關(guān)于原始尺寸原理的適用性北京科技大學(xué)優(yōu)質(zhì)課程建設(shè)與教學(xué)改革研究項(xiàng)目資助.北京科技大學(xué)優(yōu)質(zhì)課程建設(shè)與教學(xué)改革研究項(xiàng)目資助.摘要本文以平面三角桁架的為例，通過(guò)放棄應(yīng)用原始尺寸原理，即在變形后的位形上建立平衡方程，并結(jié)合變形協(xié)調(diào)關(guān)系考慮幾何非線性，得到了桁架各桿軸力的解，進(jìn)而給出各桿應(yīng)力和中間鉸位移以及各桿轉(zhuǎn)角的解。最后給出了鋼質(zhì)、木質(zhì)和橡膠桿桁架的三個(gè)算例，還得到了應(yīng)力的相對(duì)誤差估計(jì)式。分析結(jié)果表明應(yīng)用原始尺寸原理所帶來(lái)的桿內(nèi)應(yīng)力的相對(duì)誤差與桿內(nèi)名義應(yīng)變相同，對(duì)于金屬桁架在滿足強(qiáng)度條件的范圍內(nèi)，應(yīng)用原始尺寸原理所帶來(lái)的誤差是可以忽略的，而對(duì)于橡膠桁架來(lái)說(shuō)其誤差是需要考慮的。關(guān)鍵詞原始尺寸原理，幾何非線性，平衡位形，平面桁架，誤差分析在材料力學(xué)中當(dāng)考慮彈性構(gòu)件的內(nèi)力與外力平衡關(guān)系時(shí)，仍用變形前彈性構(gòu)件的形狀和尺寸，而彈性構(gòu)件的變形忽略不計(jì)，這種方法稱為“原始尺寸原理”[1]。這相當(dāng)于將所研究的彈性體平衡當(dāng)作理想的剛體平衡來(lái)處理，即在變形前的位形上建立力的平衡關(guān)系，其合理性是以小變形假設(shè)為基礎(chǔ)的。應(yīng)用原始尺寸原理可以將平衡方程的數(shù)學(xué)形式簡(jiǎn)化，它在變形體力學(xué)的其他線性理論中，如彈性力學(xué)等亦得到普遍應(yīng)用。嚴(yán)格地說(shuō)，彈性體在變形前是不受任何外力作用的，外力與內(nèi)力之間的平衡也就無(wú)從談起。彈性體正是由于外力的作用才會(huì)產(chǎn)生變形的，因此力的平衡關(guān)系應(yīng)該建立在變形后的位形上。事實(shí)上，原始尺寸原理忽略了彈性體的變形因素對(duì)力的平衡的影響，在考慮力的平衡時(shí)將彈性體平衡簡(jiǎn)化成了理想的剛體平衡。而由此產(chǎn)生的誤差到底有多大？變形大到什么程度時(shí)原始尺寸原理就不再適用了？這些問(wèn)題都是教學(xué)中學(xué)生時(shí)常提出的問(wèn)題，是值得進(jìn)行分析研究的。本文以材料力學(xué)中平面三角桁架為例，來(lái)對(duì)原始尺寸原理的適用性進(jìn)行討論。問(wèn)題的基本關(guān)系式考慮由兩個(gè)彈性直桿組成的平面三角桁架[2]（如圖1所示）。在中間鉸B處垂直作用有一集中力,A和C為固定鉸支座。假定兩個(gè)桿的材料都是線性彈性的，并且不計(jì)泊松比效應(yīng)，即忽略由于桿軸向拉壓變形而引起的橫截面積的變化。設(shè)水平桿AB和斜桿BC的楊氏彈性模量分別為和，橫截面積分別為和，變形前的長(zhǎng)度分別為和，兩個(gè)桿之間的夾角為（）。記桿AB和桿BC的變形后長(zhǎng)度分別為和，軸力分別為和，其取正（負(fù)）值為拉（壓）力，轉(zhuǎn)動(dòng)角位移分別為和，中間鉸B點(diǎn)的水平和垂直位移分別為和。圖1變形前和變形后的平面三角桁架圖2變形后位形上中間鉸處的受力在中間鉸B的受力分析中，將力的平衡關(guān)系建立在變形后位形上（見圖2），這樣放棄使用原始尺寸原理所得到兩桿的軸力平衡關(guān)系為由此給出，（1）其中為變形后兩個(gè)桿的夾角，取負(fù)值表示與圖2所示方向相反為壓力。而材料力學(xué)的相應(yīng)解答為[2]，，（2）軸力表達(dá)式（1）與材料力學(xué)的相應(yīng)解答（2）不同的是（1）中含有和兩個(gè)待定未知量。若要確定出軸力和，則需要進(jìn)一步考慮變形協(xié)調(diào)關(guān)系。由圖1可知此桁架結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)關(guān)系為從而得出，（3）根據(jù)胡克定律，桿AB和桿AC的應(yīng)力分別為和，其中應(yīng)變和。再由軸力定義和，可以得到如下表達(dá)式，（4）待此式與材尿料力學(xué)的釘相應(yīng)表達(dá)獎(jiǎng)式是完全駁一致的。羽軸力和位衫移的求解宗首先，比漠較鼓（先3呼）和撈（古4埋）有如下駛關(guān)系式：，暫代入表達(dá)褲式烘（擁1短）后，可榴以解出軸筋力評(píng)，林溜徒脹殼扣嗽掩（禍5嶄）殊礦此式給出百的軸力是端非線性地蜜依賴于外壟部載荷的背；而在材掏料力學(xué)的萄相應(yīng)解答蒙（掀2籠）中，軸雄力則是線鞏性地依賴違于外部載戒荷的。排其次，由軟（紛5應(yīng)）式可給章出惜桿逗A家B彩和輕桿本B盼C盜的無(wú)量綱膝化應(yīng)力分階別為：耳，菜巡萌結(jié)奧（柳6騾）揚(yáng)其中無(wú)量穴綱化載荷豈和桿的抗廚拉剛度比疾分別由下瓜式給出片，洽退哈痛皂駕催錄藝葛雁淡（筑7販）催與養(yǎng)（才6賣）式相對(duì)屋應(yīng)的線性炎理論結(jié)果磨為糠，精志洽俯表閑濕部愉劍達(dá)挺（佩8老）燙另外，麥桿館A姻B友和戶桿作B抱C洞的伸長(zhǎng)量怎分別為鋒,醫(yī)求皮（叼9乒）贏最后，為寧了求出角紋位移之和楚以獄及糕B斃水平和垂園直位移檔和庭，比較資（歐1佳）和萌（界5晌）閃可以得到束旅匪鵲皆清刃也(摘10)嚇倒圍漁腐跡勝今黨煉密軟螞(11)桑其中常數(shù)鏈和騰記為執(zhí)，俱百咐裂投者地辯屬競(jìng)奮投（損1駐2程）甲將奔（寸1端1躁）式代入笛（羨1眾0價(jià)）式，并司約去因子臉有炎攪待溉腰刷攀承浸打找揚(yáng)趨（季1墓3素）絮再分別將高（貓1岡1腹）式和執(zhí)（耳1蛛3伏）式兩邊袋平方，然然后相加可狀以得到那胃證熱令娃謀吉庫(kù)駱于攻（疾1珍4甩）扇此式代入抱（拋1阿3機(jī)）式有扮恐店（毫）蟻章垮這汗弟訊（偶1紋5計(jì)）船于是，由燭（消1把4迎）式和愈（弄1味5繁）式解得繪角位移炸第椅紫劈法筋哥攀敲抵（概1貞6館）露聾循飲念慨（辛1答7饅）炒由挎圖欠1取知句，摟B馳點(diǎn)的水平模和垂直位卡移分別為，互將粱（偵4妥）式代入肺上式，并翻利用滅（系5然）、免（葬7陜）、錢（糟1榨2腹）和獸（膽1踩6拍）式，可當(dāng)以得到如質(zhì)下無(wú)量綱壤化位移的容解答：吉脅爛昆罰怎墳彩（淚1確8貞）辣夾煙飽唱慎貪剖蘋勢(shì)種（逼1則9停）棋其中屋和洞由工（態(tài)1瓜2沒）式給出而。而由材斗料力學(xué)的認(rèn)線性理論我所得的相懲應(yīng)解答為播[2]為，冤惡卸陪費(fèi)漲見北餓（細(xì)2育0帝）蠢3糟．算例與途討論賴先考慮第射一個(gè)算例鏡[1]籍，鋼質(zhì)平桶面三角桁患架。已上知摩旱，漸B磨C誕桿長(zhǎng)很，鏟，轎，材料為播，權(quán)，許用應(yīng)械力做。應(yīng)用本律文放棄原私始尺寸原惕理得到解槳的表達(dá)式撒，其計(jì)算單結(jié)果與文斗獻(xiàn)旨[1叫]昏的相應(yīng)結(jié)憂果列于貝表共1隸，兩者非旅常接近，昏其相對(duì)誤串差只有萬(wàn)框分之幾?？圃賮?lái)考慮零第二個(gè)算循例，松木惹材料的木頑質(zhì)圓桿組災(zāi)成的平面士三角桁架竿。已知適，勾B拿C沫桿長(zhǎng)要，涌A道B移桿的直徑剪為肚（我）鑒，綁B秒C素桿的直徑潔為森（測(cè)），活，淡，材料的映抗拉許用截應(yīng)力勇，材料的喪抗壓許用露應(yīng)力油。此時(shí)，逼本文放棄姜原始尺寸織原理算得呀的結(jié)果與前線性理論萬(wàn)的相應(yīng)結(jié)劍果列于很表韻2倍中，可以睜看到除水碌平位移的蠟相對(duì)誤差腔約為百分棋之二之外暈，其余各茅量的相對(duì)媽誤差不足猜為百分之串一。第三燥個(gè)算例考辛慮的是由京橡膠圓桿針組成的平元面三角桁叢架君。勝于已知朋，陵B蘋C刪桿長(zhǎng)乳，嘩A積B表?xiàng)U卡和嘗B戴C扛桿的直徑既均為攪(黎)棉，銷，愛，許用應(yīng)港力告。計(jì)算結(jié)星果表明材即料力學(xué)的蘇線性理論剝解與本文角放棄原始輩尺寸原理含算得的解夾之間有較情大的差別拆。押表本1垂量鋼質(zhì)三角速桁架的軸坦力、應(yīng)力途和位移號(hào)(綢kN)恭(逆kN)券(滾MPa)辨(哪MPa)錯(cuò)(mm輔)滅(摔mm)煤本文解寬45.0羞3事-74.曬97繼143.香41罪-73.義50喊0.85譯95絞1.56懂42盛線性理論敘解霸[1]隔45.0些0縣-75.事00默143.居33留-73.僵53械0.85律99慌1.56萄40向相對(duì)誤差演0.07茄%陽(yáng)0.04葡%景0.07秤%渴0.04羊%枯0.05法%叛0.01耀%綱表憲2垂既木質(zhì)三角代桁架的軸嚷力、應(yīng)力蕩和位移遼(閃kN)燦(耐kN)已(壘MPa)糧(濱MPa)翁(mm椒)恨(鼓mm)談本文解嗽13.9酒75不-15.掩95益79.0用7竄-32.蜓51神13.3緞1刃36.8典0槽線性理論援解拆13.8戲6撒-16.礙00奔78.4兔5拐-32.袋61保13.5榆9撒36.5轉(zhuǎn)8繡相對(duì)誤差譜0.78裂%眼0.33金%還0.78叼%稻0.33前%鬼2.11跨%紛0.59鍋%預(yù)表涂3衰販橡膠三角名桁架的軸汁力、應(yīng)力猶和位移導(dǎo)(智kN)財(cái)(教kN)討(珠MPa)惠(返MPa)雪(mm擊)歌(捐mm)排本文解盡0.57厚7蘋-1.0橡76羊0.30丑5嗎-0.5球48潮23.3滿175.凡3窩線性理論鴉解蔥0.59刪9燥-1.1曠55懲0.29拌4漿-0.5孔88晉36.8止191.嗎1撲相對(duì)誤差譯3.7%狗7.4%電3.7%伐7.4%租58%付9.0%跪由繩（漠6權(quán)）和州（臟8簽）可知丸和懂。于是本炎文放棄原易始尺寸原厚理算得的旦應(yīng)力與線刷性理論的氏相應(yīng)結(jié)果完之間的相吊對(duì)誤才差邪浸戚迫參其盆伸(21飯)揀再考慮到很兩根桿必城須要滿足現(xiàn)強(qiáng)度條件鐘，興（潛，事），最后皺，得到應(yīng)施力的相對(duì)賄誤差估計(jì)麻式如下：隆，恩飲餐四球浸味荷培效（糟2步2益）切其中鵲和嫌分別為材名料的抗拉貢和抗壓許嫁用應(yīng)力。那對(duì)于大多仙數(shù)金屬材寬料來(lái)說(shuō)，爽其抗拉和鼓抗壓許用秤應(yīng)力一樣白，而且與徒彈性模量圍相比要為小督3敗個(gè)數(shù)量級(jí)轟左右姓[4]撓，由唱由塑（象2幻2死）可以估至算出相對(duì)軟誤差星和帽也僅僅只熟有千分之花幾左右。泛另算外榮,介注意到各粗桿的無(wú)量逗綱化應(yīng)力把就是各桿襲的應(yīng)裂變雞,腿雷由車(21琴)同可知在滿廁足強(qiáng)度條總件的范圍伐內(nèi)鑼,燦抓各桿應(yīng)力洋的相對(duì)誤墨差與線性紡理論算得飄的應(yīng)變絕慕對(duì)值相同鑄，而絕大厭多數(shù)金屬廉桿在工作罩應(yīng)力達(dá)到遵許用應(yīng)力夏時(shí)的應(yīng)變銜（線性理剖論算得的搬名義應(yīng)變揪）一般也配僅有千分桂之幾。因車此，對(duì)于噸大多數(shù)金逢屬桿桁架粉來(lái)說(shuō)，在籃滿足強(qiáng)度幣條件的載開荷范圍內(nèi)緞，其應(yīng)變旁會(huì)很小，碰故應(yīng)用原肝始尺寸原中理所帶來(lái)勞的誤差也括就很小的京；而像橡基膠材料桿霧組成的桁劣架，即使救在強(qiáng)度條僅件滿足的頌范圍揪內(nèi)灣,攤各桿的應(yīng)歐變亦有可越能較大，叔此時(shí)應(yīng)用摔原始尺寸做原理陷所帶來(lái)的貍誤差是應(yīng)房該給予考往慮的。參考文獻(xiàn)輸[1]扭跟劉鴻龜文斬.把閉材料力薪學(xué)改.輛北京：高個(gè)等教育出買版社（第齊三版）授，歸1992坦:43臂~4吵5照[2]污沙鐵木辛區(qū)柯型,諷丹蓋魂?duì)柨?姥疏材料力學(xué)克（中譯本趣）何.筋頭北京：科遼學(xué)出版社透，異1978忌:14進(jìn)~1燥5擺[3]敬私龔曉愿南霧,蹄麥王壽佩梅文.貓煙結(jié)構(gòu)分析榴中的非線阻性元素覆法車.蠅剪北京：北奏京航空學(xué)哀院出版錦社駁,19昏86:秘40~仇42無(wú)[4]亭彼《力學(xué)詞索典》編輯蘆部附編銷.據(jù)后力學(xué)詞孕典推.漆緞北京：中渣國(guó)大百科喬全書出版各社茂,199澡0:5梁97石《力學(xué)與聽實(shí)踐》編鼓輯：您好如！決現(xiàn)將已完代成的教育校研究論伶文汗“滔關(guān)于原始駱尺寸原理洽的適用灣性棚”暴及評(píng)審抹費(fèi)紙6循0雙元寄給貴邁刊，預(yù)謝抽您的幫助媽。致禮術(shù)北京科技噸大學(xué)數(shù)學(xué)仍力學(xué)咳系喝俯斗尚新春保200三6蓮年李6炊月缸2朋6膨日腸On攝appl舍icab件ilit制y航of區(qū)init揪ial已size塌app權(quán)roac縫h刃Shan膏gXi饅n-ch絲un券Lu擇Jin-清fu撥Depa贈(zèng)rtme安nto半fMa資them釘atic姓san年dMe擔(dān)chan載ics,沾Uni戶vers蹦ity示ofS洽cien利cea陡ndT孩echn就olog賺yBe褲ijin翼g,B痰eiji狀ng1做0008猶3,C脆hina蛙藏作者簡(jiǎn)介燭：繼尚新春盜，