學士學位論文BACHELOR’STHESISPAGE24PAGE25編號學士學位論文矩陣的秩的若干等價刻畫學生姓名學號系部專業(yè)年級指導教師完成日期年月日摘要本文從行列式、線性空間、線性方程組、線性變化、相抵標準型、向量、矩陣的等價及分解等各個角度來刻畫矩陣的秩,進而用這些命題來證明與矩陣的秩有關的一些命題.關鍵詞:矩陣;秩;等價刻畫SeveralEquivalentCharacterizationsofMatrixRankAbstractFromtheDeterminant,LinearSpace,LinearEquations,LinearTransformation,OffsetStandard,Vectors,Matrices,equivalenceanddecompositionofvariousanglestocharacterizetheRankofMatrix,andthustoprovethesepropositionsandRankoftheMatrixrelatingtoanumberofpropositions.KeyWords：Matrix;Rank;EquivalentCharacterization;

目錄摘要 1Abstract 1引言 21.預備知識 31.1矩陣的基本概念 31.2矩陣秩的求法 51.3矩陣的相關定理 62.矩陣的秩的等價描述 73.關于秩的命題(Ⅰ) 104.關于秩的命題(Ⅱ) 125.應用 20參考文獻 24致謝····························································25引言矩陣的秩是線性代數(shù)的一個根本內(nèi)容,它形容了矩陣的一個計算特征,也是矩陣的重要性質之一.在區(qū)分向量組的線性相關性,求矩陣的特征值,線性方程組有無解,在多項式,維數(shù)空間以及空間幾何中等各個層次都有普遍的作用.之前高朝邦和祝宗山在論文[1]高朝邦,祝宗山,關于矩陣的等價描述[J];成都大學學報(自然科學版)第25卷,第1期,2006年3月.中寫了矩陣的秩的等價描述的命題,[1]高朝邦,祝宗山,關于矩陣的等價描述[J];成都大學學報(自然科學版)第25卷,第1期,2006年3月.1.預備知識1.1矩陣的基本概念定義1.1.1[2]同濟大學數(shù)學系編,《工程數(shù)學線性代數(shù)(第6版)》[M];高等教育出版社2014年6月.數(shù)域中個數(shù)排列成的行列數(shù)表[2]同濟大學數(shù)學系編,《工程數(shù)學線性代數(shù)(第6版)》[M];高等教育出版社2014年6月.稱為矩陣,還可以記成或等.設是的一個矩陣,是一個的矩陣,將和的乘積稱為,其中負矩陣令,則的負矩陣為.矩陣減法.定義1.1.2[3]徐松山,淺議線性代數(shù)中的行列式教學[J];山西廣播電視大學學報2000,第5卷第1期.設,數(shù)與矩陣的乘積被記為[3]徐松山,淺議線性代數(shù)中的行列式教學[J];山西廣播電視大學學報2000,第5卷第1期.注:矩陣的加法運算、數(shù)乘矩陣運算都稱為矩陣的線性運算,它們與行列式的運算定義區(qū)別很大.

矩陣的線性運算滿足下列八條運算律(設皆是同型矩陣,,為數(shù)).(1)矩陣加法的交換律:(2)矩陣加法的結合律:(3右加零矩陣律:(4)右加負矩陣律:(5)1乘矩陣律:(6)數(shù)乘矩陣的結合律:(7)矩陣對數(shù)加法的分配律:(8)數(shù)對矩陣加法的分配律:定義1.1.3[4]吳贛呂,線性代數(shù)[M];北京;中國人民大學出版社,2011.階子式:設在中任意取行列交錯處的元素,然后按原來相應位置組成的階行列式,被稱為[4]吳贛呂,線性代數(shù)[M];北京;中國人民大學出版社,2011.例1.1共有個二階子式,并含有4個三階子式,矩陣的第一、三行,第二、四列交錯處的元素所形成的二階子式為,而為的一個三階子式.因而,矩陣總共有個階子式.定義1.1.4[5]宋曉輝,數(shù)學邏輯在線性代數(shù)中的應用[J];科技世界2005年02期.令有階子式不為,任意階子式(若存在的話)全為,則被稱為矩陣的秩,可記成或或秩.[5]宋曉輝,數(shù)學邏輯在線性代數(shù)中的應用[J];科技世界2005年02期.規(guī)定:零矩陣的秩為.注意:(1)例如,,則中至少有一個階子式,全部階子式等于,且更高階子式均為,那么是中不等于零的子式的最高階數(shù).(2).(3).(4)若且,則.反之,如,則因此,是方陣可逆的充要條件.(5)矩陣行向量的秩被稱為矩陣的行秩;矩陣列向量的秩被稱為矩陣的列秩.(6)向量組的線性極大無關組中所具有向量的個數(shù)被稱為這個向量組的秩.1.2矩陣秩的求法1.2.1子式判別法(定義)例1.2設階梯形的矩陣,求.解由于,存在一個二階子式不等于,然而任何三階子式都等于,則.結論:階梯形矩陣的秩就是非零行的行數(shù).例如,,,,.一般地,行階梯形矩陣的秩就是其“非零行的行數(shù)”也被稱為“臺階數(shù)”.例1.3設,如果,求解.或.1.2定理1[6]閆國松,矩陣的秩的兩種常用求法之比較[J];科技信息(學術研究)2008年14期.矩陣初等變換不變更矩陣的秩[6]閆國松,矩陣的秩的兩種常用求法之比較[J];科技信息(學術研究)2008年14期.注1)只變更此行列式的符號.2)是中對應行（或列）的倍.3)是將行列式的某一行（列）的全部元素的倍加到另一行（列）的相對應元素上.1.2.3求矩陣1)矩陣可利用初等行變換化為階梯形矩陣.2)階梯形矩陣非零行的行數(shù)被稱為矩陣的秩.例1.4求.1.3矩陣的相關定理(1)Binet-Cauchy定理[7]李維倫,Binet-Cauchy公式及其應用[J];工科數(shù)學,第18卷第3期,2002年6月.設和分別為和矩陣,如果,則有[7]李維倫,Binet-Cauchy公式及其應用[J];工科數(shù)學,第18卷第3期,2002年6月.,其中表示的第行和第列所決定的子式.(2)Laplace定理[8]Cauchy-Binet定理與Laplace定理的等價證明[J];工科數(shù)學,第15卷第4期,1999年8月.若為階方陣,對任意選定的[8]Cauchy-Binet定理與Laplace定理的等價證明[J];工科數(shù)學,第15卷第4期,1999年8月.其中表示的余子式.(3)維數(shù)定理[9]黃庭松,簡國明,維數(shù)公式的另一個證明[9]黃庭松,簡國明,維數(shù)公式的另一個證明[J];贛南師范學院學報,1982年12月31日.2.矩陣的秩的等價描述設,那么的非零子式的最高階數(shù)被稱為矩陣的秩,用表示,以下是矩陣秩的等價描寫的一組命題NOTEREF_Ref447792438\f\h[1].設,則,中不為零子式的最大階數(shù)是;中有一個階子式不等于零,所有階子式都等于零;中有一個階子式不等于零,所有階子式都等于零;等價于;存在階可逆矩陣和階可逆矩陣,使得的行向量組的極大線性無關組所含的向量個數(shù)是個;的列向量組的極大線性無關組所含的向量個數(shù)是個;是的行空間的維數(shù);是的列空間的維數(shù);方程組含有個獨立的方程,剩下的方程是這些方程的線性組合;方程組的解空間的維數(shù)為;設維線性空間的一個基為,維線性空間的一個基為,從到的線性映射的矩陣為,即,則的像空間的維數(shù)是;設有線性映射;存在型的列滿秩矩陣和型的行滿秩矩陣,使成立.存在個線性無關的,個線性無關的,使得.證明:由秩的定義易知(1)(2)(3)(4).(1)(5).因為,故可將經(jīng)過一系列的初等變換可化成.然而這一系列的初等變換可以用階初等矩陣和階初等矩陣表示,使得,令,由初等變換矩陣可逆知:可逆.(1)(5).由為可逆矩陣,使得,得,這相當于由經(jīng)過一系列的初等變換而得;又因為矩陣的秩不會由初等變換而改變,所以.(1)(6).設,為行向量,由于,由命題(2)知存在階子式,且所有,即有所在的行線性不相關,且任意個行向量都線性相關,因此的行向量組的一個極大無關組就是所在的行,從而的行向量組的秩為.(1)(6).由的行向量組的秩為,依據(jù)向量組線性無關的條件可知,這個行向量所在的行的階子式不為零,且全部階子都為零,故.(1)(7)的證明和(1)(6)的證明類似.(1)(8)設的行向量組為,由它們所生成的行空間為:顯然從以上可得:行向量空間的維數(shù)與行向量組的秩相等.(1)(9)的證明和(1)(8)相似.(1)(10).矩陣的初等變換的過程實際上可以看作是解方程組的過程,等價性顯然成立.(1)(11).由方程組的解空間的一個基就是方程組的基礎解系可知命題是成立的.(1)(12).設的列向量組是,那么有線性方程組有解,這的說的是的生成空間.因此,從而的維數(shù)與的維數(shù)相等.而由(9)知的維數(shù)與一樣,故命題成立.(1)(13)由,則的行向量組有一個極大無關組,不妨設為,從而令.顯然為行滿秩的矩陣,下面證明為列滿秩的矩陣,即證就可以了.注意,由于被線性表示出的系數(shù)是惟一的,且被表示出的系數(shù)恰好是陣的第行,且分別為即有行線性無關,剩下的各行都可以由這行線性表出,所以.(1)(13)由,且,所以,只需證即可.而此時只需利用一個結果就可以了;設分別是和型矩陣,則有,由此可知.3.關于秩的命題(Ⅰ)設為階矩陣,(1).(2).(3).(4).(5)設是階可逆陣,是階可逆陣,則.(6);特別地,當時,有.(1)—(5)的證明略[10][10]國慧,矩陣的秩及應用[J];邢臺學院學報,第26卷第2期,2011年6月.證明:方法1,運用Binet-Cauchy公式.設,設,那么存在,然而所有階子式都為零.記,則的階子式因此.對于的任意階子式所以,故.方法2,設,,那么存在可逆矩陣,使得;其中,且所以故所以.方法3,記的解空間是,的解空間是,那么.設,則.記,則.所以.所以.這樣.故.4.關于秩的命題(Ⅱ)(1)(2)證明:(1)(2)證明見文獻[11][11]左可正,關于若干個矩陣和的秩等式與不等式[J];湖北師范學院學報(自然科學版)第30卷第1期,2010年1月(3)設,則.證明：方法1,設,當時,所以.同理方法2,設,設,方法3,設,.那么存在可逆矩陣,使,成立.所以方法4,設.則.所以的列向量可以由的列向量線性表現(xiàn),故.考慮的行向量,可得.方法5,記的解空間是,的解空間是,則.故.同理,考慮與,可得.方法6,[12]姚慕生,《高等代數(shù)》(教學方法指導)[M];復旦大學出版社,2003年.取維線性空間的一個基,維線性空間的一個基,維線性空間的一個基.設線性映射對,線性映射,即[12]姚慕生,《高等代數(shù)》(教學方法指導)[M];復旦大學出版社,2003年.,因為,所以.另一方面,因為,所以方法7,用塊的初等變換又由于,事實上的列向量可由的列向量線性表示,所以列向量可用線性表示.因此,,故,同理可證方法8,因為,所以.因為,所以.(4).證明:方法1,設,即的列向量的極大無關組含個向量.所以,做列的初等變換可使除去列外都為零;設.同理可用列的初等變換使除列外都為零.所以,做列的初等變換可使除列外全為零.故.方法2,設,為的列向量的極大線性無關組.設,是的列向量的極大線性無關組,則的列向量可用,線性表出,故.方法3,設,則齊次線性方程組含有個獨立的方程.設,則齊次線性方程組具有個獨立的方程.這樣的獨立方程的個數(shù)至多為個.所以.方法4,設的解空間為,的解空間為,的解空間為,則.因為,所以.方法5,.方法6,.利用結論“”.方法7,設,.對的任意階子式,必至少有列來自或至少有列來自.對這些列用Laplace定理展開即可得到此子式為零.(5).證明:方法1,設為的列空間的基,為的列空間的基.則的列向量都可以用他們線性表示,故.方法2,的每個列向量都可以由線性表出,故.方法3,,.故存在可逆矩陣,使得.這里.則.所以.方法4,設,,.故存在使得.因而.所以.方法5,.方法6,.方法7,因為.所以.方法8,.方法9,[13]周金森,劉宏錦,《從范疇論的觀點看高等代數(shù)》[J];龍巖學院學報，第28卷第2期,2010年4月.取維線性空間的一個基.維線性空間的一個基.設線性映射對應,線性映射對應,即[13]周金森,劉宏錦,《從范疇論的觀點看高等代數(shù)》[J];龍巖學院學報，第28卷第2期,2010年4月.因為.所以.故.方法10,設的解空間為,的解空間為,的解空間為,則.因為.所以.故.(6)、,這里.證明:方法1,設,則存在可逆矩陣,使得.所以.方法2,設,,則存在可逆矩陣,使得,所以設,這里.則有方法3,取維線性空間的一個基,維線性空間的一個基,維線性空間的一個基.設線性映射對應,線性映射對應,即,考慮在的限制映射.則.因為.所以.方法4,取維線性空間的一個基,維線性空間的一個基,維線性空間的一個基.設線性映射對應,線性映射對應.因為.所以.方法5,,所以.但是(7).證明:方法1,設,則存在可逆矩陣,使得.所以.所以.方法2,.所以.方法3,設是有限線性空間,是線性映射,分別對應矩陣.考慮在和上的導出映射,我們有,,因為,故有,所以.(8)設,則.證明:方法1,設的解空間為,的列空間是的子空間,所以.方法2,由“”直接得出.方法3,設,則存在可逆矩陣使得.又設,這里是行矩陣.由題設,知即.所以.(9)設且,則.證明:方法1,因為,所以.因為,所以.方法2,用塊的初等變換5.應用1.設且.求證.證明:因為,所以.因為,所以,所以.所以2.設都是方陣,而且.證明.證明:因為,所以.所以又因為.所以3.設都是階方陣,且,證明.證明:因為,所以.又.所以.4.設都是級矩陣,證明:如果,且,那么[14]李瑞閣,胡祎,萬冰蓉,齊次線性方程組解理論的一個應用[14]李瑞閣,胡祎,萬冰蓉,齊次線性方程組解理論的一個應用[J];南陽師范學院學報,第2卷第9期,2003年9月.證