函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)2021/5/91aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<01.定義:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間（a，b）內(nèi)有導(dǎo)數(shù),如果在這個區(qū)間內(nèi)f/（x）>0,那么函數(shù)y=f(x)在為這個區(qū)間內(nèi)的增函數(shù);如果在這個區(qū)間內(nèi)f/（x）<0,那么函數(shù)y=f(x)在為這個區(qū)間內(nèi)的減函數(shù).知識回顧:如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有,則為常數(shù).2021/5/922.求函數(shù)單調(diào)性的一般步驟①求函數(shù)的定義域;②求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

f/（x）

;③解不等式

f/（x）>0得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

解不等式f/（x）<0得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.2021/5/93關(guān)注用導(dǎo)數(shù)本質(zhì)及其幾何意義解決問題

3.思考：觀察下圖，當(dāng)t=t0時距水面的高度最大,那么函數(shù)h（t）在此點的導(dǎo)數(shù)是多少呢？此點附近的圖象有什么特點？相應(yīng)地，導(dǎo)數(shù)的符號有什么變化規(guī)律？2021/5/94觀察圖象中，點a和點b處的函數(shù)值與它們附近點的函數(shù)值有什么的大小關(guān)系？2021/5/95新課講解——函數(shù)的極值:觀察右下圖為函數(shù)y=2x3-6x2+7的圖象,從圖象我們可以看出下面的結(jié)論:

函數(shù)在X=0的函數(shù)值比它附近所有各點的函數(shù)值都大，我們說f(0)是函數(shù)的一個極大值；函數(shù)在X=2的函數(shù)值比它附近所有各點的函數(shù)值都小，我們說f(2)是函數(shù)的一個極小值。x2y02021/5/96極值的定義點a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點，函數(shù)值f（a）稱為函數(shù)y=f(x)的極小值，點b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點，函數(shù)值f（b）稱為函數(shù)y=f(x)的極大值。極大值點極小值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值注：極值點指的是自變量的值，極值指的是函數(shù)值。2021/5/97

函數(shù)極值是在某一點附近的小區(qū)間內(nèi)定義的，是局部性質(zhì)。因此一個函數(shù)在其整個定義區(qū)間上可能有多個極大值或極小值，并對同一個函數(shù)來說，在某一點的極大值也可能小于另一點的極小值。2021/5/98觀察函數(shù)y=f(x)的圖像探究

1、圖中有哪些極值點？極值點唯一嗎？

2、極大值一定比極小值大么？C2021/5/99結(jié)論:極值點處導(dǎo)數(shù)值為0C探究函數(shù)y=f(x)在極值點的導(dǎo)數(shù)值為多少?2021/5/910探究極值點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號有何規(guī)律?f

(x)<0yxOx1aby=f(x)極大值點兩側(cè)極小值點兩側(cè)f

(x)<0f

(x)>0f

(x)>0x22021/5/911結(jié)論若x0滿足f/(x)=0,且在x0的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號,則x0是f(x)的極值點,f(x0)是極值,如果f/(x)在x0兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”,則x0是f(x)的極大值點,f(x0)是極大值;如果f/(x)在x0兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”,則x0是f(x)的極小值點,f(x0)是極小值.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.

從曲線的切線角度看,曲線在極值點處切線的斜率為0,并且,曲線在極大值點左側(cè)切線的斜率為正,右側(cè)為負(fù);曲線在極小值點左側(cè)切線的斜率為負(fù),右側(cè)為正.2021/5/912oaX00bxyoaX0bxy

如上左圖所示,若x0是f(x)的極大值點,則x0兩側(cè)附近點的函數(shù)值必須小于f(x0).因此,x0的左側(cè)附近f(x)只能是增函數(shù),即;x0的右側(cè)附近f(x)只能是減函數(shù),即

同理,如上右圖所示,若x0是f(x)極小值點,則在x0的左側(cè)附近f(x)只能是減函數(shù),即;在x0的右側(cè)附近只能是增函數(shù),即.2021/5/913練習(xí)：

下圖是導(dǎo)函數(shù)的圖象,試找出函數(shù)的極值點,并指出哪些是極大值點,哪些是極小值點.abxyx1Ox2x3x4x5x62021/5/9142、函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件分別是什么？探究1、導(dǎo)數(shù)值為0的點一定是函數(shù)的極值點嗎？

可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是它導(dǎo)數(shù)為零的點,

反之函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的點,不一定是該函數(shù)的極值點.例如,函數(shù)y=x3,在點x=0處的導(dǎo)數(shù)為零,但它不是極值點,原因是函數(shù)在點x=0處左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)都大于零.導(dǎo)數(shù)為零的點僅是該點為極值點的必要條件,其充分條件是在這點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號.2021/5/915如何列表，列表中的基本元素有哪些？區(qū)間分配依據(jù)是什么？

各區(qū)間對應(yīng)導(dǎo)數(shù)的符號如何判定例1、求函數(shù)的極值.解:令,解得x1=-2,x2=2.當(dāng)x變化時,,y的變化情況如下表:x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)y’+0-0+y

↗極大值28/3↘極小值-4/3↗因此,當(dāng)x=-2時有極大值,并且,y極大值=28/3;而,當(dāng)x=2時有極小值,并且,y極小值=-4/3.2021/5/916(1)確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)(2)求方程

的根(3)用方程

的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干小開區(qū)間，并列成表格.(4)檢查

在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個根處取得極小值。

f

(x)

f

(x)=0

f

(x)=0

f

(x)求解函數(shù)極值的一般步驟2021/5/917x(-∞,-a)-a(-a,0)(0,a)a(a,+∞)f’(x)+0--0+f(x)

↗極大值-2a↘↘極小值2a↗故當(dāng)x=-a時,f(x)有極大值f(-a)=-2a;當(dāng)x=a時,f(x)有極小值f(a)=2a.例2、求函數(shù)的極值.解:函數(shù)的定義域為令,解得x1=-a,x2=a(a>0).當(dāng)x變化時,,f(x)的變化情況如下表:2021/5/918練習(xí):求函數(shù)的極值.解:令=0,解得x1=-1,x2=1.當(dāng)x變化時,,y的變化情況如下表:x(-∞,-1)-1(-1,1)1(2,+∞)y’-0+0-y

↘極大值-3↗極小值3↘因此,當(dāng)x=-1時有極大值,并且,y極大值=3;而,當(dāng)x=1時有極小值,并且,y極小值=-3.2021/5/9192021/5/920練習(xí):已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值為

10,求a、b的值.解:=3x2+2ax+b=0有一個根x=1,故3+2a+b=0.①又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.②由①、②解得或當(dāng)a=-3,b=3時,,此時f(x)在x=1處無極值,不合題意.當(dāng)a=4,b=-11時,-3/11<x<1時,;x>1時,,此時x=1是極值點.從而所求的解為a=4,b=-11.2021/5/921練習(xí):已知f(x)=ax5-bx3+c在x=1處有極值,且極大值為4,極小值為0.試確定a,b,c的值.解:由題意,應(yīng)有根,故5a=3b,于是:(1)設(shè)a>0,列表如下:x-1(-1,1)1+0—0+f(x)↗極大值↘極小值↗由表可得,即.又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.2021/5/922(2)設(shè)a<0,列表如下:x-1(-1,1)1-0

≥00-f(x)↘極小值↗極大值↘由表可得,即.又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.2021/5/923例4、已知:(1)證明:f(x)恰有一個極大值點和一個極小值點;(2)當(dāng)f(x)的極大值為1、極小值為-1時,求a、b的值.解:(1)令,得-ax2-2bx+a=0,Δ=4b2+4a2>0,故有不相等的兩實根α、β,設(shè)α<β.又設(shè)g(x)=-ax2-2bx+a,由于-a<0,g(x)的圖象開口向下,g(x)的值在α的右正左負(fù),在β的左正右負(fù).注意到與g(x)的符號相同,可知α為極小值點,β為極大值點.2021/5/924(2)由f(α)=-1和f(β)=1可得:兩式相加,并注意到α+β=-2b/a,于是有:從而方程可化為x2=1,它的兩根為+1和-1,即α=-1,β=1.由故所求的值為a=2,b=0.2021/5/925例5、已知函數(shù)f(x)滿足條件:①當(dāng)x>2時,;②當(dāng)x<2時,;③.求證:函數(shù)y=f(x2)在處有極小值.證:設(shè)g(x)=f(x2),則故當(dāng)時,x2>2,由條件①可知,即:當(dāng)時,x2<2,由條件②可知,即:又當(dāng)時,所以當(dāng)時,函數(shù)y=f(x2)取得極小值.為什么要加上這一步?2021/5/926例6、直線y＝a與函數(shù)f(x)＝x3－3x的圖象有相異的三個公共點，則a的取值范圍是________．