拋物線的幾何性質(zhì)1、拋物線定義

在平面內(nèi),與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線.2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)開(kāi)口向右y2=2px(p>0)(2)開(kāi)口向左y2=-2px(p>0)(3)開(kāi)口向上x(chóng)2=2py(p>0)(4)開(kāi)口向下x2=-2py(p>0)M·Fl·e=1焦點(diǎn)準(zhǔn)線由拋物線y2=2px（p>0）有所以拋物線的范圍為如何研究拋物線y2=2px（p>0）的幾何性質(zhì)?類比橢圓和雙曲線可以從幾個(gè)方面來(lái)研究？1、范圍關(guān)于x軸對(duì)稱即點(diǎn)(x,-y)

也在拋物線上,故拋物線y2=2px(p>0)關(guān)于x軸對(duì)稱.則(-y)2=2px若點(diǎn)(x,y)在拋物線上,即滿足y2=2px，2、對(duì)稱性

定義：拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)稱為拋物線的頂點(diǎn)。y2=2px(p>0)中，令y=0,則x=0.即：拋物線y2=2px(p>0)的頂點(diǎn)是（0，0）.3、頂點(diǎn)P(x,y)

拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離之比，叫做拋物線的離心率。

由定義知，拋物線y2=2px(p>0)的離心率為e=1.4、離心率xyOFABy2=2px2p過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦AB，稱為拋物線的通徑，利用拋物線的頂點(diǎn)、通徑的兩個(gè)端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫(huà)出反映拋物線基本特征的草圖.|AB|=2p2p越大，拋物線張口越大.5、通徑連接拋物線任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的線段叫做拋物線的焦半徑。焦半徑公式：xyOFP(x0,y0)6、焦半徑1、當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，2、當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，方程圖形范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)焦半徑離心率通徑

y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO關(guān)于x軸對(duì)稱

關(guān)于x軸對(duì)稱

關(guān)于y軸對(duì)稱

關(guān)于y軸對(duì)稱（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）2p2p2p2p1111歸納:

(1)、拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無(wú)限延伸，但沒(méi)有漸近線；

(2)、拋物線只有一條對(duì)稱軸,沒(méi)有對(duì)稱中心;(3)、拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線；

(4)、拋物線的離心率e是確定的為１,⑸、拋物線的通徑為2P,2p越大，拋物線的張口越大.

例１：已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（２，），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程，并用描點(diǎn)法畫(huà)出圖形。

因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（２，），解：所以設(shè)方程為：又因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上：所以：因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：例題講解：作圖：(1)列表（在第一象限內(nèi)列表）x01234…y…(2)描點(diǎn)：(3)連線：11xyO對(duì)應(yīng)訓(xùn)練：求適合下列條件的拋物線的方程：（1）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F為（0，5）;（2）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于x軸對(duì)稱,并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(5,-4).探照燈、汽車前燈的反光曲面，手電筒的反光鏡面、太陽(yáng)灶的鏡面都是拋物鏡面。拋物鏡面：拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面。燈泡放在拋物線的焦點(diǎn)位置上，通過(guò)鏡面反射就變成了平行光束，這就是探照燈、汽車前燈、手電筒的設(shè)計(jì)原理。平行光線射到拋物鏡面上，經(jīng)鏡面反射后，反射光線都經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，這就是太陽(yáng)灶能把光能轉(zhuǎn)化為熱能的理論依據(jù)。光學(xué)性質(zhì)：例2：探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處。已知燈口圓的直徑為60cm，燈深40cm，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)位置。xyO(40,30)解:所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系,使反射鏡的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,x軸垂直于燈口直徑.在探照燈的軸截面設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=2px由條件可得A(40,30),代入方程得:302=2p·40解之:p=故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=x,焦點(diǎn)為(,0)

1、已知點(diǎn)A（-2，3）與拋物線的焦點(diǎn)的距離是5，則P

=

。

2、拋物線的弦AB垂直x軸，若|AB|=，則焦點(diǎn)到AB的距離為

。42鞏固提高：3、求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在直線x-2y-4=0上.拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無(wú)限延伸，但沒(méi)有漸近線；拋物線只有一條對(duì)稱軸,沒(méi)有對(duì)稱中心;拋物線的離心率是確定的，等于１；拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線；拋物線的通徑為2P,2P越大，拋物線的張口越大.1、范圍：2、對(duì)稱性：3、頂點(diǎn)：4、離心率：5、通徑：6、光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光線，通過(guò)拋物線反射就變成了平行光束.你學(xué)會(huì)了嗎？

過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問(wèn)題例2：過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作傾斜角為45度的直線交拋物線與A，B兩點(diǎn)，求∣AB∣

xyOFAB考點(diǎn)2分析，求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式可得∣AB∣解（法一）由條件可得F（1，0）則直線的方程為：y=x-1

由

可得解得由兩點(diǎn)距離公式可得∣AB∣=8（法二）利用方程，利用弦長(zhǎng)公式同樣可得∣AB∣=8xyOFAB分析：利用拋物線性質(zhì)解決問(wèn)題解(法三)如圖可知設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)∣AB∣=∣AF∣+∣BF∣=x1+1+x2+1=x1+x2+1+1由上知x1，x2是方程的兩根，故x1+x2=6，所以∣AB∣=6+2=8xyOFABB’A’一般地:若過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的直線交拋物線A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則∣AB∣有最小值嗎？若有又為多少？想一想？？運(yùn)用2、過(guò)拋物線的焦點(diǎn),作傾斜角為的直線,則被拋物線截得的弦長(zhǎng)為？運(yùn)用1、過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),如果x1+x2=6,求|AB|的值練習(xí)、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上，求拋物線通徑長(zhǎng).xyO1、相離；2、相切；3、相交（一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)）考點(diǎn)三、直線與拋物線位置關(guān)系1、直線與拋物線的對(duì)稱軸平行例：計(jì)算直線y=6與拋物線y2=4x的位置關(guān)系計(jì)算結(jié)果：得到一元一次方程，容易解出交點(diǎn)坐標(biāo)xyO2、直線與拋物線的對(duì)稱軸不平行計(jì)算直線y=x-1與拋物線y2=4x的位置關(guān)系計(jì)算結(jié)果：得到一元二次方程，需計(jì)算判別式。相交。xyO例3、已知拋物線的方程為y2=4x,直線l過(guò)定點(diǎn)P（-2，1）,斜率為k,當(dāng)k為何值時(shí)，直線l與拋物線：（1）兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）沒(méi)