2018屆高三數(shù)學(xué)組集體備課

三角函數(shù)、解三角形

主講人禹明

三年考情

考點(diǎn)2017年2016年2015年2014年2013年

任意角和弧

度制及任意

全國(guó)1卷T8全國(guó)1卷T2

角的三角函

數(shù)

同角三角函

全國(guó)1卷全國(guó)1卷全國(guó)1卷

數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)全國(guó)1卷T2

T15T14T16

公式

三角函數(shù)的全國(guó)1卷T9

全國(guó)1卷

圖像和性質(zhì)全國(guó)1卷T8全國(guó)1卷T8全國(guó)1卷T7全國(guó)1卷

T12

T16

函數(shù)

y=Asin(wx+

全國(guó)1卷T6全國(guó)1卷T8

&)的圖像及

應(yīng)用

簡(jiǎn)單的三角全國(guó)1卷全國(guó)1卷

恒等變換T1IT16

正弦定理和全國(guó)1卷全國(guó)1卷全國(guó)1卷全國(guó)1卷

全國(guó)1卷T4

余弦定理T11T17T16T10

命題分析

綜合近3年的全國(guó)卷高考試題，我們發(fā)現(xiàn)高考命題在本章呈現(xiàn)以下規(guī)律：

1、從考察題型看：一般有1個(gè)選擇題、1個(gè)填空題，占10分；或者有2個(gè)選擇題、1個(gè)填

空題，占15分；或者1個(gè)選擇題或1個(gè)填空題、1個(gè)解答題，占17分。其中解答題與

數(shù)列解答題交替考查，基礎(chǔ)題主要考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的掌握，中檔題主要考查

抽象思維能力和邏輯推理能力。

2、從考查知識(shí)點(diǎn)看：主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、三角變換與解三角形。突出對(duì)三角

恒等變換能力、正弦定理和余弦定理應(yīng)用能力、數(shù)形結(jié)合思想的考查。

3、從命題思路看：

(1)考查簡(jiǎn)單三角恒等變換公式的應(yīng)用

(2)考查正弦型函數(shù)y=Asin(wx+&)的圖像和性質(zhì)及其應(yīng)用

(3)對(duì)正弦定理和余弦定理的考查，大多是以三角恒等變換為基礎(chǔ)，結(jié)合求解三角

形的內(nèi)角和面積來(lái)解決，要求能熟練地運(yùn)用三角變換公式進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算。

4、通過(guò)對(duì)近幾年的全國(guó)高考試題分析，可以預(yù)測(cè)，在2018年，三角函數(shù)、解三角形問(wèn)題

考查的重點(diǎn)是：

(1)利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式為y=Asin(wx+&)+b或y=Acos(wx+

&)+b的形式，研究其圖像和性質(zhì)。

(2)利用正弦定理和余弦定理及三角形的面積公式構(gòu)造方程或函數(shù)求解三角形的邊、

角問(wèn)題，或轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問(wèn)題。

備考策略

根據(jù)近幾年的全國(guó)卷高考命題特點(diǎn)和規(guī)律，復(fù)習(xí)本章時(shí)，要注意以下幾個(gè)方面：

1、全面系統(tǒng)復(fù)習(xí)，深刻理解知識(shí)本質(zhì)

(1)重視三角函數(shù)的概念的理解，熟練應(yīng)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式

(2)重視對(duì)三角函數(shù)圖像和性質(zhì)的研究

a.三角函數(shù)丫=甌僦r=(：05*、丫n2八的圖像和性質(zhì)是考查知識(shí)的常見(jiàn)載體，

是三角函數(shù)的基礎(chǔ)

b.五點(diǎn)法畫正弦型函數(shù)圖像是三角函數(shù)圖像變換的根本保證

C.復(fù)習(xí)時(shí)通過(guò)選擇題、填空題和解答題加以訓(xùn)練和鞏固，注意將問(wèn)題和方

法進(jìn)行歸納、整理

(3)以兩角差的余弦公式為基礎(chǔ)，用代換法、誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系退

出三角恒等變換的公式，明確公式的來(lái)龍去脈

2、熟練掌握解決以下問(wèn)題的方法和規(guī)律

(1)象限角、三角函數(shù)值的符號(hào)判斷

(2)弧度制與角度制的互化方法，弧度制下扇形的弧長(zhǎng)和面積公式

(3)用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)的流程

(4)三角函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值、對(duì)稱性)的確定與應(yīng)用

(5)A、w、&對(duì)函數(shù)y=Asin(wx+&)圖像的影響及函數(shù)圖像平移、伸縮變換方法

(6)已知函數(shù)y=Asin(wx+&)的圖像求解析式

(7)化簡(jiǎn)、求值及三角恒等變換的方法與技巧

(8)三角形中邊、角的求值，三角形形狀的判斷與證明

3、重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用

(1)數(shù)形結(jié)合思想

(2)函數(shù)與方程思想

(3)分類討論思想

高考真題

2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

文科數(shù)學(xué)

sin2r

8.函數(shù)丁=三匕的部分圖像大致為(C)

1-COSX

11.A48C的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為mb,c.已知§由3+5也4(§后。一以^。)二。,

a=2,c=&，則C=(B)

it71兀

A.—B.-C.一D.

12643

兀71

15.已知a￡(0,一),tana=2,則cos(a—)=

24?3而

10

2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

文科數(shù)學(xué)

4、zUBC的內(nèi)角/、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.己知a=6，c=2,cosA=—2,則6=

3

(D)

(A)6(B)6(C)2(D)3

ir

6、若將函數(shù)尸2sin(2x+3的圖像向右平移1;個(gè)周期后，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為(D)

(A)尸2sin(2x+3(B)y=2sin(2x+1)(C)j=2sin(2x-^)(D)^=2sin(2x-1)

12.若函數(shù)/(x)=x-；sin2x+asinx在(7c：+oc)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()

A.[-LI]B.[-1：]C.D.[—IJ-J]

C

TT3IT

14、已知。是第四象限角，且sin(計(jì)一尸一，則tan(0——)=__________-4/3

454

2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

文科數(shù)學(xué)

8、函數(shù)/(x)=cos3x+e)的部分圖像如圖所示，則/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(D)

(A)伏?！?kn+—),k&Z

44

13

(B)(2%乃——,2k/r+—),keZ

44

13

(C)(k--,k+-),k^Z

44

13

(D)(2k--,2k+-),k&Z

44

17、(本小題滿分12分)己知a,b,c分別是AABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，

sin12*4B=2sinAsinC.

(I)若。=》，求cosB;

(II)若B=90=,且“=正，求AABC的面積.

(I)-(II)1

4

2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

文科數(shù)學(xué)

(2)若tana>0，則

Asina>0B.cosof>0C.sin2a>0D.cos2a>0

A

⑺在函數(shù)①j=cos|2x|,②y=\cosx|

③y=8S(2x+工)，④y=tan(2x-C)中，最小正周期為7的所有函數(shù)為

64

A①②③B.①③④C.②④D.①③

(16)如圖，為惻量山高選擇4和另一座山的山頂C為惻量觀測(cè)點(diǎn).從4點(diǎn)測(cè)得"點(diǎn)

的仰角NM4N=60。,。點(diǎn)的仰角NC4B=45。以及NM4C=75。；從C點(diǎn)刪得

NMC4=60。.已知山高BC=100加，則山高M(jìn)V=m.

150

2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

文科數(shù)學(xué)

(10)已知銳角MBC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,23cos2J+cos2J=0,a=1,

c=6,則b=()

(A)10(B)9(C)8(D)5

I

(16)設(shè)當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)/(x)=siiix_2cosx取得最大值，則cosO=.

5

考點(diǎn)13任意角和弧度制及任意角的三角函

數(shù)、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

一、選擇題

1.（2013新江高考理科?T6）已知ae/?，sina+2costz=^^,貝！Jtan2a=

2

（）

433

A.-B.-C.--D.

344

_4

~3

l解題指南】由已知條件和sin2a+cos2?=1聯(lián)立方程組可求得sin?與

cosa的值，從而求得tana,再利用倍角公式求tan2a.

,3VW

sma=--V--io-sina------

【解析】選C.由smc+2cosa=w-,解得＜10或.10

.221Vio

sin-a+cosa=1cosa--3-V--1-0cosa=---

1010

所以tana=--或tana=3,

3

2

2tana3

當(dāng)tana=--時(shí)，tan2a=3

31-tan2a4

當(dāng)tana=3時(shí)，tan2a=^tan^=—J=一』，故選C.

l-tan2a1-324

2.(2013?廣東高考文科?T4)已知sin(2+a)，那么cosa=()

25

【解題指南】本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，可以直接利用公式計(jì)算.

【解析】選C.sin（且+a）=sin（2%+工+。）=sin—+a\=cosa--.

3.（2013?大綱版全國(guó)卷高考文科-T2）已知。是第二象限角，

sina=—，貝ijcosa=（）

13

A.--B.--C.—D.—

13131313

【解題指南】由sin?a+cos?a=1及sina求出cosa的值，并利用“所在

象限判斷cosa的符號(hào).

【解析】選A.因?yàn)閟in?a+cos22=1,所以cos?a=1-sin?a=^,則

169

cosa=±與又。是第二象限角，所以cosa=

1313

二、填空題

4.（2013?大綱版全國(guó)卷高考理科-T13）

已知a是第三象限角,sina=-，，則cota=.

3

【解析】cos2a=1-sin?a=§,而a為第三象限角，所以cosa＜（）,解得

9

272

cosa=-^1,又cota=cosa=--^_=2后.

3sina」

-3

【答案】2行

1.（2014?安徽高考文科?T12）如圖，在等腰直角三角形A8C中，斜邊6。=2a,過(guò)

點(diǎn)A作的垂線，垂足為A；過(guò)點(diǎn)4作AC的垂線，垂足為4；過(guò)點(diǎn)&作AC的垂線，

垂足為4；…，以此類推，設(shè)R4=4，AA]=a2,=^3,**'?AA=%，則%=

【解題提示】根據(jù)三角函數(shù)的定義，依次解等腰直接三角形。

【解析】由題意可得4=2,&=2?sin45°Ji%F？sin4501,

a4=a3?sin45°-^y-,a5=a4?sin45°^6=^5?sin45°

…6?sin45。爭(zhēng)孝=；，

答案」

4

1.（2015?福建高考文科-T6）

若s山a=磊且a為第四象限角，則sa的值等于（）

A.—B.?--C.—D.-2

551212

5125

［解析］選D由sina---，且a為第四象限角可知cosa=----，故=---.

131312

二、填空題

2.

（2015四川高考文科T13）己知sz九z+2cosa=0,則2s比acosa—cos2凝］值是

【解題指南】利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求解，注意添加分母“1”的

技巧。

【解析】由題意知57%a=-2cosa,則儂7a=-2,

rrnio.22sinacosa-cos2aliana-1-5.

所以2sMacosa-cos~a=-----------------=---------=一=-1.

sina+cosatan~a+15

答案：-1

考點(diǎn)14三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

一、選擇題

1.（2013?湖北高考文科?T6）與（2013?湖北高考理科?T4）相

同

將函數(shù)y=gcosx+sinx（x￡R）的圖象向左平移m（m>0）個(gè)單位長(zhǎng)

度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則m的最小值是（）

A.—B.-C.-D—

12636

【解題指南】先化簡(jiǎn)，再平移，余弦函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱。

【解析】選B.由已知y=2（正'cosx+」sinx）=2sin（x+生），當(dāng)m=工時(shí)，平移后

2236

函數(shù)為y=2sin（x+^）=2cosx,其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且此時(shí)m最小。

2.（2013?天津高考文科?T6）函數(shù)/（x）=sin（2xq）在區(qū)間恒］上的

最小值是=（）

A.-1B.也C.在D.0

22

【解題指南】先確定2x-囚的范圍，再根據(jù)正弦曲線的單調(diào)性求最小

4

值.

【解析】選B.因?yàn)閄』。/］,所以2》-葭1，紅］,根據(jù)正弦曲線可知，

2J4L44.

當(dāng)2x上」時(shí),f（x）取得最小值-也。

442

3.（2013?新課標(biāo)I高考文科?T9）函數(shù)f（x）=（1-cosx）sinx在［-巴乃］

的圖像大致為（）

【解題指南】首先判斷函數(shù)的奇偶性進(jìn)行排除，然后再根據(jù)函數(shù)的圖

象特征取最佳值進(jìn)行驗(yàn)證排除.

【解析】選C.因?yàn)?(-x)=-(l-cosx)sinx,BP/(-x)=-/(%),而定義域

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，排除B.又當(dāng)x時(shí)

f(~)—(l-cosy)sin^=1>0?排除A.當(dāng)*=苧時(shí)

y(^)=(l-cos—)sin—=^^>1,排除D.

4442

二、填空題

4.(2013?江蘇高考數(shù)學(xué)科-T1)函數(shù)y=3sin(2x+馬的最小正周期

4

為.

【解題指南】利用三角函數(shù)周期公式丁=普

【解析】函數(shù)y=3sin(2x+?)的最小正周期T=葺=萬(wàn)

【答案】兀

三、解答題

5.(2013?陜西高考文科?T16)與(2013?陜西高考理科?T16)

相同

已知向量。=(cosx,-g),B=(V3sinx,cos2x),xeR,設(shè)函數(shù)/(x)=a-b.

(I)求/㈤的最小正周期.

(□)求/㈤在[o,1上的最大值和最小值.

【解題指南】利用三角變換化簡(jiǎn)三角函數(shù)求得函數(shù)周期；利用數(shù)形結(jié)

合的思想方法直觀簡(jiǎn)單地求出函數(shù)在規(guī)定區(qū)間上的最值.

【解析】(I)f(x)=a-b=

cosx-V3sinx--cos2x-^-sin2x--cos2x-sin(2x--)o

2226

最小正周期T=M=?。所以〃x)=sin(2x-g),最小正周期為開(kāi)。

26

()

當(dāng)xe[0,勺時(shí),(2x-生)e[-生，2],由標(biāo)準(zhǔn)函知=sinx在[-2,2]上的圖像知,.

266666

TT7TJTI

f(x)=sin(2x--)6[sin(--),sin(-)]=[--,l].

所以，/㈤在[。,曰上的最大值和最小值分別為

一、選擇題

2”

1.(2014*湖南高考理科?T9)已知函數(shù)f(x)=sin(x-°),且『f(x)dx=0,則函數(shù)f(x)

的圖象的一條對(duì)稱軸是()

5乃7乃乃乃

A.x=—B.x=—C.X,=—D.x=一

61236

[解題提示】利用函數(shù)圖象的平移和對(duì)稱性求解。

【解析】選A.由于/(x)=sin(x—9),且公=0,得到/(%)的對(duì)稱中心為(?,0

所以夕=2,x-^=^+k7i,keZ,所以x=K+所以/(x)的圖象的一條

5萬(wàn)

對(duì)稱軸是犬二W

6

2.（2014?福建高考文科?T7）7.將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移TT]個(gè)單位，得到函數(shù)

y=/（x）的函數(shù)圖象，則下列說(shuō)法正確的是（）

Ay=/（x）是奇函數(shù)

=的周期是萬(wàn)

C3y=〃x）的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱

0.丁=/（月的圖象關(guān)于點(diǎn)（-3（））對(duì)稱

【解題指南】將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移!TT■個(gè)單位，得到函數(shù)

y=sinf^+|kcosx.然后結(jié)合三角函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行判斷.

TT7T\

【解析】D.將函數(shù)y=sinX的圖象向左平移,個(gè)單位，得到函數(shù)丁=5Ex+.該

函數(shù)是偶函數(shù)，故A錯(cuò)；周期為2",故B錯(cuò)；該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=故C錯(cuò);

對(duì)稱中心為仁+5o],故D正確.

3.（2014?遼寧高考文科?T11）與（2014?遼寧高考理科?T9）相同

y=3sin（2x+—）—

將函數(shù)3的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,所的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)

TC7乃7174

（A）在區(qū)間112’12」上單調(diào)遞減⑻在區(qū)間112'12」上單調(diào)遞增

71717171

（。）在區(qū)間L6'3」上單調(diào)遞減（。）在區(qū)間L6'3」上單調(diào)遞增

【解題提示】結(jié)合圖象平移的原則得到新函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解新

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

y=3sin（2%+—）—

【解析】選B.函數(shù)3的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為

71兀21

y=3sin(2(x-彳)+彳)ny=3sin(2x-—)

2人左一生<2x-^-<2k7r+^-AkGZ)k7r+—<x<k7r+^-AkGZ)

由232、/得1212lJ

y=3sin(2x----)k兀+/，卜兀+二,(ZGZ).

即3的增區(qū)間為L(zhǎng)1212J

k7r+—<x<k7r+^-,(keZ)—<x<-,

當(dāng)氏=0時(shí)，1212',為1212

2%兀7萬(wàn)

y=3sin(2x---)TT577

可見(jiàn)3在區(qū)間L"12」上單調(diào)遞增;

-rrO-rr377"7TT1377"

2k7TH—42x----W2k兀H----,(kGZ)kjiH----<x<k7iH-----,(左GZ)

l~|~l232得1212

717t

而不論上取何整數(shù)值，得到的減區(qū)間都不包含區(qū)間L63」，故只有選項(xiàng)（B）正確.

4.（2014?陜西高考文科72）函數(shù)a）=3（2X+?）的最小正周期是（）

A.—B.TTC.2TTD.4TT

【解題指南】直接利用正弦函數(shù)的周期公式T=M，求出它的最小正周期即可.

【解析】選B.由丁="丹=n，故B正確.

5.（2014?陜西高考理科?T2）函數(shù)f（x）=cos（2x-的最小正周期是（）

A.—B.JtC.2貝D.4Jt

【解題指南】直接利用正弦函數(shù)的周期公式丁=稱,求出它的最小正周期即可.

【解析】選B.由丁="與n,故B正確.

6.（2014.天津高考文科?T8）已知函數(shù)/（x）=6sin3c+coss（0>O）,xeR在曲線

71

y=/（x）與直線y=i的交點(diǎn)中，若相鄰交點(diǎn)距離的最小值為H,則/（X）的最小正周期為

()

兀27

A.5B.3C.萬(wàn)D.2%

c/、/T.2sin(iyx+—)j..、,

［解析］選C./(x)=43sm0x+cos/x=6，由八＞)=1,得

JIIJI45427r

sin(69xH—)=一,(OX,d—=—,CDX1H—=—,0)(x1-%)=—.

62所以66或-66所以-3又因?yàn)?/p>

71F2冗

X-X=—,cT==71.

2-3故口=2,所以2

(2014?山東高考文科?T12)

函數(shù)y=事sin2x+cos?X的最小正周期為.

【解題指南】本題考查了三角恒等變換知識(shí)，可先降暴，再化為一個(gè)角的三角函數(shù).

【解析】：y=-sin2x+cos2x=—sin2x+—cos2x+—=sin2^+—^+―

2222<6j2

T2乃

T=——-71.

2

答案：T=7T

二、填空題

7.(2014?上海高考理科?T1)(2014?上海高考文科?TD

函數(shù)y=1-2COS2(2X)的最小正周期是..

【解題提示】先根據(jù)倍角公式將函數(shù)化為產(chǎn)cos(4x),再根據(jù)周期公式求解。

【解析】y=-(2cos2(2x)-1)=-cos(4x),所以函數(shù)的最小正周期T=半

TT

答案：-

2

8.(2014?上海高考理科?T12)

設(shè)常數(shù)。使方程sinx+6cosx=a在閉區(qū)間［0,2團(tuán)上恰有三個(gè)解

%.，%2，%3,則X1+x2+X,=.

【解題提示】將左邊函數(shù)化為一種三角函數(shù)式的形式，結(jié)合三角函數(shù)圖像即得.

【解析】

砌(x)=sinx+A/Jcosx=2sin(x+"),因?yàn)閄E[0,2;T],所以x+gwy,2^+y,

根據(jù)方程恰有三個(gè)解，結(jié)合三角函數(shù)圖像易得X1=0,々=(,占=21，所以g+々+為=,.

答案:二.

3

三、解答題

9.(2014?山東高考理科?T16)已知向量a=(九cos2x),^=(sin2x,n),設(shè)函數(shù)

加)“石，且”⑶的圖象過(guò)點(diǎn)臉，⑨和點(diǎn)亭-2).

(I)求的值；

<II)將y=/(x)的圖象向左平移。(0<0(萬(wàn))個(gè)單位后得到函數(shù)y=g(x)的圖象.若

y=g(x)的圖象上各最高點(diǎn)到點(diǎn)(0,3)的距離的最小值為1,求y=g(x)的單調(diào)增區(qū)間.

【解題指南】(1)先利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算寫出/(x)的函數(shù)關(guān)系式，再將已知兩點(diǎn)代入解析

式，利用待定系數(shù)法求出m,n的值.(2)先利用圖像變換法求出g(x)的解析式，再利用各最高

點(diǎn)到點(diǎn)(0,3)的距離的最小值為1,求出。值，最后利用整體代入法求出單調(diào)區(qū)間.

【解析】(I)已知/(x)=a?b=msin2x+〃cos2x,

因?yàn)?(x)過(guò)點(diǎn)(^9V3),(-y-2)

所y/(C)=msin—+HCOS—=V3

1266

￡42冗、.4乃4乃

f(——)=/7?sin----Fncos——=—2

333

18A

—m-\-----n=73

m-V3

所以2=2解得,

—走」=.2n=\

22

(II)/(x)=V3sin2x+cos2x=2sin(2x+—)

6

jr

f(x)左移(P后得到g(x)=2sin(2x+20+—)

6

設(shè)g(x)的對(duì)稱軸為％=因?yàn)?1解得/0

77

所以g(o)=2,解得e=—

6

所以g(x)=2sin(2x+—+—)=2sin(2x+—)=2cos2x

362

所以一〃+<2X<2k］,kez

冗

----\-k7C<x<krc.kez

2

所以/(x)的單調(diào)增區(qū)間為［—會(huì)+版"??］代€Z

10.(2014?天津高考理科?T15)(本小題滿分13分)

已知函數(shù)/(x)=cosx-sin(x+。一百cos?x+號(hào),xeR.

⑴求/(x)的最小正周期；

jrjr

(2)求/(x)在閉區(qū)間-上的最大值和最小值.

【解析】本小題主要考查兩角和與差的正弦公式、二倍角公式與余弦公式，三角函數(shù)的最小

正周期、單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí).考查基本運(yùn)算能力.滿分13分.

sinx+@cos容6cos2”3

(1)由已知，有/(JC)=COSXT&-

24

且C0SO+且

-sinx?cosx

224

瓦c、6

=-sin2x-——(1+cos2x)+——

444

-sin2x-

44

1.

—sin

23十

所以，/(X)的最小正周期T=§?=/?.

:胎;上是增函數(shù).

(2)因?yàn)?(X)在區(qū)間卷上是減函數(shù)，在區(qū)間

/冷4,d等=4,/爵!

所以，函數(shù)〃尤）在閉區(qū)間j|抬上的最大值為;，最小值為-1.

1.（2015?四川高考文科-T5）下列函數(shù)中,最小正周期為n的奇函數(shù)是（）

A.y=sin(2x+-)B.y=cos(2x+—)

C.y=sin2x+cos2xD.y=sinx+cosx

【解題指南】把它們化為最簡(jiǎn)形式，符合“產(chǎn)Asin2x”形式的，就是答案.

【解析】選B.

71

A:y=sin(2x+-)=cos2x;

7t

B:y=cos(2x+§)=-sin2x;

C:y=sin2x+cos2x=V2sin(2x+-);

4

D^sinx+cosx=^sin(x^).

只有B選項(xiàng)符合要求.

2.（2015?四川高考理科?T4）下列函數(shù)中,最小正周期為兀且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是

)

/71、71

A.y=cos(2x4-y)B.y=sin(2x+—)

C.y=sin2x+cos2xD.y=sinx+cosx

【解題指南】把它們化為最簡(jiǎn)形式，符合“尸Asin2x”形式的就是答案.

【解析】選A.

TC

A:y=cos(2x+—)=-sin2x;

71

B:y=sin(2x+—)=cos2x;

C:y=sin2x+cos2x=y[2sin(2x+—);

4

D:y=sinx+cosx=V2sin(x+?).

只有A選項(xiàng)符合要求.

二、填空題

3.(2015?天津高考文科?T14)已知函數(shù)f(x)=sin3x+cos3x(3>0),xGR,若函數(shù)f(x)在區(qū)

間(一3,3)內(nèi)單調(diào)遞增,且函數(shù)f(X)的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱，則3的值為.

【解析】由f(X)在區(qū)間(-3,3)內(nèi)單調(diào)遞增，且f(x)的圖象關(guān)于直線X=3對(duì)稱，可得

2a)<—，且/(0=sin〃+cos療=夜，所以sin=1,

所以6?+巴=2=><y=—.

422

【答案】—

2

4.(2015?浙江高考理科?T11)函數(shù)fi［x)=sinl2x+sinxcosx+1的最小正周期是.

單調(diào)遞減區(qū)間是.

【解題指南】先利用倍角公式化簡(jiǎn)f(。再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.

l-cos2x1._1.0萬(wàn)、3

【解析】/(x)=sin2x+sinxcosx+1--------+—sm2x+l=——sin(2x---)+一,所rrr以l

22242

最小正周期為T=空="，由2+2版包+2&萬(wàn)(kez),解得—+

22428

x^—+k7r,kez,所以單調(diào)遞減區(qū)間為［苧+&萬(wàn),?+左乃］,keZ.

888

lr\Q。/7

f(x)=—sin(2x-故最小正周期為乃，單調(diào)遞減區(qū)間為++,

24288

keZ

2》r3乃,77r,r

合案：兀,[---F&乃,---,kez

88

5.(2015?浙江高考文科?T11)函數(shù)f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是.

最小值是.

【解題指南】根據(jù)倍角公式化簡(jiǎn),依據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解.

ri\-2?,1?c1—cos2x1._1_3

【解H「】f(x)=sin-x+sinxcosx+1=—sin2x-l--------1-1=—sin2x——cos2x+—■

'/22222

6.(2015?天津高考文科?T14)已知函數(shù)［x)=sin3x+cos3x(3>0),xWR,若函數(shù)f(x)在區(qū)

間(一3,3)內(nèi)單調(diào)遞增,且函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線X=3對(duì)稱，則3的值為

【解析】由f(X)在區(qū)間G3,3)內(nèi)單調(diào)遞增，且f(X)的圖象關(guān)于直線X=3對(duì)稱，可得

f(<u)=sin<w2+cosa>2=y/2,所以sin(#+［)=1

2co<-

O)，且，

兀兀J兀

co2H

所以422

逅

【答案】2

三、解答題

7.(2015?北京高考理科.T15)(13分)已知函數(shù)/(x)=72sincossin2

(1)求/(x)的最小正周期;

(2)求/(x)在區(qū)間［一匹0］上的最小值。

iCOS

【解析】(1)/(x)=-sinx-y/2x~^=(^lsinx+—cosx)--

22222

=sin(xH—)—1,最小正周期為2萬(wàn)o

42

TT47r7tTT7T

(2)由九￡[一4,0]得XH--E[----,—]?當(dāng)XH-------，即工=------時(shí)，f(X)取

444424

最小值-1-也

2

8.(2015?北京高考文科?T15)(13分)己知函數(shù)f(x)=sinx-2V3sin21.

⑴求f(x)的最小正周期.

⑵求f(x)在區(qū)間［0,3］上的最小值.

3

TT

【解題指南］(1)先化成正弦型函數(shù)，再求最小正周期.(2)把x+g看作一個(gè)整體，求出其范圍,

再求最小值.

【解析】(l)f(x)=sinx-\/3(1-cosx)

=sinx+y/Scosx-G

=2sin(x+^)-G,所以最小正周期為2人.

3

(2)當(dāng)xW［0,y27rMx+j71e［|71-,n］.

所以當(dāng)x+二="，即x=3時(shí)取最小值-6.

33

/(x)=sin2x-sin2(x-—

9.(2015天津高考理科415)體小題滿分13分)已知函數(shù)I6<x

GR.

⑴求f(x)的最小正周期.

(2)求f(x)在區(qū)間后，總上的最大值和最小值.

1c1—cos（2x---）

、l-cos2x'3

/（X）=------------------------

【解析】⑴由已知，有22

if1-.0110

——cos2xd----sin2x——cos2x

2222

\7

V3.01）1?心吟

=——sin2x——cos2x=—sin2x---

442I6j

2萬(wàn)

----71

所以，/（X）的最小正周期T=2.

(2)因?yàn)閒(x)在區(qū)間［三-三上是減函數(shù)，在區(qū)間［，勺上是增函數(shù),

3o6434

f(q)W，吟)哼所以,付在區(qū)間心力上的最大值為*最小值為日

1.（2016?全國(guó)卷I高考文科丁6）將函數(shù)y=2sin（2x+E）的圖象向右平移1個(gè)周期后,

64

所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為（）

A.y=2sin12x+B.y=2sin12x+

C.y=2sin^2x-^D.y=2sin（2x-?

【解析】選D.由函數(shù)y=2sin（2x+'得周期T=*=TT,將函數(shù)y=2sin2x+（的圖

象向右平移［個(gè)周期，即為函數(shù)y=2sin（2x+二］的圖象向右平移二個(gè)單位，得y=

416J4

2sin+（，解得y=2sin（2x-g］.

2.（2016泗川高考理科13）為了得到函數(shù)丫=5所卜/］的圖象,只需把函數(shù)

y=sin2x的圖象上所有的點(diǎn)（）

A.向左平行移動(dòng)二個(gè)單位長(zhǎng)度

3

B.向右平行移動(dòng)二個(gè)單位長(zhǎng)度

3

C.向左平行移動(dòng)三個(gè)單位長(zhǎng)度

6

D.向右平行移動(dòng)三個(gè)單位長(zhǎng)度

6

【解題指南】根據(jù)函數(shù)圖象的平移法則判斷，注意自變量系數(shù)對(duì)平移的影響.

【解析】選D.由題意，為得到函數(shù)y=sin（2x-g卜in2（x-皆］,只需把函數(shù)

y=sin2x的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度.

3.（2016?四川高考文科丁4）為了得到函數(shù)y=sinfx+胃的圖象，只需把函數(shù)y=sinx

的圖象上所有的點(diǎn)（）

A.向左平行移動(dòng)二個(gè)單位長(zhǎng)度

3

B.向右平行移動(dòng)二個(gè)單位長(zhǎng)度

3

C.向上平行移動(dòng)N個(gè)單位長(zhǎng)度

D.向下平行移動(dòng)二個(gè)單位長(zhǎng)度

3

【解題指南】根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移法則判斷.

【解析】選A.由題意，為得到函數(shù)y=sin(x+胃，只需把函數(shù)y=sinx的圖象上所

有點(diǎn)向左平行移動(dòng)二個(gè)單位長(zhǎng)度.

3

二、填空題

4.(2016?全國(guó)卷III?文科「4)函數(shù)y=sinx-6cosx的圖象可由函數(shù)y=2sinx的圖象

至少向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到.

【解析】函數(shù)y=sinx-囪cosx=2sin(x-，根據(jù)左加右減原則可得只需將y=2sinx

向右平移三個(gè)單位即可.

3

答案:二

3

【誤區(qū)警示】注意是y=2sinx如何平移得到y(tǒng)=sinx-73cosx.

知識(shí)點(diǎn)15函數(shù)y=Asin（HLX+。）的圖像及

三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用

一、選擇題

1.（2013?大綱版全國(guó)卷高考文科-T9）

若函數(shù)〉=5皿（口%+尹）（0〉0）的部分圖象如1圖，則0=（）

A.5B.4C.3D.2

【解題指南】觀察圖象可知，x0到的圖象為整個(gè)圖象周期的一

半.

【解析】選B.由圖像可知，工=/+1—/=衛(wèi)，即7=2=生，故卬=4.

2442w

2.（2