第九章

相關與回歸分析《統(tǒng)計學》課件

教學目的與要求

教學重點與難點通過本項目學習，了解相關與回歸分析的概念；掌握相關系數(shù)的計算方法；并能夠建立適當?shù)幕貧w模型和進行回歸預測。重點：計算相關系數(shù)；回歸方程的建立；難點：估計標準誤差的計算；相關與回歸分

析應注意問題。本章的主要內容

相關與回歸分析應注意的問題

回歸分析

相關分析第一節(jié)

相關關系

現(xiàn)象間的依存關系通常有兩類：函數(shù)關系和相關關系。（一）函數(shù)關系函數(shù)關系指現(xiàn)象間存在的嚴格數(shù)量依存關系。即某現(xiàn)象變化必然引起另一現(xiàn)象的唯一確定的相應變化，這種關系可用數(shù)學表達式反映。如：圓的面積=

利息額=存款額×利率等等。一、相關分析的意義自變量和因變量（二）相關關系相關關系指現(xiàn)象間確實存在的非嚴格的數(shù)量依存關系。其特征是：一種現(xiàn)象發(fā)生變化，會引起另一種現(xiàn)象的變化，但這種變動關系并非唯一確定。統(tǒng)計學成績教學學時數(shù)學成績出勤率師生比學習時間學風校園環(huán)境等等…※

相關關系的種類相關關系因素多少相關形式相關方向相關程度單相關復相關正相關負相關線性相關曲線相關完全相關不完全相關零相關（三）相關分析法及其作用相關分析是通過對大量數(shù)字資料的觀察，消除偶然因素的影響，探求現(xiàn)象之間相關關系的密切程度和表現(xiàn)形式的一種統(tǒng)計方法。相關分析的對象是相關關系。在研究相關關系時，為了找到現(xiàn)象間數(shù)量關系的內在聯(lián)系和表現(xiàn)形式，常常要借助于函數(shù)關系的形式加以描述。相關分析的作用：通過相關分析，可以確定現(xiàn)象相關關系的形式、方向和程度；為回歸分析奠定基礎；為回歸預測提供參考數(shù)據(jù)?！嚓P分析方法之相關表相關表是根據(jù)相關變量的原始數(shù)據(jù)，按自變量和因變量的對應關系平行排列在一張表格上而形成的統(tǒng)計表。它是相關分析的一種最簡單的方法，可以粗略地反映變量之間相關關系的形式和密切程度。在相關表中，自變量數(shù)值按從小到大順序排列。若因變量的數(shù)值也是由小到大發(fā)生大致均等的變化，則屬直線正相關；反之，屬直線負相關。若因變量的數(shù)值開始時隨著自變量的增大而增加，當自變量增加到一定程度時，因變量數(shù)值則隨自變量的增加而減少，則為二次曲線相關；若因變量的數(shù)值開始時隨著自變量的增大而逐漸增加，當自變量增加到一定程度時，因變量隨自變量增加的幅度增大，則這種相關關系為指數(shù)曲線相關。相關表法實例企業(yè)編號月產量（千噸）生產費用（萬元）123456781.22.03.13.85.16.17.28.0628680110115132135160合計36.4880

可以看出，生產費用（因變量）隨著月產量（自變量）的增加而逐漸增加，可判斷二者是直線正相關關系。

企業(yè)月產量與生產費用相關表※相關分析方法之相關圖相關圖的繪制方法：先繪制直角坐標系，橫軸代表自變量X，縱軸代表因變量Y，將X和Y的對應值在直角坐標系中畫出坐標點，所有坐標點組成的圖形，就稱相關圖。相關圖優(yōu)點：可直觀判斷相關關系的類型相關圖類型

相關圖類型（續(xù)）相關圖實例根據(jù)企業(yè)月產量和生產費用資料繪制相關圖可以看出，相關點分布近似為一條上升直線，且關系比較密切，說明月產量與生產費用之間存在直線正相關關系?！嚓P分析方法之相關系數(shù)相關系數(shù)是表明現(xiàn)象之間相關關系的密切程度的指標。它是相關分析的重要指標。由于不同現(xiàn)象所涉及的相關因素多少不同以及相關分析目的的差異，相關系數(shù)又可以分為直線相關系數(shù)、曲線相關系數(shù)、復相關系數(shù)和偏相關系數(shù)四種。

直線相關系數(shù)

直線相關系數(shù)是測定現(xiàn)象之間直線相關的方向和密切程度的統(tǒng)計指標。計算公式：★

直線相關關系的判斷r取值在-1到+1之間，或者|r|≦1。相關系數(shù)r的符號只表示相關的方向。|r|表示相關的程度。|r|≦0.3基本無關0.3<|r|≦0.5低度相關0.5<|r|≦0.8顯著相關0.8<|r|<1高度相關特殊：r=o無直線相關|r|=1完全相關★

直線相關系數(shù)的計算實例相關系數(shù)計算表企業(yè)編號月產量（千噸）x生產費用（萬元）y123456781.22.03.13.85.16.17.28.06286801101151321351601.444.009.1614.4425.0037.2151.8464.00384473966400122001322517424182252560074.4172.0248.0418.0575.0805.2972.01280.066.877.1391.30100.00115.80129.99144.17154.4923.0478.68127.6993.500.644.0490.0930.36合計36.4880207.541042144544.6880.00448.05★

曲線相關系數(shù)曲線相關系數(shù)又稱為相關指數(shù)，是測定兩變量之間曲線相關密切程度的統(tǒng)計指標。復相關系數(shù)復相關系數(shù)是反映一個因變量與一組自變量之間相關程度的統(tǒng)計指標。它是直接利用原資料的幾個簡單相關系數(shù)計算的。在有兩個自變量時，復相關系數(shù)計算公式：復相關系數(shù)的取值介于0和1之間，即0<r<1。第二節(jié)

回歸分析一、回歸分析的概念和特點（一）回歸分析的概念回歸分析就是將現(xiàn)象的相關關系轉變?yōu)楹瘮?shù)關系，并建立反映變量之間數(shù)量變動關系的數(shù)學表達式，以便進行估計或預測的統(tǒng)計分析方法。（二）回歸分析的特點1、回歸分析的兩個變量是非對等關系?；貧w分析需確定自變量和因變量。因變量是隨機變量，是根據(jù)給定的自變量值推算出來的。而相關分析中的變量都是隨機變量，只能計算變

量間密切關系的指標。2、一般來說，回歸中兩個變量一定呈相關關系，而相關的兩個變量就不一定呈回歸關系。3、回歸分析中，若因果關系不明確或互為自變量，可分別建立y對于x的方程或x對于y的方程。二、回歸分析的內容（一）確定現(xiàn)象之間相關關系的數(shù)學模型測定變量間數(shù)量變化關系，建立描述現(xiàn)象間相關關系的數(shù)學模型即回歸方程，用函數(shù)關系式近似地表現(xiàn)相關關系，作為推算、預測的根據(jù)。（二）測定數(shù)學模型的擬合精度擬合精度直接影響統(tǒng)計分析結論的準確性，建立模型后需要對其精確度進行檢驗。一般通過計算估計標準誤差來測定模型的擬合精度。三、回歸分析與相關分析的關系區(qū)別：相關分析研究變量間相關關系及其密切程度?；貧w分析是建立反映變量關系的數(shù)學表達式，來研究變量間數(shù)量變動關系的統(tǒng)計分析方法。聯(lián)系：相關和回歸分析是研究現(xiàn)象間依存關系不可分割的兩個方面。一般先測定相關現(xiàn)象間相關程度，進而決定是否進行回歸分析并擬合回歸方程并進行推算和預測等。相關分析是回歸分析的基礎和前提，回歸分析是相關分析的繼續(xù)和深入。只有當變量間存在

高度相關時，進行回歸分析才有意義。四、回歸分析的種類回歸分析變量多少時間狀況表現(xiàn)形式簡單回歸復回歸直線回歸曲線回歸靜態(tài)回歸動態(tài)回歸（一）一元回歸分析1.直線回歸分析根據(jù)自變量和因變量的數(shù)值資料，配合一條回歸直線來表示變量間的一般數(shù)量變化關系。直線回歸方程的一般形式是：根據(jù)最小平方法的要求，可得出直線回歸方程中的參數(shù)a、b的求解方程組：（一）一元回歸分析（續(xù)1）

※

直線回歸方程中的回歸系數(shù)b有正有負，正回歸表示上升直線，說明兩變量之間是同方向的變動。

※

回歸系數(shù)b和相關系數(shù)r不但含義不同，取值也不同，但符號必須是一致的。相關系數(shù)與回歸系數(shù)之間的關系：（一）一元回歸分析（續(xù)2）2.二次曲線回歸分析將自變量的觀察值按由小到大依次排列，然后計算自變量的一次差和因變量的二次差，若自變量的一次差和因變量的二次差分別接近一個常數(shù)，則現(xiàn)象之間的關系屬二次曲線形式：根據(jù)最小平方法的要求，可得出二次曲線方程中參數(shù)a、b、c的求解方程組：（二）復回歸分析研究一個因變量與多個自變量之間相關關系的理論和方法，稱為多元回歸分析或復回歸分析。多元回歸可分為多元線性回歸與多元非線性回歸。多元線性回歸方程表達一個因變量與多個自變量之間線性關系的一種數(shù)學模型。其方程為：需要注意：此處求參數(shù)的方法仍然用最小平方法五、估計標準誤差由于所研究的現(xiàn)象間的相關程度并非完全相關，用回歸方程進行預測是有誤差的，回歸方程求出后有必要對其擬合精度進行檢測。估計標準誤差就是進行這種檢測的統(tǒng)計分析指標，說明直線回歸方程代表性大小。估計標準誤差與相關系數(shù)間的關系第三節(jié)

相關和回歸分析應注意的問題

一、定性分析和定量分析相結合

要判斷現(xiàn)象間是否存在相關關系，是什么樣的相關關系，主要靠定性認識。即運用有關專業(yè)理論知識，豐富的實踐經驗和分析判斷問題的能力，獲得準確的定性認識之后，才能運用相關與回歸分析方法進行定量分析。如果把沒有關系的現(xiàn)象當作是相關現(xiàn)象，運用相關回歸分析來測定它們之間的數(shù)量變化關系，就會發(fā)生“虛假相關”現(xiàn)象，從而導致認識上的錯誤。（相關-研究；不相關-不研究；未知-研究）二、回歸分析以相關分析為基礎相關分析與回歸分析互相聯(lián)系。

★回歸是對現(xiàn)象間聯(lián)系的定量分析方法，相關分析反映的是現(xiàn)象間相互聯(lián)系的方向和密切程度。回歸分析研究的是有相關關系的現(xiàn)象間的數(shù)量變動關系。

★相關分析是回歸分析的前提和條件?，F(xiàn)象之間有無顯著的相關關系是進行回歸分析的先決條件。只有通過計算相關系數(shù)或相關指數(shù)證明現(xiàn)象間確實存在顯著的相關關系時，對有關資料進行回歸分析才是有效的。三、對回歸效果進行檢驗相關系數(shù)、回歸系數(shù)、回歸方程、估計標準誤差都是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)求得的，但所得出的是一般性結論。顯然，這里存在一個樣本的代表性問題。因此，使用相關系數(shù)、回歸模型進行統(tǒng)計分析時，還要對其有效性