8.2軸向拉壓時(shí)橫截面上的應(yīng)力8.2軸向拉壓時(shí)橫截面上的應(yīng)力8.2軸向拉壓時(shí)橫截面上的應(yīng)力【引言】上節(jié)已經(jīng)詳細(xì)討論了軸向拉壓時(shí)的內(nèi)力及內(nèi)力圖，本節(jié)來討論構(gòu)件的應(yīng)力。根據(jù)內(nèi)力計(jì)算構(gòu)件橫截面上各點(diǎn)處的應(yīng)力，是為對構(gòu)件作強(qiáng)度計(jì)算作準(zhǔn)備。上節(jié)討論的內(nèi)力，是構(gòu)件橫截面上的內(nèi)力，并未涉及到橫截面的形狀和尺寸。而只根據(jù)軸力并不能判斷桿件是否有足夠的強(qiáng)度。例如用同一材料制成粗細(xì)不同的兩根桿，在相同的拉力下，兩桿的軸力自然是相同的。但當(dāng)拉力逐漸增大時(shí)，細(xì)桿必定先被拉斷。這說明拉桿的強(qiáng)度不僅與軸力的大小有關(guān)，而且與橫截面面積有關(guān)。所以要引入橫截面上的應(yīng)力的概念，來度量拉壓桿件的受力程度。8.2軸向拉壓時(shí)橫截面上的應(yīng)力一、截面上一點(diǎn)處的應(yīng)力的概念如圖所示受力物體，其橫截面mm，截開后取隔離體，在截面上某點(diǎn)處取微小面積△A，△A上微內(nèi)力的合力為△FR。內(nèi)力△FR在面積△A上的平均集度(即比值)為8.2軸向拉壓時(shí)橫截面上的應(yīng)力當(dāng)內(nèi)力△FR在面積△A上均勻分布時(shí)，平均應(yīng)力即稱為該截面上該點(diǎn)處的應(yīng)力；而當(dāng)內(nèi)力△FR在面積△A上非均勻分布時(shí)，則取△A趨于0時(shí)的(△FR

/△A)極限值，即

f稱為該截面上該點(diǎn)處的應(yīng)力?！咀ⅰ窟^構(gòu)件上的某一點(diǎn)可以切出橫截面和許多不同方向的斜截面,對這些不同方向的截面來說,該點(diǎn)處的應(yīng)力值是不同的。因此,說到一點(diǎn)處的應(yīng)力,應(yīng)該指明是對哪個(gè)方向的截面而言。8.2軸向拉壓時(shí)橫截面上的應(yīng)力上述的應(yīng)力f，也稱為該截面上該點(diǎn)處的總應(yīng)力。為了便于計(jì)算，總是把它分解為兩個(gè)分量，如圖所示。垂直于截面的分量

，稱為正應(yīng)力，可分為拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，其正負(fù)規(guī)定與軸力FN相同，即規(guī)定拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)；平行于截面的分量

，稱為剪應(yīng)力（或稱切應(yīng)力），其正負(fù)規(guī)定以剪應(yīng)力相對于隔離體順時(shí)針轉(zhuǎn)為正，反之為負(fù)。8.2軸向拉壓時(shí)橫截面上的應(yīng)力應(yīng)力是矢量。應(yīng)力的量綱是，其基本單位是N/m2或Pa（帕斯卡），工程上常用MPa（兆帕）和GPa（吉帕），其換算關(guān)系為8.2軸向拉壓時(shí)橫截面上的應(yīng)力二、軸向拉壓桿時(shí)橫截面上的正應(yīng)力在拉（壓）桿的橫截面上，與軸力FN對應(yīng)的應(yīng)力是正應(yīng)力。我們研究的材料是連續(xù)的，由于橫截面上到處都存在著內(nèi)力，若以A表示橫截面的面積，則各微面積dA上的內(nèi)力元素

dA組成一個(gè)垂直于橫面的平行力系，其合力就是軸力FN。根據(jù)靜力平衡關(guān)系，可得由于還不知道在橫截面上的分布規(guī)律，所以單一由上式并不能確立FN與之間的關(guān)系。這就必須從觀察、分析桿件的變形入手，從幾何、靜力平衡等方面進(jìn)行研究，以確定應(yīng)力的分布規(guī)律。8.2軸向拉壓時(shí)橫截面上的應(yīng)力如圖所示的軸向受拉桿，需要研究橫截面上的應(yīng)力分布規(guī)律，先進(jìn)行實(shí)驗(yàn)觀察。為了便于通過實(shí)驗(yàn)觀察軸向受拉桿所發(fā)生的變形現(xiàn)象，受力前在桿件表面均勻地畫上若干與桿軸線平行的縱線及與軸線垂直的橫線，使桿表面形成許多大小相同的方格，其中的縱線代表縱向纖維，橫線代表橫截面。8.2軸向拉壓時(shí)橫截面上的應(yīng)力在桿的兩端施加一對軸向拉力F，可以觀察到，受拉力作用以后，所有的縱線都伸長了，但是仍保持為直線并且仍互相平行；所有的橫線仍保持為直線，且仍垂直于桿軸，只是相對距離增大了，小方格變成長方格。8.2軸向拉壓時(shí)橫截面上的應(yīng)力根據(jù)上面觀察得到的現(xiàn)象，提出如下的假設(shè)：（1）縱向纖維假設(shè)：假設(shè)桿件內(nèi)部，是由無窮根縱向纖維組成，每一根纖維都只受到軸向拉伸或壓縮，在纖維之間互相沒有擠壓即無橫向受力。模擬想象生活中見到過的物品：光纜，包裝成包的龍須面。8.2軸向拉壓時(shí)橫截面上的應(yīng)力（2）平截面假設(shè)：因?yàn)槊恳桓鶛M線,都代表橫截面,這些橫線在變形后仍保持為直線,仍垂直于桿軸,只是相對距離增大了。所,以我們假設(shè)變形前原來為平面的橫截面，變形后仍保持為平面。這就是著名的平截面假設(shè)（或稱為平面假設(shè)）。由這一假設(shè)可以推斷,軸向受拉桿所有縱向纖維的伸長相等。由于我們研究的材料是均勻的,各縱向纖維的性質(zhì)相同,因而其受力也就一樣。所以桿件橫截面上的內(nèi)力是均勻分布的,即在橫截面上各點(diǎn)處的正應(yīng)力都相等,等于常量。8.2軸向拉壓時(shí)橫截面上的應(yīng)力這就是軸向受拉桿橫截面上正應(yīng)力即拉應(yīng)力的計(jì)算公式。其分布形式如圖所示。當(dāng)軸力為壓力時(shí)，它同樣可用于壓應(yīng)力計(jì)算。和軸力FN的符號(hào)規(guī)則一樣，軸向正應(yīng)力規(guī)定拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。8.2軸向拉壓時(shí)橫截面上的應(yīng)力使用公式時(shí)，要求外力的合力作用線必須與桿件軸線重合。此外，因?yàn)榧辛ψ饔命c(diǎn)附近應(yīng)力分布比較復(fù)雜，所以它不適用于集中力作用點(diǎn)附近的區(qū)域。另外，在壓縮的情況下，細(xì)長桿件容易被壓彎，這屬于穩(wěn)定性問題，將在以后討論。這里所說的壓縮是指桿件并未壓彎的情況，即不涉及穩(wěn)定性問題。8.2軸向拉壓時(shí)橫截面上的應(yīng)力在某些情況下，桿件橫截面沿軸線而變化，如圖所示。當(dāng)這類桿件受到拉力或壓力作用時(shí)，如外力作用線與桿件的軸線重合，且截面尺寸沿軸線的變化緩慢，則橫截面上的應(yīng)力仍可近似地用公式計(jì)算。8.2軸向拉壓時(shí)橫截面上的應(yīng)力這時(shí)橫截面面積不再是常量，而是軸線坐標(biāo)x的函數(shù)。若以Ax表示坐標(biāo)為x的橫截面的面積，F(xiàn)Nx和x表示橫截面上的軸力和應(yīng)力，可由公式推得公式8.2軸向拉壓時(shí)橫截面上的應(yīng)力例8-3

如圖所示為一懸臂吊車，斜桿AB為直徑d=20mm的鋼桿，荷載F=15kN。當(dāng)F移到點(diǎn)A時(shí)，求斜桿AB橫截面上的應(yīng)力。8.2軸向拉壓時(shí)橫截面上的應(yīng)力解：當(dāng)荷載F移到A點(diǎn)時(shí)，斜桿AB受到的拉力最大，設(shè)其值為FNmax。由橫梁的平衡條件MC=0得8.2軸向拉壓時(shí)橫截面上的應(yīng)力由三角形ABC的幾何形狀可求出代入FNmax的表達(dá)式，得即斜桿AB的軸力為因此，AB桿橫截面上的應(yīng)力為8.2軸向拉壓時(shí)橫截面上的應(yīng)力三、直桿受軸向拉伸或壓縮時(shí)斜截面上的應(yīng)力1.問題的提出前面討論了直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)，橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算，今后將用這一應(yīng)力作為對拉壓桿進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算的主要依據(jù)。通過對不同材料進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究表明，拉（壓）桿的破壞并不都是沿橫截面發(fā)生，有時(shí)是沿斜截面發(fā)生的。因此，為了更全面地研究拉（壓）桿的強(qiáng)度，應(yīng)進(jìn)一步分析斜截面上的應(yīng)力。8.2軸向拉壓時(shí)橫截面上的應(yīng)力2.斜截面的定義：橫截面mm，斜截面kk。橫截面mm的外法線ox與斜截面kk的外法線on的夾角為，是銳角。規(guī)定從橫截面mm的外法線ox按照逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到斜截面kk的外法線on為正。8.2軸向拉壓時(shí)橫截面上的應(yīng)力3.斜截面上的應(yīng)力計(jì)算(1)橫截面上正應(yīng)力：在前面圖中，設(shè)直桿的軸向拉力為F，橫截面面積為A。由公式，橫截面上正應(yīng)力為(2)斜截面的面積：設(shè)與橫截面成角的斜截面的面積為A，則A與A之間的關(guān)系為8.2軸向拉壓時(shí)橫截面上的應(yīng)力(3)斜截面上的軸力如圖所示，若沿斜截面kk假想地把桿件分成兩部分，以FN表示斜截面k-k上的內(nèi)力，由左段的平衡條件可知：FN=F8.2軸向拉壓時(shí)橫截面上的應(yīng)力(4)斜截面上的總應(yīng)力fα仿照證明橫截面上正應(yīng)力均勻分布的方法，同樣可得出斜截面上應(yīng)力也是均勻分布的結(jié)論。若以f表示斜截面k-k上的總應(yīng)力，于是有把代入上式，并注意到，得8.2軸向拉壓時(shí)橫截面上的應(yīng)力(5)斜截面上的兩個(gè)應(yīng)力分量如圖所示,把總應(yīng)力fα分解成垂直于斜截面的正應(yīng)力和平行于斜截面的剪應(yīng)力，則有8.2軸向拉壓時(shí)橫截面上的應(yīng)力從公式（8-4）可以看出：垂直于斜截面的正應(yīng)力和平行于斜截面的剪應(yīng)力都是的函數(shù)，所以斜截面的方位不同，截面上的應(yīng)力也就不同。當(dāng)=0時(shí)，斜截面k-k成為垂直于軸線的橫截面，達(dá)到最大值，且