第1頁(yè)（共1頁(yè)）2020-2021學(xué)年廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）“ab＜0”是方程ax2+by2＝c表示雙曲線的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（5分）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．若S4＝20，a5＝10，則a16＝（）A．﹣32 B．12 C．16 D．323．（5分）函數(shù)f（x）＝﹣lnx+2x2的遞增區(qū)間是（）A．和 B． C． D．4．（5分）設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．5．（5分）已知函數(shù)f（x）＝x2+xsinx，x∈（﹣，），則下列式子成立的是（）A． B． C． D．6．（5分）已知雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線與拋物線y2＝2px（p＞0）的準(zhǔn)線分別交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為，則p＝（）A．1 B． C．2 D．37．（5分）已知函數(shù)f（x）＝x+．若曲線y＝f（x）存在兩條過(guò)（1，0）點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） C．（﹣∞，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）8．（5分）已知函數(shù)，若x＝1是函數(shù)f（x）的唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．（﹣∞，e] B．（﹣∞，e） C．（﹣e，+∞） D．[﹣e，+∞）二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．（多選）9．（5分）與直線x+y﹣＝0僅有一個(gè)公共點(diǎn)的曲線是（）A．x2+y2＝1 B． C．x2﹣y2＝1 D．y2＝x（多選）10．（5分）對(duì)于函數(shù)f（x）＝，下列說(shuō)法正確的有（）A．f（x）在x＝e處取得極大值 B．f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn) C．f（2）＜f（π）＜f（3） D．若f（x）＜k﹣在（0，+∞）上恒成立，則k＞1（多選）11．（5分）已知拋物線C：y2＝4x，焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)的直線l拋物線C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法一定正確的是（）A．|AB|的最小值為2 B．線段AB為直徑的圓與直線x＝﹣1相切 C．x1x2為定值 D．若M（﹣1，0），則∠AMF＝∠BMF（多選）12．（5分）已知數(shù)列{an}，{bn}均為遞增數(shù)列，{an}的前n項(xiàng)和為Sn，{bn}的前n項(xiàng)和為Tn．且滿足an+an+1＝2n，bn?bn+1＝2n（n∈N*），則下列說(shuō)法正確的有（）A．0＜a1＜1 B．1＜b1＜ C．S2n＜T2n D．S2n≥T2n三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．（5分）已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿足f（x）＝2xf′（e）+lnx，則f′（e）＝．14．（5分）數(shù)列{an}滿足a1＝，a1+a2+…+an＝n2an，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為．15．（5分）光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被橢圓反射后會(huì)經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)射出．如圖，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的橢圓Γ與雙曲線Γ'構(gòu)成，現(xiàn)一光線從左焦點(diǎn)F1發(fā)出，依次Γ'與Γ反射，又回到了點(diǎn)F1，歷時(shí)t1秒；若將裝置中的Γ'去掉，此光線從點(diǎn)F1發(fā)出，經(jīng)Γ兩次反射后又回到了點(diǎn)F1，歷時(shí)t2秒；若t2＝4t1，則Γ與Γ'的離心率之比為．16．（5分）設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）＝x3﹣ax2+（a2﹣1）x在（﹣∞，0）和（1，+∞）都是增函數(shù)，則a的取值范圍是．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）已知函數(shù)f（x）＝x3+﹣2x．（1）求函數(shù)y＝f（x）的圖象在x＝1處的切線方程；（2）求函數(shù)y＝f（x）在[﹣2，1]上的最大值與最小值．18．（12分）已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Sn．19．（12分）如圖，已知拋物線C：y＝，直線y＝kx+2交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）證明：OA⊥OB；（2）設(shè)拋物線C在點(diǎn)A處的切線為l1，在點(diǎn)B處的切線為l2，證明：l1與l2的交點(diǎn)M在一定直線上．20．（12分）如圖，某大型水上樂(lè)園內(nèi)有一塊矩形場(chǎng)地ABCD，AB＝120米，AD＝80米，以AD，BC為直徑的半圓O1和半圓O2（半圓在矩形ABCD內(nèi)部）為兩個(gè)半圓形水上主題樂(lè)園，BC，CD，DA都建有圍墻，游客只能從線段AB處進(jìn)出該主題樂(lè)園．為了進(jìn)一步提高經(jīng)濟(jì)效益，水上樂(lè)園管理部門決定沿著，修建不銹鋼護(hù)欄，沿著線段EF修建該主題樂(lè)園大門并設(shè)置檢票口，其中E，F(xiàn)分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，EF∥AB，且線段EF與線段AB在圓心O1和O2連線的同側(cè)．已知弧線部分的修建費(fèi)用為200元/米，直線部門的平均修建費(fèi)用為400元/米．（1）若EF＝80米，則檢票等候區(qū)域（其中陰影部分）面積為多少平方米？（2）試確定點(diǎn)E的位置，使得修建費(fèi)用最低．21．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F（﹣，0），且右頂點(diǎn)為D（2，0）．設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，）．（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)原點(diǎn)O的直線交橢圓于點(diǎn)B、C，求△ABC面積的最大值．22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝lnx+﹣（a+1）x．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2．①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②證明：x1?x2＞e2．

2020-2021學(xué)年廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）“ab＜0”是方程ax2+by2＝c表示雙曲線的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】運(yùn)用反例，特殊值，結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷．【解答】解：若a＝1，b＝﹣1，c＝0，則不能表示雙曲線，不是充分條件，反之，若方程ax2+by2＝c表示雙曲線，則a，b異號(hào)，是必要條件，故ab＜0是方程ax2+by2＝c表示雙曲線的必要不充分條件，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了充分必要條件的定義，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．若S4＝20，a5＝10，則a16＝（）A．﹣32 B．12 C．16 D．32【分析】設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由已知列關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程組，求出首項(xiàng)與公差，則答案可求．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由S4＝20，a5＝10，得，解得a1＝d＝2．∴a16＝a1+15d＝2+15×2＝32．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，是基礎(chǔ)題．3．（5分）函數(shù)f（x）＝﹣lnx+2x2的遞增區(qū)間是（）A．和 B． C． D．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可．【解答】解：f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）＝﹣+4x＝，令f′（x）＞0，解得：x＞，故f（x）在（，+∞）遞增，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．4．（5分）設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【分析】先設(shè)出雙曲線方程，則F，B的坐標(biāo)可得，根據(jù)直線FB與漸近線y＝垂直，得出其斜率的乘積為﹣1，進(jìn)而求得b和a，c的關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)雙曲線方程a，b和c的關(guān)系進(jìn)而求得a和c的等式，則雙曲線的離心率可得．【解答】解：設(shè)雙曲線方程為，則F（c，0），B（0，b）直線FB：bx+cy﹣bc＝0與漸近線y＝垂直，所以，即b2＝ac所以c2﹣a2＝ac，即e2﹣e﹣1＝0，所以或（舍去）故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的焦點(diǎn)、虛軸、漸近線、離心率，考查了兩條直線垂直的條件，考查了方程思想．5．（5分）已知函數(shù)f（x）＝x2+xsinx，x∈（﹣，），則下列式子成立的是（）A． B． C． D．【分析】由奇偶性的定義得到函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)f（x）在上為增函數(shù)，則函數(shù)在上為減函數(shù)．結(jié)合單調(diào)性和奇偶性即可判斷出答案．【解答】解：函數(shù)f（x）＝x2+xsinx，x∈（﹣，），定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）sin（﹣x）＝x2+xsinx＝f（x）．∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，∴f（﹣1）＝f（1）．又當(dāng)x∈時(shí)，f′（x）＝2x+sinx+x?cosx＞0．∴f（x）在上為增函數(shù)，則f（x）在上為減函數(shù)．∵，∴，則．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號(hào)之間的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．6．（5分）已知雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線與拋物線y2＝2px（p＞0）的準(zhǔn)線分別交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為，則p＝（）A．1 B． C．2 D．3【分析】求出雙曲線的漸近線方程與拋物線y2＝2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程，進(jìn)而求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為，列出方程，由此方程求出p的值．【解答】解：∵雙曲線，∴雙曲線的漸近線方程是y＝±x又拋物線y2＝2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程是x＝﹣，故A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是y＝±，雙曲線的離心率為2，所以，∴則，A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是y＝±＝，又，△AOB的面積為，x軸是角AOB的角平分線∴，得p＝2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐曲線的共同特征，解題的關(guān)鍵是求出雙曲線的漸近線方程，解出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，列出三角形的面積與離心率的關(guān)系也是本題的解題關(guān)鍵，有一定的運(yùn)算量，做題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)，防運(yùn)算出錯(cuò)．7．（5分）已知函數(shù)f（x）＝x+．若曲線y＝f（x）存在兩條過(guò)（1，0）點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） C．（﹣∞，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，寫出切線方程，將點(diǎn)（1，0）代入得到2x02+2ax0﹣a＝0，由題意存在兩條切線，可得方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，由判別式大于0可得答案．【解答】解：f（x）＝x+．f′（x）＝1﹣，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，x0+），則切線方程為：y﹣x0﹣＝（）（x﹣x0），又切線過(guò)點(diǎn)（1，0），可得﹣x0﹣＝（）（1﹣x0），整理得2x02+2ax0﹣a＝0，曲線存在兩條切線，故方程有兩個(gè)不等實(shí)根，即滿足Δ＝4a2﹣8（﹣a）＞0，解得a＞0或a＜﹣2，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查過(guò)某點(diǎn)的切線方程的求法和切線的條數(shù)問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．8．（5分）已知函數(shù)，若x＝1是函數(shù)f（x）的唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．（﹣∞，e] B．（﹣∞，e） C．（﹣e，+∞） D．[﹣e，+∞）【分析】由f（x）的導(dǎo)函數(shù)形式可以看出ex﹣kx＝0在（0，+∞）無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，令g（x）＝ex﹣kx，g′（x）＝ex﹣k，需要對(duì)k進(jìn)行分類討論來(lái)確定導(dǎo)函數(shù)為0時(shí)的根．【解答】解：∵函數(shù)的定義域是（0，+∞），∴f′（x）＝＝．x＝1是函數(shù)f（x）的唯一一個(gè)極值點(diǎn)∴x＝1是導(dǎo)函數(shù)f′（x）＝0的唯一根．∴ex﹣kx＝0在（0，+∞）無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，令g（x）＝ex﹣kxg′（x）＝ex﹣k①k≤0時(shí)，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）時(shí)單調(diào)遞增的g（x）的最小值為g（0）＝1，g（x）＝0無(wú)解②k＞0時(shí)，g′（x）＝0有解為：x＝lnk0＜x＜lnk時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減lnk＜x時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增∴g（x）的最小值為g（lnk）＝k﹣klnk∴k﹣klnk≥0∴k≤e，由y＝ex和y＝ex圖象，它們切于（1，e），ex﹣kx＝0在（0，+∞）無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，綜上所述，k≤e．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)確定極值問(wèn)題．對(duì)參數(shù)需要進(jìn)行討論．屬于中檔題．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．（多選）9．（5分）與直線x+y﹣＝0僅有一個(gè)公共點(diǎn)的曲線是（）A．x2+y2＝1 B． C．x2﹣y2＝1 D．y2＝x【分析】判斷直線與圓，橢圓，雙曲線已經(jīng)拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得到選項(xiàng)．【解答】解：直線與x2+y2＝1相切，所以只有一個(gè)公共點(diǎn)；所以A正確；直線經(jīng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，經(jīng)過(guò)（0，），所以直線與橢圓有2個(gè)交點(diǎn)，所以B不正確．直線平行于雙曲線的漸近線，所以直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，所以C正確；直線與拋物線y2＝x有2個(gè)交點(diǎn)，所以D不正確；故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷，是基本知識(shí)的考查，基礎(chǔ)題．（多選）10．（5分）對(duì)于函數(shù)f（x）＝，下列說(shuō)法正確的有（）A．f（x）在x＝e處取得極大值 B．f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn) C．f（2）＜f（π）＜f（3） D．若f（x）＜k﹣在（0，+∞）上恒成立，則k＞1【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，極值，函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．【解答】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）＝，（x＞0），令f′（x）＝0得x＝e，則當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，則當(dāng)x＝e時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值為f（e）＝，故A正確，當(dāng)x→0，f（x）→﹣∞，x→+∞，f（x）→0，則f（x）的圖象如圖：由f（x）＝0得lnx＝0得x＝1，即函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤，f（4）＝＝f（2），函數(shù)f（x）在x＞e時(shí)為減函數(shù)，∴f（3）＞f（π）＞f（4），故f（2）＜f（π）＜f（3）成立，故C正確，若f（x）＜k﹣在（0，+∞）上恒成立，則k＞+，設(shè)h（x）＝+，（x＞0），則h′（x）＝﹣，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜0，即當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)h（x）取得極大值同時(shí)也是最大值h（1）＝1，∴k＞1成立，故D正確故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的單調(diào)性，極值，函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．（多選）11．（5分）已知拋物線C：y2＝4x，焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)的直線l拋物線C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法一定正確的是（）A．|AB|的最小值為2 B．線段AB為直徑的圓與直線x＝﹣1相切 C．x1x2為定值 D．若M（﹣1，0），則∠AMF＝∠BMF【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)和定義即可判斷AB，根據(jù)直線和拋物線的位置關(guān)系，利用韋達(dá)定理可判斷CD．【解答】解：拋物線C：y2＝4x，焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，過(guò)焦點(diǎn)的弦中通徑最短，所以|AB|的最小值為2p＝4，故A不正確，如圖：設(shè)線段AB的中點(diǎn)為D，過(guò)點(diǎn)A，B，D作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A1，B1，D1，由拋物線的定義可得|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，所以|DD1|＝（|AA1|+|BB1|）＝|AB|，所以以線段AB為直徑的圓與直線x＝﹣1相切，故B正確；設(shè)直線AB所在的直線方程為x＝ny+1，由，消去x可得y2﹣4ny﹣4＝0，所以y1+y2＝4n，y1y2＝﹣4，所以x1x2＝＝1，故C正確；所以kAM+kBM＝+＝＝＝＝0，故D正確．故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題．（多選）12．（5分）已知數(shù)列{an}，{bn}均為遞增數(shù)列，{an}的前n項(xiàng)和為Sn，{bn}的前n項(xiàng)和為Tn．且滿足an+an+1＝2n，bn?bn+1＝2n（n∈N*），則下列說(shuō)法正確的有（）A．0＜a1＜1 B．1＜b1＜ C．S2n＜T2n D．S2n≥T2n【分析】利用代入法求出前幾項(xiàng)的關(guān)系即可判斷出a1，b1的取值范圍，在求出其前2n項(xiàng)和的表達(dá)式即可判斷大小；【解答】解：∵數(shù)列{an}為遞增數(shù)列；∴a1＜a2＜a3；∵an+an+1＝2n，∴；∴∴0＜a1＜1；故A正確．∴S2n＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）＝2+6+10+…+2（2n﹣1）＝2n2；∵數(shù)列{bn}為遞增數(shù)列；∴b1＜b2＜b3；∵bn?bn+1＝2n∴；∴；∴1＜b1＜，故B正確．∵T2n＝b1+b2+…+b2n＝（b1+b3+b5+…+b2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）＝；∴對(duì)于任意的n∈N*，S2n＜T2n；故C正確，D錯(cuò)誤．故選：ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列的綜合運(yùn)用，考查學(xué)生的分析能力與計(jì)算能力．屬于中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．（5分）已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿足f（x）＝2xf′（e）+lnx，則f′（e）＝﹣．【分析】利用求導(dǎo)法則求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，把x＝e代入導(dǎo)函數(shù)中得到關(guān)于f′（e）的方程，求出方程的解即可得到f′（e）的值．【解答】解：求導(dǎo)得：f′（x）＝2f'（e）+，把x＝e代入得：f′（e）＝e﹣1+2f′（e），解得：f′（e）＝﹣e﹣1，故答案為：﹣【點(diǎn)評(píng)】本題要求學(xué)生掌握求導(dǎo)法則．學(xué)生在求f（x）的導(dǎo)函數(shù)時(shí)注意f′（e）是一個(gè)常數(shù)，這是本題的易錯(cuò)點(diǎn)．14．（5分）數(shù)列{an}滿足a1＝，a1+a2+…+an＝n2an，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝，（n∈N?）．【分析】根據(jù)條件，利用作差法，以及累積法進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵a1+a2+…+an＝n2an，∴當(dāng)n≥2時(shí)，a1+a2+…+an﹣1＝（n﹣1）2an﹣1，兩式作差得an＝n2an﹣（n﹣1）2an﹣1，即（n2﹣1）an＝（n﹣1）2an﹣1，（n+1）（n﹣1）an＝（n﹣1）2an﹣1，即（n+1）an＝（n﹣1）an﹣1，即＝，則＝，＝，＝…＝，則??…＝??…＝＝，即＝，即an＝×＝，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝，滿足an，故an＝，（n∈N?）故答案為：an＝，（n∈N?）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，利用作差法以及累積法是解決本題的關(guān)鍵．15．（5分）光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被橢圓反射后會(huì)經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)射出．如圖，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的橢圓Γ與雙曲線Γ'構(gòu)成，現(xiàn)一光線從左焦點(diǎn)F1發(fā)出，依次Γ'與Γ反射，又回到了點(diǎn)F1，歷時(shí)t1秒；若將裝置中的Γ'去掉，此光線從點(diǎn)F1發(fā)出，經(jīng)Γ兩次反射后又回到了點(diǎn)F1，歷時(shí)t2秒；若t2＝4t1，則Γ與Γ'的離心率之比為1：2．【分析】在圖1中，結(jié)合橢圓和雙曲線的定義，可推出△ABF1的周長(zhǎng)為2a1﹣2a2，在圖2中，由橢圓的定義，可得△CDF1的周長(zhǎng)為4a1，從而有＝，再由e＝，可得解．【解答】解：在圖1中，由橢圓的定義知，BF1+BF2＝2a1①，由雙曲線的定義知，AF2﹣AF1＝2a2②，①﹣②得，BF1+AF1+BF2﹣AF2＝BF1+AF1+AB＝2a1﹣2a2，∴△ABF1的周長(zhǎng)為2a1﹣2a2，在圖2中，由橢圓的定義知，△CDF1的周長(zhǎng)為4a1，∵光線的速度相同，且t2＝4t1，∴＝＝，∴a1＝2a2，∵橢圓和雙曲線共焦點(diǎn)，∴＝＝＝．故答案為：1：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓和雙曲線的定義與幾何性質(zhì)，熟練掌握橢圓和雙曲線中a、b、c的含義與關(guān)系是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．16．（5分）設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）＝x3﹣ax2+（a2﹣1）x在（﹣∞，0）和（1，+∞）都是增函數(shù)，則a的取值范圍是．【分析】先對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)得到一個(gè)二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)令f'（x）≥0在（﹣∞，0）和（1，+∞）成立，解出a的值．【解答】解：f'（x）＝3x2﹣2ax+（a2﹣1），其判別式Δ＝4a2﹣12a2+12＝12﹣8a2，（?。┤籀ぃ?2﹣8a2＝0，即a＝±，當(dāng)x∈（﹣∞，），或x∈（，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）為增函數(shù)，所以a＝±；（ⅱ）若Δ＝12﹣8a2＜0，恒有f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）為增函數(shù)，所以a2＞，即a∈（﹣∞，﹣）∪（，+∞）（ⅲ）若△12﹣8a2＞0，即﹣＜a＜，令f'（x）＝0，解得x1＝，x2＝，當(dāng)x∈（﹣∞，x1），或x∈（x2，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；當(dāng)x∈（x1，x2）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)．依題意x1≥0且x2≤1．由x1≥0得a≥，解得1≤a＜，由x2≤1得≤3﹣a，解得﹣＜a＜，從而a∈[1，）．綜上，a的取值范圍為（﹣∞，﹣]∪[，+∞）∪[1，），即a∈（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）已知函數(shù)f（x）＝x3+﹣2x．（1）求函數(shù)y＝f（x）的圖象在x＝1處的切線方程；（2）求函數(shù)y＝f（x）在[﹣2，1]上的最大值與最小值．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；（2）解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值即可．【解答】解：（1）∵，∴f'（x）＝3x2+x﹣2，∴，f'（1）＝2，∴函數(shù)y＝f（x）的圖象在x＝1處的切線方程為：，即4x﹣2y﹣5＝0．（2）令f'（x）＝3x2+x﹣2＝0，得x1＝﹣1與，當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）、f（x）的變化如下表：x（﹣2，﹣1）﹣1f'（x）+0﹣0+f（x）↗↘↗所以，x1＝﹣1與是函數(shù)在（﹣2，1）上的兩個(gè)極值點(diǎn)，而f（﹣2）＝﹣2，，，，∴函數(shù)y＝f（x）在[﹣2，1]上的最大值是，最小值是f（﹣2）＝﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性，最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是中檔題．18．（12分）已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Sn．【分析】（1）等差數(shù)列{an}的公差設(shè)為d，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，即可得到所求通項(xiàng)公式；（2）求得＝（2﹣n）?（）n﹣1，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求和．【解答】解：（1）等差數(shù)列{an}的公差設(shè)為d，a2＝0，a6+a8＝﹣10，可得a1+d＝0，a1+5d+a1+7d＝﹣10，解得a1＝1，d＝﹣1，則an＝a1+（n﹣1）d＝1﹣n+1＝2﹣n，n∈N*；（2）＝（2﹣n）?（）n﹣1，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和設(shè)為Sn，Sn＝1?（）0+0?（）+（﹣1）?（）2+…+（3﹣n）?（）n﹣2+（2﹣n）?（）n﹣1，Sn＝1?（）+0?（）2+（﹣1）?（）3+…+（3﹣n）?（）n﹣1+（2﹣n）?（）n，上面兩式相減可得，Sn＝1+（﹣1）[（）+（）2+…+（）n﹣2+（）n﹣1]﹣（2﹣n）?（）n＝1+（﹣1）?﹣（2﹣n）?（）n，可得Sn＝n?（）n﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)和方程思想，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．19．（12分）如圖，已知拋物線C：y＝，直線y＝kx+2交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）證明：OA⊥OB；（2）設(shè)拋物線C在點(diǎn)A處的切線為l1，在點(diǎn)B處的切線為l2，證明：l1與l2的交點(diǎn)M在一定直線上．【分析】（1）設(shè)，，把y＝kx+2代入，得x2﹣2kx﹣4＝0．利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積求解證明即可．（2）求出導(dǎo)數(shù)y'＝x，利用切線方程，求解M的坐標(biāo)，即可得到結(jié)果．【解答】證明：（1）設(shè)，，把y＝kx+2代入，得x2﹣2kx﹣4＝0．由韋達(dá)定理得x1+x2＝2k，x1x2＝﹣4．∴．∴OA⊥OB．（2）∵，∴y'＝x，故經(jīng)過(guò)點(diǎn)的切線l1的方程為：，即，①同理，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的切線l2的方程為：，②①×x2﹣②×x1，得．即點(diǎn)M在直線l：y＝﹣2上．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．20．（12分）如圖，某大型水上樂(lè)園內(nèi)有一塊矩形場(chǎng)地ABCD，AB＝120米，AD＝80米，以AD，BC為直徑的半圓O1和半圓O2（半圓在矩形ABCD內(nèi)部）為兩個(gè)半圓形水上主題樂(lè)園，BC，CD，DA都建有圍墻，游客只能從線段AB處進(jìn)出該主題樂(lè)園．為了進(jìn)一步提高經(jīng)濟(jì)效益，水上樂(lè)園管理部門決定沿著，修建不銹鋼護(hù)欄，沿著線段EF修建該主題樂(lè)園大門并設(shè)置檢票口，其中E，F(xiàn)分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，EF∥AB，且線段EF與線段AB在圓心O1和O2連線的同側(cè)．已知弧線部分的修建費(fèi)用為200元/米，直線部門的平均修建費(fèi)用為400元/米．（1）若EF＝80米，則檢票等候區(qū)域（其中陰影部分）面積為多少平方米？（2）試確定點(diǎn)E的位置，使得修建費(fèi)用最低．【分析】（1）利用已知條件，轉(zhuǎn)化求解檢票等候區(qū)域（其中陰影部分）面積．（2）設(shè)，則＝，EF＝120﹣2×40sinθ＝120﹣80sinθ，修建費(fèi)用f（θ）＝200×80θ+400×（120﹣80sinθ）＝16000（θ+3﹣2sinθ），利用函數(shù)是導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化求解，最小值即可．【解答】解：（1）如圖，ME＝20米，O1M＝20米，梯形O1O2FE的面積為平方米．矩形AO1O2B的面積為4800平方米．∠AO1E＝，扇形O1AE和扇形O2FB的面積均為平方米，所以陰影部分面積為4800﹣2000平方米．答：檢票等候區(qū)域（圖中陰影部分）面積為4800﹣2000平方米．（2）設(shè)，則＝，EF＝120﹣2×40sinθ＝120﹣80sinθ，修建費(fèi)用f（θ）＝200×80θ+400×（120﹣80sinθ）＝16000（θ+3﹣2sinθ），f'（θ）＝16000（1﹣2cosθ），令f'（θ）＝0，則θ＝，θf(wàn)'（θ）﹣0+f（θ）減函數(shù)極小值增函數(shù)所以，當(dāng)θ＝時(shí)，即∠AO1E＝，修建費(fèi)用最低．答：當(dāng)∠AO1E為時(shí)，修建費(fèi)用最低．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．21．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F（﹣，0），且右頂點(diǎn)為D（2，0）．設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，）．（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)原點(diǎn)O的直線交橢圓于點(diǎn)B、C，求△ABC面積