平面向量及其運算平面向量及其運算/NUMPAGES9平面向量及其運算平面向量及其運算1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量，向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小。②零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行。③單位向量：模為1個單位長度的向量。④相等向量：長度相等且方向相同的向量。⑤平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量。向量加減法：①求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法則和平行四邊形法則。②向量的減法向量加上的相反向量，叫做與的差。即：=+()；可以表示為從的終點指向的終點的向量（、有共同起點。③實數(shù)與向量的積：實數(shù)λ與向量的積是一個向量，記作λ，它的長度與方向規(guī)定如下：（Ⅰ）；（Ⅱ）當時，λ的方向與的方向相同；當時，λ的方向與的方向相反；當時，，方向是任意的。④兩個向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個實數(shù)，使得=。3、平面向量的坐標表示（1）平面向量的坐標表示：平面內(nèi)的任一向量可表示成，記作=(x,y)。（2）平面向量的坐標運算：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).①若，則②若，則③若，則④若，則；若，則注意：與軸、軸方向相同兩個單位向量、是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2我們把不共線向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；由定理可將任一向量ａ在給出基底、的條件下進行分解；基底給定時，分解形式惟一.λ1，λ2是被，、唯一確定的數(shù)量。⑤向量運算運算律：；；；4、平面向量的數(shù)量積：（1）“投影”的概念：||cos叫做向量在方向上的投影（2）；規(guī)定；幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上投影||cos的乘積（3）設(shè)和都是非零向量，則=1\*GB3①．=2\*GB3②當與同向時，；當與反向時，；或．=3\*GB3③．（4）運算律：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③（5）坐標運算：若，則，或；設(shè)非零向量，，則；．1.已知，其中。⑴求證：與互相垂直；⑵若與（）的長度相等，求。2.(2013·江蘇)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝eq\r(2)，求證：a⊥b；(2)設(shè)c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．3.已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量m＝(4，－1)，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2\f(A,2)，cos2A))，且m·n＝eq\f(7,2).(1)求角A的大??；(2)若a＝eq\r(3)，試判斷bc取得最大值時△ABC的形狀。4.設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，eq\r(3)sin2x)，x∈R.(1)若f(x)＝1－eq\r(3)且x∈[－eq\f(π,3)，eq\f(π,3)]，求x；(2)若y＝2sin2x的圖象按向量c＝(m，n)(|m|<eq\f(π,2))平移后得到y(tǒng)＝f(x)的圖象，求實數(shù)m、n的值。5.已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))=3i－4j，eq\o(OB,\s\up6(→))=6i－3j，eq\o(OC,\s\up6(→))=（5－m）i－（4＋m）j，其中i、j分別是直角坐標系內(nèi)x軸與y軸正方向上的單位向量。（1）若A、B、C能構(gòu)成三角形，求實數(shù)m應滿足的條件；（2）若ΔABC為直角三角形，且∠A為直角，求實數(shù)m的值。1．下列命題中正確的是（）A．B．C．D．2．設(shè)點，,若點在直線上，且，則點的坐標為（）A．B．C．或D．無數(shù)多個3．若平面向量與向量的夾角是，且，則()A．B．C．D．4．向量，，若與平行，則等于

A．B．C．D．5．若是非零向量且滿足，，則與的夾角是（）A．B．C．D．6．設(shè)，，且，則銳角為（）A．B．C．D．7．若，且，則向量與的夾角為．8．已知向量，，，若用和表示，則=____。9．若,，與的夾角為，若，則的值為．1