多準(zhǔn)則決策及其在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用清華大學(xué)姜啟源第一頁(yè)，共三十三頁(yè)。多準(zhǔn)則決策概述多屬性決策的一般步驟多屬性決策應(yīng)用過(guò)程中幾種主要方法的比較層次分析法與多屬性決策和多屬性效用理論的關(guān)系提要第二頁(yè)，共三十三頁(yè)。多屬性決策（MADM,MultipleAttributeDecisionMaking）多準(zhǔn)則決策（MCDM,MultipleCriteriaDecisionMaking）

多目標(biāo)決策（MODM,MultipleObjectiveDecisionMaking）【多屬性效用理論（MAUT,Multi-AttributeUtilityTheory）】第三頁(yè)，共三十三頁(yè)。MADM：為了一個(gè)特定的目的在若干備選方案中確定一個(gè)最優(yōu)的，或者對(duì)這些方案按照優(yōu)劣進(jìn)行排序，或者給出優(yōu)劣程度的數(shù)量結(jié)果,而方案的優(yōu)劣由若干屬性給以定量或定性的表述。MODM：為了若干特定的（一般是相互矛盾的）目標(biāo)在若干備選方案中確定一個(gè)一定意義下最優(yōu)的，而備選方案集合由一些約束條件給定。MODM又稱(chēng)多目標(biāo)優(yōu)化或目標(biāo)規(guī)劃多屬性決策(MADM)與多目標(biāo)決策(MODM)概述第四頁(yè)，共三十三頁(yè)。多屬性決策（MADM）與多目標(biāo)決策（MODM）應(yīng)用領(lǐng)域非常廣泛

MODM：選擇收益大且風(fēng)險(xiǎn)小的投資組合、照顧乘客和航空公司雙方利益的航班安排、2011B題交警平臺(tái)設(shè)置要考慮出警時(shí)間和工作量均衡、2009B題病床安排方案要考慮公平和效率兩方面、2009D題會(huì)議籌備要考慮預(yù)訂賓館、會(huì)議室的數(shù)量、費(fèi)用、距離等…

MADM：國(guó)家綜合實(shí)力評(píng)價(jià)、大學(xué)排名榜、公司新廠(chǎng)址選擇、教師績(jī)效考核、2011B題各區(qū)交警平臺(tái)設(shè)置的合理性評(píng)價(jià)、2010D題學(xué)生宿舍設(shè)計(jì)方案的評(píng)價(jià)、2009B題病床安排的合理性指標(biāo)……第五頁(yè)，共三十三頁(yè)。多屬性決策(MADM)的一般步驟

要素：備選方案組與屬性集合、決策矩陣、屬性權(quán)重、綜合方法.備選方案組：由實(shí)際問(wèn)題決定.1.備選方案組與屬性集合確定屬性集合的原則：全面考慮，選取影響力（或重要性）強(qiáng)的.屬性間盡量獨(dú)立（至少相關(guān)性不太強(qiáng)）.不選難以辨別方案優(yōu)劣的（即使影響力很強(qiáng)）.若數(shù)量太多（如大于7個(gè)），應(yīng)將它們分層.盡量選可量化的，定性的也要能明確區(qū)分檔次.第六頁(yè)，共三十三頁(yè)。2．決策矩陣——備選方案對(duì)每一屬性的屬性值例選擇戰(zhàn)斗機(jī)(4種型號(hào))

備選方案屬性X1X2X3X4X5X6A1A2A3A4X1~最高速度(馬赫),X2航程(千海里),X3~最大載荷(千磅)X4~價(jià)格(百萬(wàn)美元),X5~可靠性,X6

~機(jī)動(dòng)性.各方案對(duì)屬性的定量取值或定性表述

2.02.51.82.21.5205.52.7186.52.0214.51.8205.0中很高低中高高中中第七頁(yè)，共三十三頁(yè)。對(duì)X5,X6表述的量化：“很高”、“高”、“中”、“低”、“很低”記分9,7,5,3,1，設(shè)有m個(gè)備選方案A1,A2,…,Am,n個(gè)屬性X1,X2,…,Xn

~決策矩陣?yán)x擇戰(zhàn)斗機(jī)Ai對(duì)Xj的取值dij~

屬性值決策矩陣（屬性值）的獲取調(diào)查、度量各方案對(duì)屬性的取值(偏于客觀(guān))通過(guò)成對(duì)比較，從正互反陣解出特征向量(偏于主觀(guān))~層次分析法第八頁(yè)，共三十三頁(yè)。dij作比例尺度變換決策矩陣標(biāo)準(zhǔn)化R的列最大值為1~最大化R的列和為1~歸一化R的列模為1~模一化dij作區(qū)間尺度變換R的列最小值為0（最大值為1）屬性值的物理意義(包括量綱)各不相同第九頁(yè)，共三十三頁(yè)。效益型屬性值單調(diào)增決策矩陣標(biāo)準(zhǔn)化時(shí)先對(duì)費(fèi)用型屬性值作倒數(shù)變換:屬性值(對(duì)決策優(yōu)劣)的性質(zhì)單調(diào)性線(xiàn)性性對(duì)于明顯呈非線(xiàn)性的屬性值（如邊際效益遞減），需先擬合合適的函數(shù)作變換.歸一化最大化費(fèi)用型屬性值單調(diào)減注意非單調(diào)性屬性的標(biāo)準(zhǔn)化處理第十頁(yè)，共三十三頁(yè)。3．屬性權(quán)重X1,X2,…,Xn的權(quán)重，

屬性權(quán)重的獲取層次分析法：用成對(duì)比較矩陣解出特征向量偏于主觀(guān)根據(jù)決策目標(biāo)通過(guò)經(jīng)驗(yàn)、調(diào)查等先驗(yàn)地給出信息熵法(借用信息論中熵的概念)偏于客觀(guān)熵~信息論中衡量不確定性的指標(biāo)，信息量的(概率)分布越趨于一致，不確定性越大.將歸一化決策矩陣R列向量~A1,…,Am對(duì)Xj的屬性值視為信息量的分布第十一頁(yè)，共三十三頁(yè)。A1,…,Am對(duì)屬性Xj的熵為rij越一致,Ej越接近1定義Xj對(duì)于方案的區(qū)分度

可用rij的均方差或極差代替Fj

屬性權(quán)重信息熵法例不易區(qū)分方案優(yōu)劣

第十二頁(yè)，共三十三頁(yè)。以上方法的綜合記偏于主觀(guān)與偏于客觀(guān)的方法得到的權(quán)重分別為,

綜合權(quán)重α,β根據(jù)決策者對(duì)w(1),w(2)的偏好程度進(jìn)行調(diào)節(jié)或第十三頁(yè)，共三十三頁(yè)。各種方法的詳細(xì)步驟參看：HwangC.L.andYoonK.MultipleAttributeDecisionMaking——MethodsandApplications.Berlin/Heidelberg/NewYorkSpringer-Verlag,19814．綜合方法---由決策矩陣與屬性權(quán)重得到最終決策徐玖平，吳巍編著多屬性決策的理論與方法.北京清華大學(xué)出版社2006粗糙模糊確定隨機(jī)第十四頁(yè)，共三十三頁(yè)。4．綜合方法---由決策矩陣與屬性權(quán)重得到最終決策按照決策者掌握的屬性信息量的多少將方法分類(lèi)沒(méi)有任何屬性信息占優(yōu)法最大最小法給定各屬性的最低水平合取法析取法已知各屬性權(quán)重的順序字典序法排列法已知各屬性權(quán)重的數(shù)值簡(jiǎn)單加權(quán)和法加權(quán)積法線(xiàn)性分配法接近理想解的排序法刪除選擇法第十五頁(yè)，共三十三頁(yè)。1.簡(jiǎn)單加權(quán)和法（SAW,SimpleAdditiveWeighting）隱含假設(shè)：屬性相互獨(dú)立，各屬性值對(duì)整體評(píng)價(jià)的影響可以疊加，因而各個(gè)屬性具有互補(bǔ)性.

方案Ai對(duì)n個(gè)屬性的綜合取值為對(duì)決策矩陣采用不同的標(biāo)準(zhǔn)化方法（歸一化、最大化），得到的結(jié)果會(huì)有差別.

或第十六頁(yè)，共三十三頁(yè)。2.加權(quán)積法（WP,WeightedProduct）可以直接用方案對(duì)屬性的原始值dij，不需要標(biāo)準(zhǔn)化

若效益型屬性的權(quán)重取正值，則費(fèi)用型屬性的權(quán)重應(yīng)取負(fù)值.將SAW的算術(shù)加權(quán)平均改為幾何加權(quán)平均：第十七頁(yè)，共三十三頁(yè)。3.接近理想解的排序法（TOPSIS）n個(gè)屬性、m個(gè)方案視為n維空間中m個(gè)點(diǎn)的幾何系統(tǒng)每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)由確定在空間中定義歐氏距離，決策矩陣模一化

正理想解由所有最優(yōu)加權(quán)屬性值構(gòu)成

負(fù)理想解由所有最劣加權(quán)屬性值構(gòu)成定義距正理想解近、距負(fù)理想解遠(yuǎn)的數(shù)量指標(biāo)——相對(duì)接近度

備選方案的優(yōu)劣順序按照相對(duì)接近度確定第十八頁(yè)，共三十三頁(yè)。4.刪除選擇法（ELECTRE）比較每一對(duì)方案{Ai,Ak}的加權(quán)屬性值vij和vkj,按照vij≥vkj和vij<vkj將屬性集分為一致集和矛盾集.利用屬性值和權(quán)重定義一致性指標(biāo)cik和矛盾性指標(biāo)dik,

cik越大,dik越小,Ai越優(yōu)于Ak.將歐氏距離改為街區(qū)距離,且決策矩陣歸一化或最大化TOPSIS方法等價(jià)于簡(jiǎn)單加權(quán)和法的情況:確定度量cik

,dik的閾值,時(shí)Ai

優(yōu)于Ak,由此決定刪除和選擇的方案.第十九頁(yè)，共三十三頁(yè)。應(yīng)用過(guò)程中幾種主要方法的比較方法方案SAWWPTOPSISELECTREA12211A24443A31121A43333例選擇戰(zhàn)斗機(jī)方案排序基本一致：A3，A1優(yōu)于A4，A2

4種方法對(duì)方案的優(yōu)劣排序第二十頁(yè)，共三十三頁(yè)。方法方案SAW(R最大化)SAW(R歸一化)WPTOPSISA10.2660.2690.2690.350A20.2260.2230.2190.146A30.2720.2740.2760.334A40.2360.2340.2360.170用SAW，WP，TOPSIS計(jì)算的數(shù)值結(jié)果

例選擇戰(zhàn)斗機(jī)A3與A1（A4與A2）差別不大，A3，A1明顯優(yōu)于A4，A2

用各種方法得到的結(jié)果沒(méi)有顯著差別第二十一頁(yè)，共三十三頁(yè)。幾種方法的集成“多屬性決策(MADM)方法選擇本身就是一個(gè)MADM問(wèn)題”

甄選：利用占優(yōu)法、和取法、字典序法等將被占優(yōu)的、不可接受的方案刪除.

排序或計(jì)算：分別利用SAW,WP,TOPSIS等對(duì)方案按照優(yōu)劣排序或計(jì)算數(shù)值結(jié)果.

集成：對(duì)幾種方法得到的排序或數(shù)值結(jié)果進(jìn)行集成.平均法Borda數(shù)法加權(quán)和法與其尋找最好方法，不如將幾種方法的結(jié)果加以集成.第二十二頁(yè)，共三十三頁(yè)。簡(jiǎn)單、方便的SAW適用于日常生活中大多數(shù)多屬性決策問(wèn)題.一些重大決策不妨采用思路更縝密、計(jì)算手段更全面的TOPSIS,ELECTRE方法，或者將幾種方法加以集成.多數(shù)文獻(xiàn)通過(guò)實(shí)例進(jìn)行對(duì)比，認(rèn)為一些主要方法得到的結(jié)果沒(méi)有顯著差異，但不能得出一般的結(jié)論.應(yīng)當(dāng)在確定屬性集合及屬性權(quán)重上多花些精力，它們對(duì)最終決策的影響比不同方法的選擇要大得多.結(jié)論與建議第二十三頁(yè)，共三十三頁(yè)。AHP的基本步驟1.建立層次分析結(jié)構(gòu)模型2.構(gòu)造成對(duì)比較陣3.計(jì)算權(quán)向量（主右特征向量）并作一致性檢驗(yàn)4.由各層的權(quán)向量計(jì)算組合權(quán)向量層次分析法(AHP)與多屬性決策(MADM)和多屬性效用理論(MAUT)的關(guān)系A(chǔ)HP的提出（20世紀(jì)80年代）比MAUT稍晚.AHP的應(yīng)用領(lǐng)域與MAUT相近.AHP可視為MADM的方法之一，MADM的加權(quán)和法是AHP的特例.AHP與MAUT在學(xué)術(shù)上的爭(zhēng)論一直存在.第二十四頁(yè)，共三十三頁(yè)。AHP應(yīng)用中的幾個(gè)問(wèn)題1.決策矩陣中屬性值的獲得相對(duì)度量——對(duì)每一準(zhǔn)則由各方案的成對(duì)比較陣和特征向量得到.絕對(duì)度量——按每一準(zhǔn)則的特性劃分為若干等級(jí)，各方案“對(duì)號(hào)入座”博士碩士學(xué)士高中初中教育經(jīng)驗(yàn)品質(zhì)…職員晉升杰出豐富中等較少無(wú)優(yōu)秀良好中等偏下差按每位職員的教育、經(jīng)驗(yàn)、品質(zhì)、…情況劃入相應(yīng)的等級(jí)適用于了解不夠的新問(wèn)題適用于了解充分的老問(wèn)題第二十五頁(yè)，共三十三頁(yè)。2.決策矩陣中屬性值的標(biāo)準(zhǔn)化

分配模式(DistributiveMode),即歸一化當(dāng)某一方案的屬性值改變時(shí)，其他方案的屬性值隨之改變

理想模式(IdealMode),即最大化任一方案的屬性值獨(dú)立于標(biāo)準(zhǔn)方案外的其他方案決策者關(guān)心每個(gè)方案支配（占優(yōu)）其他方案的程度決策者關(guān)心每個(gè)方案相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方案的優(yōu)劣‘‘gettingawellperformingcar’’‘‘gettingacarthatstandsout’’amongthealternativespurchasedbyco-workers第二十六頁(yè)，共三十三頁(yè)。當(dāng)新方案加入（或舊方案退出）時(shí)原方案的優(yōu)劣排序是保持還是會(huì)逆轉(zhuǎn)？3.方案排序的保持或逆轉(zhuǎn)（準(zhǔn)則權(quán)重不變）模擬實(shí)驗(yàn)（2~9個(gè)準(zhǔn)則、2~9個(gè)方案加入一新方案，每種情況模擬1000次）表明：對(duì)分配模式(DM)原方案屬性值改變，排序可能改變.對(duì)理想模式(IM)原方案排序不變，但當(dāng)新方案屬性值高于原方案時(shí)，原方案排序可能改變.原方案優(yōu)劣排序不變的占80%以上.用絕對(duì)量測(cè)，新方案加入時(shí)原方案優(yōu)劣排序不變.第二十七頁(yè)，共三十三頁(yè)。排序保持或逆轉(zhuǎn)的算例準(zhǔn)則方案X1w1=0.6X2w2=0.4A51B15準(zhǔn)則方案X1w1=0.6X2w2=0.4A51B15C(=A)51DMIMDMIM準(zhǔn)則方案X1w1=0.6X2w2=0.4A51B15C81IM屬性值可大于1逆轉(zhuǎn)保持逆轉(zhuǎn)保持第二十八頁(yè)，共三十三頁(yè)。4.分配模式(DM)與理想模式(IM)的選用

分配模式(DM)用于資源固定的封閉系統(tǒng)，新用戶(hù)（方案）的加入會(huì)稀釋資源，需重新分配.

理想模式(IM)用于資源不定的開(kāi)放系統(tǒng)，新用戶(hù)的加入一般不會(huì)稀釋資源，原用戶(hù)不需重新分配.對(duì)固定方案集合的選優(yōu)(只選一個(gè))、定性評(píng)價(jià)(只考慮優(yōu)劣順序)等問(wèn)題，兩種模式均可但多用IM.對(duì)固定方案集合的資源分配、定量評(píng)價(jià)(考慮數(shù)值大小)等問(wèn)題，易用DM.注區(qū)間尺度變換在排序保持比例上少于IM和DM(模擬)，尤其不適用于資源分配問(wèn)題.第二十九頁(yè)，共三十三頁(yè)。資源分配問(wèn)題的算例績(jī)效獎(jiǎng)金分配教學(xué)w=0.5科研w=0.5AB目標(biāo)準(zhǔn)則教師教師A教師B教學(xué)分科研分5114999問(wèn)：1萬(wàn)元獎(jiǎng)金如何分配？DMIM經(jīng)驗(yàn)：教學(xué)5千元平分，科研5千元給B與經(jīng)驗(yàn)一致與經(jīng)驗(yàn)有別區(qū)間尺度嚴(yán)重不妥!第三十頁(yè)，共三十三頁(yè)。5.AHP與MAUT的爭(zhēng)論——二者的公理化系統(tǒng)有區(qū)別AHP允許排序逆轉(zhuǎn)而MAUT不允許.Saaty:Fromitsaxiomstoitsprocedures,theAHPhasturnedouttobehistoricallyandtheoreticallyadifferentandindependenttheoryofdecisionmakingfromutilitytheory.MAUT需要偏好排序的傳遞性而AHP不需要.BecausetheAHPisnotanextensionofMAUT,whyisitcriticizedfornotadheringtoaxiomsofMAUT?MustallproceduresforresolvingmultiattributeproblemsfollowtherulesofMAUT?AretheaxiomsofMAUTsacrosanct?S.I.Gass,ModelWorld:TheGreatDebate?MAUTVersusAHP,InterfacesVol.35,No.4,2005,p308第三十一頁(yè)，共三十三頁(yè)。AHP新的參考文獻(xiàn)T.L.Saaty,L.G.Vargas,Models,Methods,Conc