求天體的質量時，只能求出被繞中心天體的質量而不能求出環(huán)繞天體的質量。(2)掌握日常知識中地球的公轉周期、地球的自轉周期、月球繞地球的運動周期等，在估算天體質量時，可作為已知條件。高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第12頁。(3)在天文學中，環(huán)繞天體的線速度、角速度都比較難測量，而比較容易測量的是天體的軌道半徑和環(huán)繞周期，所以M＝eq\f(4π2r3,GT2)比較常用。高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第12頁。例題講解：高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第13頁。[考法綜述]本考點知識是天體運動與航天技術的基礎，涉及開普勒三定律、萬有引力定律及其應用，試題類型基本上都是選擇，在高考中時有體現(xiàn)，在復習中應掌握：高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第13頁。2個定律——開普勒定律、萬有引力定律1個應用——萬有引力定律的應用3個公式——eq\f(R3,T2)＝k、F＝eq\f(GMm,R2)、eq\f(GMm,R2)＝meq\f(v2,R)＝mω2R＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2R命題考點1開普勒三個定律例12006年8月24日晚，國際天文學聯(lián)合會大會投票，通過了新的行星定義，冥王星被排除在行星行列之外，太陽系行星數(shù)量由九顆減為八顆。若將八大行星繞太陽運行的軌跡粗略地認為是圓，各星球半徑和軌道半徑如表所示。從表中所列數(shù)據可以估算出海王星的公轉周期最接近()高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第14頁。A．80年 B．高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第14頁。C．165年 D．200年[答案]C[解析]設海王星繞太陽運行的平均軌道半徑為r1，周期為T1，地球繞太陽公轉的軌道半徑為R2，周期為T2(T2＝1年)，由開普勒第三定律有eq\f(r\o\al(3,1),T\o\al(2,1))＝eq\f(r\o\al(3,2),T\o\al(2,2))，故T1＝eq\r(\f(r\o\al(3,1),r\o\al(3,2)))·T2≈164年，故選C?！窘忸}法】開普勒第三定律的應用步驟(1)首先判斷兩個行星的中心天體是否相同，只有對同一個中心天體開普勒第三定律才成立。(2)明確題中給出的周期關系或半徑關系。(3)根據開普勒第三定律列式求解。命題考點2萬有引力定律高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第15頁。例2質量為M的均勻實心球體半徑為R，球心為O。在球的右側挖去一個半徑為eq\f(R,2)的小球，將該小球置于OO′連線上距O為L的P點，O′為挖去小球后空腔部分的中心，如圖所示，則大球剩余部分對P點小球的引力為多大？高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第15頁。[答案]eq\f(GM2,8L2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(L2,8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(L－\f(R,2)))2)))[解析]設小球的質量為m，則m＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)·eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))3＝eq\f(M,8)。設大球剩余部分對小球的作用力為F，完整大球對小球的作用力為F1，充滿物質后的空腔部分對小球的作用力為F2，則F2＋F＝F1，F(xiàn)＝F1－F2＝Geq\f(M·\f(M,8),L2)－Geq\f(\f(M2,64),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(L－\f(R,2)))2)＝eq\f(GM2,8L2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(L2,8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(L－\f(R,2)))2)))?！窘忸}法】“割補法”求萬有引力的兩點注意高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第16頁。(1)高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第16頁。(2)所割去的部分為規(guī)則球體，剩余部分不再為球體時適合應用割補法。若所割去部分不是規(guī)則球體，則不適合應用割補法。命題考點3萬有引力與重力的關系例3已知某星球的自轉周期為T0，在該星球赤道上以初速度v豎直上拋一物體，經t時間后物體落回星球表面，已知物體在赤道上隨星球自轉的向心加速度為a，要使赤道上的物體“飄”起來，則該星球的轉動周期T要變?yōu)槎啻?？[答案]T＝eq\r(\f(at,at＋2v))T0[解析]物體做豎直上拋運動，則v＝g·eq\f(t,2)，所以g＝eq\f(2v,t)高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第17頁。設該星球的質量為M，半徑為R，物體的質量為m，則赤道上的物體隨該星球自轉時，有：eq\f(GMm,R2)－N＝meq\f(4π2,T\o\al(2,0))R＝ma，其中N＝mg，因而eq\f(GMm,R2)－m·eq\f(2v,t)＝meq\f(4π2,T\o\al(2,0))R＝ma高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第17頁。要使赤道上的物體“飄”起來，應當有N＝0。此時物體成了近地衛(wèi)星，萬有引力充當向心力，eq\f(GMm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R。聯(lián)立可得：T＝eq\r(\f(at,at＋2v))T0?！窘忸}法】衛(wèi)星繞地球運動的向心加速度和物體隨地球自轉的向心加速度比較高中物理高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第18頁。種類項目衛(wèi)星繞地球運動的向心加速度物體隨地球自轉的向心加速度產生萬有引力萬有引力的一個分力(另一分力為重力)方向指向地心垂直指向地軸大小a＝g′＝eq\f(GM,r2)(地面附近a近似為g)a＝ωeq\o\al(2,地球)·r，其中r為地面上某點到地軸的距離變化隨物體到地心距離r的增大而減小從赤道到兩極逐漸減小命題考點4天體質量或密度的估算問題例4(多選)1798年，英國物理學家卡文迪許測出萬有引力常量G，因此卡文迪許被人們稱為能稱出地球質量的人。若已知萬有引力常量G，地球表面處的重力加速度g，地球半徑R，地球上一個晝夜的時間T1(地球自轉周期)，一年的時間T2(地球公轉周期)，地球中心到月球中心的距離L1，地球中心到太陽中心的距離L2。你能計算出()A．地球的質量m地＝eq\f(gR2,G)B．太陽的質量m太＝eq\f(4π2L\o\al(3,2),GT\o\al(2,2))C．月球的質量m月＝eq\f(4π2L\o\al(3,1),GT\o\al(2,1))D．可求月球、地球及太陽的密度高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第19頁。[答案]高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第19頁。[解析]對地球表面的一個物體m0來說，應有m0g＝eq\f(Gm地m0,R2)，所以地球質量m地＝eq\f(gR2,G)，選項A正確。對地球繞太陽運動來說，有eq\f(Gm太m地,L\o\al(2,2))＝m地eq\f(4π2,T\o\al(2,2))L2，則m太＝eq\f(4π2L\o\al(3,2),GT\o\al(2,2))，B項正確。對月球繞地球運動來說，能求地球的質量，不知道月球的相關參量及月球的衛(wèi)星的運動參量，無法求出它的質量和密度，C、D項錯誤?？偨Y：【解題法】中心天體質量和密度的計算方法(1)當衛(wèi)星繞行星或行星繞恒星做勻速圓周運動時，根據題目提供的不同條件，在下面四種情況下都可求解中心天體的質量：①若已知衛(wèi)星在某一高度的加速度g和環(huán)繞的半徑r，根據Geq\f(Mm,r2)＝mg得M＝eq\f(gr2,G)；高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第20頁。②若已知衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的線速度v和半徑r，根據Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得M＝eq\f(rv2,G)；高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第20頁。③若已知衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的周期T和半徑r，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得M＝eq\f(4π2r3,GT2)；④若已知衛(wèi)星運行的線速度v和周期T，根據Geq\f(Mm,r2)＝mveq\f(2π,T)和r＝eq\f(vT,2π)得M＝eq\f(v3T,2πG)。(2)要想求中心天體的密度，還要知道中心天體的半徑R，由M＝ρV和V＝eq\f(4,3)πR3求天體的密度。專項訓練（時間：45min總分100）1．為研究太陽系內行星的運動，需要知道太陽的質量，已知地球半徑為R，地球質量為m，太陽中心與地球中心間距為r，地球表面的重力加速度為g，地球繞太陽公轉的周期為T。則太陽的質量為()A.eq\f(4π2r3,T2R2g) B.eq\f(4π2mr3,T2R2g)C.eq\f(T2R2g,4π2mr3) D.eq\f(4π2R2mg,T2r3)高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第21頁。2．(多選)宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經過時間t小球落回原處；若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經過時間5t小球落回原處。已知該星球的半徑與地球半徑之比R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度為g，設該星球表面重力加速度為g′，地球的質量為M地，該星球的質量為M星高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第21頁。A．g′∶g＝5∶1 B．g′∶g＝1∶5C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶803．假設地球和火星都繞太陽做勻速圓周運動，已知地球到太陽的距離小于火星到太陽的距離，那么()A．地球公轉周期大于火星的公轉周期B．地球公轉的線速度小于火星公轉的線速度C．地球公轉的加速度小于火星公轉的加速度高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第22頁。高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第22頁。4．如圖，拉格朗日點L1位于地球和月球連線上，處在該點的物體在地球和月球引力的共同作用下，可與月球一起以相同的周期繞地球運動。據此，科學家設想在拉格朗日點L1建立空間站，使其與月球同周期繞地球運動。以a1、a2分別表示該空間站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步衛(wèi)星向心加速度的大小。以下判斷正確的是()A．a2>a3>a1 B．a2>a1>a3C．a3>a1>a2 D．a3>a2>a1高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第23頁。5．若在某行星和地球上相對于各自的水平地面附近相同的高度處、以相同的速率平拋一物體，它們在水平方向運動的距離之比為2∶eq\r(7)。已知該行星質量約為地球的7倍，地球的半徑為R。由此可知，該行星的半徑約為()高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第23頁。A.eq\f(1,2)R B.eq\f(7,2)RC．2R D.eq\f(\r(7),2)R6．過去幾千年來，人類對行星的認識與研究僅限于太陽系內，行星“51pegb”的發(fā)現(xiàn)拉開了研究太陽系外行星的序幕?！?1pegb”繞其中心恒星做勻速圓周運動，周期約為4天，軌道半徑約為地球繞太陽運動半徑的eq\f(1,20)。該中心恒星與太陽的質量比約為()A.eq\f(1,10) B．1C．5 D．107．若有一顆“宜居”行星，其質量為地球的p倍，半徑為地球的q倍，則該行星衛(wèi)星的環(huán)繞速度是地球衛(wèi)星環(huán)繞速度的()A.eq\r(pq)倍 B.eq\r(\f(q,p))倍高中物理--萬有引力全文共27頁，當前為第24頁。C.eq\r(\f(p,q))倍 D