第1頁（共1頁）2020-2021學(xué)年廣東省深圳市高一（下）期末數(shù)學(xué)調(diào)研練習試卷一、單項選擇題：本題共8道小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）已知集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，6，7}，則A∩B＝（）A．{1，5} B．{3，7} C．{2，4，6} D．[1，2，3，4，5，6，7}2．（5分）復(fù)數(shù)（其中i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）已知x是實數(shù)，則“x≥5”是“x2﹣7x+12＞0”的（）A．充分不必要條件 B．充要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件4．（5分）甲、乙兩同學(xué)進行罰球比賽，罰中得1分，罰丟不得分．已知甲乙兩同學(xué)的罰球命中率分別為80%和70%，且兩人的投籃結(jié)果相互獨立．現(xiàn)甲、乙兩人各罰球一次，則兩人得分相同的概率為（）A．56% B．62% C．70% D．80%5．（5分）如圖，在△ABC中，點D是線段AB上靠近A的三等分點，點E是線段CD的中點，則（）A．＝﹣ B．＝+ C．＝﹣ D．＝+6．（5分）據(jù)市場調(diào)查，某超市的某種商品每月的銷售量y（單位：百件）與銷售價格x（單位：元/件）滿足關(guān)系式，其中20＜x＜50．已知該商品的成本為10元/件，則該超市每月銷售該商品所獲得利潤的最小值為（）A．800元 B．8000元 C．900元 D．9000元7．（5分）已知菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，將△ABD沿BD折起至△A'BD，使平面A'BD⊥平面BCD，則四面體A'BCD中，CD與A'B所成角的余弦值為（）A．0 B． C． D．8．（5分）如圖，已知在Rt△ABC中，A＝30°，BC＝1，點D，E分別為線段AC，AB上的動點，若，則DE的最小值為（）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。（多選）9．（5分）已知為非零平面向量，則下列說法正確的有（）A． B． C．若，則 D．（多選）10．（5分）已知l，m，n為空間中三條不同的直線，α，β，γ為空間中三個不同的平面，則下列說法中正確的有（）A．若l⊥α，m⊥l，則m∥α B．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，則l⊥γ C．若α∥β，l，m分別與α，β所成的角相等，則l∥m D．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，若l∩m＝P，則n，l，m交于同一點P（多選）11．（5分）下列說法正確的有（）A． B．0.20.3＜log0.20.1 C．3.40.6＞1.80.6 D．（多選）12．（5分）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A．存在實數(shù)a，b使得函數(shù)f（x）為奇函數(shù) B．若函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過原點，且無限接近直線y＝2，則b＝2 C．若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]上單調(diào)遞減，則a＞0 D．當a∈[﹣1，1]時，若對?x∈[﹣1，1]，函數(shù)f（x）≤1恒成立，則b的取值范圍為b≤1三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）若，則＝．14．（5分）為研究高校師生外賣食品消費情況與超重肥胖之間的關(guān)聯(lián)，把某市高校400000名師生按照專業(yè)分為醫(yī)學(xué)專業(yè)和其他專業(yè)兩類，其中醫(yī)學(xué)專業(yè)師生共50000名．現(xiàn)通過分層抽樣抽取師生1200名進行問卷調(diào)查．則醫(yī)學(xué)專業(yè)應(yīng)抽取師生名．15．（5分）為實現(xiàn)學(xué)生高中選科和大學(xué)專業(yè)選擇的有效銜接，廣東省于2019年采用“3+1+2”模式改革考試科目設(shè)置，即考生總成績由統(tǒng)一高考的語文、數(shù)學(xué)、外語3個科目成績，物理或歷史中的1門成績，和生物、政治、地理、化學(xué)中的2個科目成績組成．在選擇物理的學(xué)生中，選擇物理、化學(xué)、生物的概率是選擇其它組合的2倍，則選擇選擇物理、化學(xué)、生物的概率為；現(xiàn)有選擇物理的2名學(xué)生，他們選擇專業(yè)的組合互不影響，則至少有1人選擇物理、化學(xué)、生物的概率為．16．（5分）如圖，在水平面上放置兩個邊長為1的正三角形ABC與DEF，將△DEF沿垂直于水平面的方向向上平移至△D'E'F'，得到多面體D'E'F'﹣ABC，已知各側(cè)面（△D'BC，△D'E'C，△E'AC，△E'F'A，△F'BA及△F'D'B）均為正三角形，則多面體D'E'F'﹣ABC的外接球的體積為．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程x2﹣2x+2＝0的一個根，且|z﹣i|≤1．（1）求復(fù)數(shù)z；（2）將z所對應(yīng)向量繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到向量，記所對應(yīng)復(fù)數(shù)為z1，求的值．18．（12分）已知．（1）若，且，求實數(shù)m，n的值；（2）若n＝1，且與的夾角為60°，求實數(shù)m的值．19．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sin2C﹣sin2A﹣sin2B＝sinAsinB．（1）求C；（2）若，求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間．20．（12分）某濱海城市沙灘風景秀麗，夏日美麗的海景和清涼的海水吸引了不少前來游玩的旅客．某飲品店通過公開競標的方式獲得賣現(xiàn)制飲品的業(yè)務(wù)．為此先根據(jù)前一年沙灘開放的160天的進入沙灘的人數(shù)做前期的市場調(diào)查，來模擬飲品店開賣之后的利潤情況．考慮沙灘承受能力有限，超過1.4萬人即停止預(yù)約，以下表格是160天內(nèi)進入沙灘的每日人數(shù)的頻數(shù)分布表．人數(shù)（萬）[0，0.2）[0.2，0.4）[0.4，0.6）[0.6，0.8）[0.8，1.0）[1.0，1.2）[1.2，1.4]頻數(shù)（天）88162424a32（1）繪制160天內(nèi)進入沙灘的每日人數(shù)的頻率分布直方圖，并求a和這組數(shù)據(jù)的65%分位數(shù)；（2）據(jù)統(tǒng)計，每10個進入沙灘的游客當中平均有1人會購買飲品，X（單位：個）為該沙灘的人數(shù)（X為10的倍數(shù)，如有8006人，則X取8000）．每杯飲品的售價為15元，成本為5元，當日未出售飲品當垃圾處理．若該店每日準備1000杯飲品，記Y為該店每日的利潤（單位：元），求Y和X的函數(shù)關(guān)系式．以頻率估計概率，求該店在160天的沙灘開放日中利潤不低于7000元的概率．21．（12分）如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上異于A，B的點，P是平面ABC外一點，且PA＝PB＝PC＝．（1）求證：平面PAB⊥平面ABC；（2）若AB＝2，點D是⊙O上一點，且與C在直徑AB同側(cè)，∠DAB＝∠ABC＝60°．（ⅰ）設(shè)平面PAB∩平面PCD＝l，求證：l∥CD；（ⅱ）求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的正切值．22．（12分）已知函數(shù)為奇函數(shù)，g（x）＝﹣2x+1．（1）求實數(shù)m的值；（2）若恒成立，求實數(shù)n的取值范圍；（3）?x1，x2∈（0，+∞），f（2x）在區(qū)間[x1，x2]上的值域為[ln，ln]，求實數(shù)a的取值范圍．

2020-2021學(xué)年廣東省深圳市高一（下）期末數(shù)學(xué)調(diào)研練習試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：本題共8道小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）已知集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，6，7}，則A∩B＝（）A．{1，5} B．{3，7} C．{2，4，6} D．[1，2，3，4，5，6，7}【分析】利用集合交集的定義求解即可．【解答】解：因為集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，6，7}，所以A∩B＝{3，7}．故選：B．【點評】本題考查了集合的運算，主要考查了集合交集的求解，解題的關(guān)鍵是掌握交集的定義，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）復(fù)數(shù)（其中i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)＝＝，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為第三象限．故選：C．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）已知x是實數(shù)，則“x≥5”是“x2﹣7x+12＞0”的（）A．充分不必要條件 B．充要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【分析】先求出x2﹣7x+12＞0的解集，再利用子集的包含關(guān)系，結(jié)合充分必要條件的定義即可求解．【解答】解：∵x2﹣7x+12＞0，∴x＞4或x＜3，∵[5，+∞）?（4，+∞）∪（﹣∞，3），∴x≥5是x2﹣7x+12＞0的充分不必要條件．故選：A．【點評】本題考查了充分必要條件，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）甲、乙兩同學(xué)進行罰球比賽，罰中得1分，罰丟不得分．已知甲乙兩同學(xué)的罰球命中率分別為80%和70%，且兩人的投籃結(jié)果相互獨立．現(xiàn)甲、乙兩人各罰球一次，則兩人得分相同的概率為（）A．56% B．62% C．70% D．80%【分析】兩人得分相同包含兩種情況：①都得1分，②都得0分，再利用相互獨立事件的概率乘法公式即可求解．【解答】解：甲、乙兩人各罰球一次，兩人得分相同包含兩種情況，①都得1分，則概率為0.8×0.7＝0.56，②都得0分，則概率為0.2×0.3＝0.06，∴兩人得分相同的概率為0.56+0.06＝0.62＝62%．故選：B．【點評】本題考查了相互獨立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）如圖，在△ABC中，點D是線段AB上靠近A的三等分點，點E是線段CD的中點，則（）A．＝﹣ B．＝+ C．＝﹣ D．＝+【分析】根據(jù)＝+，由平面向量的基本定理可解決此題．【解答】解：因為點D是線段AB上靠近A的三等分點，點E是線段CD的中點，所以＝+＝+＝+（+）＝+×＝+，故選：D．【點評】本題考查平面向量的基本定理，考查數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）據(jù)市場調(diào)查，某超市的某種商品每月的銷售量y（單位：百件）與銷售價格x（單位：元/件）滿足關(guān)系式，其中20＜x＜50．已知該商品的成本為10元/件，則該超市每月銷售該商品所獲得利潤的最小值為（）A．800元 B．8000元 C．900元 D．9000元【分析】由題意可知該超市每月銷售該商品所獲得利潤L（x）＝100y（x﹣10）＝100（）（x﹣10）＝100（）（x﹣20+10），再利用基本不等式即可求解．【解答】解：設(shè)該超市每月銷售該商品所獲得利潤為L（x），則L（x）＝100y（x﹣10）＝100（）（x﹣10）＝100（）（x﹣20+10）＝100[20++2（x﹣20）+20]＝100[40++2（x﹣20）]，∵20＜x＜50，∴x﹣20＞0，∴+2（x﹣20）＝40，當且僅當＝2（x﹣20）即x＝30時，等號成立，∴L（x）≥100×（40+40）＝8000（元），故選：B．【點評】本題主要考查了函數(shù)的實際應(yīng)用，考查了基本不等式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．7．（5分）已知菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，將△ABD沿BD折起至△A'BD，使平面A'BD⊥平面BCD，則四面體A'BCD中，CD與A'B所成角的余弦值為（）A．0 B． C． D．【分析】連結(jié)AC交BD于點O，連結(jié)A'A和A'O，通過面面垂直證明線面垂直，進而得到線線垂直，由此求解長度關(guān)系，分別求出A'A，A'B，AB，再由余弦定理求解∠A'BA的余弦值，即可得到答案．【解答】解：連結(jié)AC交BD于點O，連結(jié)A'A和A'O，因為ABCD為菱形，所以AC⊥BD，因為平面A'BD⊥平面BCD，平面A'BD∩平面BCD＝BD，又AC?平面BCD，所以AC⊥平面A'BD，又A'O?平面A'BD，則A'O⊥AC，因為ABCD為菱形，且∠BAD＝60°，AB＝2，所以△ABD是邊長為2的等邊三角形，所以AO＝，因為△ABD沿BD折起至△A'BD，所以A'B＝AB，A'O＝AO，在△A'OA中，A'A＝，在△A'BA中，由余弦定理可得＝，又AB∥CD，所以CD與A'B所成角即為∠A'BA，故CD與A'B所成角的余弦值為．故選：B．【點評】本題主要考查了異面直線所成角的求解，解題的關(guān)鍵是尋找平行線將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，考查了邏輯推理能力與空間想象能力，屬于中檔題．8．（5分）如圖，已知在Rt△ABC中，A＝30°，BC＝1，點D，E分別為線段AC，AB上的動點，若，則DE的最小值為（）A． B． C． D．【分析】設(shè)AE＝x，（0＜x≤2），利用，可得AD＝，由余弦定理表示出DE＝f（x），在利用均值不等式即可求得DE的最小值．【解答】解：設(shè)AE＝x，（0＜x≤2），在Rt△ABC中，A＝30°，BC＝1，則有AB＝2，AC＝，∵，∴?xsin30°＝××1，∴AD＝，∴DE＝＝﹣1，（當x＝時取等號）．則DE的最小值為﹣1．故選：C．【點評】本題考查了解三角形、考查了三角形面積公式、余弦定理，考查了運算能力，屬于中檔題．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。（多選）9．（5分）已知為非零平面向量，則下列說法正確的有（）A． B． C．若，則 D．【分析】根據(jù)“為非零平面向量”看判斷ABC；根據(jù)平面向量數(shù)量積意義可判斷D．【解答】解：∵為非零平面向量，∴AB對；∵為非零平面向量，∴?＝???（﹣）＝0，∴﹣＝或⊥（﹣），∴C不對；∵（）是與向量共線的向量，（）是與向量共線的向量，∴D錯．故選：AB．【點評】本題考查平面向量數(shù)量積性質(zhì)及運算，考查數(shù)學(xué)運算能力及推理能力，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（5分）已知l，m，n為空間中三條不同的直線，α，β，γ為空間中三個不同的平面，則下列說法中正確的有（）A．若l⊥α，m⊥l，則m∥α B．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，則l⊥γ C．若α∥β，l，m分別與α，β所成的角相等，則l∥m D．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，若l∩m＝P，則n，l，m交于同一點P【分析】對于A，m∥α或m?α；對于B，由面面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判定定理得l⊥γ；對于C，l與m相交、平行或異面；對于D，作出圖形得到l∩m∩n＝P．【解答】解：l，m，n為空間中三條不同的直線，α，β，γ為空間中三個不同的平面，對于A，若l⊥α，m⊥l，則m∥α或m?α，故A錯誤；對于B，若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，則由面面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判定定理得l⊥γ，故B正確；對于C，若α∥β，l，m分別與α，β所成的角相等，則l與m相交、平行或異面，故C錯誤；對于D，若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，若l∩m＝P，如下圖，則l∩m∩n＝P．故D正確．故選：BD．【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力，是中檔題．（多選）11．（5分）下列說法正確的有（）A． B．0.20.3＜log0.20.1 C．3.40.6＞1.80.6 D．【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的單調(diào)性即可判斷四個選項．【解答】解：∵y＝在（0，+∞）是減函數(shù)，且＝，，∴＝log35，故選項A正確；∵y＝0.2x在R上單調(diào)遞減，∴0.20.3＜0.20＝1，又∵y＝log0.2x為其定義域的減函數(shù)，∴l(xiāng)og0.20.1＞log0.20.2＝1，∴0.20.3＜log0.20.1，故選項B正確；∵冪函數(shù)y＝x0.6在[0，+∞）上是增函數(shù)，且3.4＞1.8，∴3.40.6＞1.80.6，故選項C正確；∵，，且在R上為減函數(shù)，∴，即，故選項D錯誤；故選：ABC．【點評】本題考查了對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)的運算法則，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．（5分）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A．存在實數(shù)a，b使得函數(shù)f（x）為奇函數(shù) B．若函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過原點，且無限接近直線y＝2，則b＝2 C．若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]上單調(diào)遞減，則a＞0 D．當a∈[﹣1，1]時，若對?x∈[﹣1，1]，函數(shù)f（x）≤1恒成立，則b的取值范圍為b≤1【分析】當a＝0，b＝0時，f（x）＝0既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)，則可判斷A選項，運用極限的思維，可對B選項進行判斷，結(jié)合單調(diào)性，以及函數(shù)恒成立問題，即可判斷C、D選項，即可求解．【解答】解析：（1）當a＝0，b＝0時，f（x）＝0既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)，故選項A正確，（2）若f（x）經(jīng)過原點，且無限接近直線y＝2，f（0）＝a?，∴，故選項B正確，（3）當a＞0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，故選項C正確，（4）原問題等價于，由A選項中分析的圖形，可知當a∈（0，1]時，a≤1﹣b恒成立，b≤0；當a∈[﹣1，0）時，恒成立，b≤1；當a＝0時，b≤1．綜上b≤0，故選項D錯誤，故選：ABC．【點評】本題是一個函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用的問題．考查了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)恒成立問題，需要學(xué)生有較強的綜合知識，屬于難題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）若，則＝．【分析】利用“1”的代換以及“弦化切”求解即可．【解答】解：因為sin2α﹣cos2α＝，所以＝．故答案為：．【點評】本題考查了三角函數(shù)的求值，涉及了同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，“1”的代換以及“弦化切”的應(yīng)用，考查了化簡運算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）為研究高校師生外賣食品消費情況與超重肥胖之間的關(guān)聯(lián)，把某市高校400000名師生按照專業(yè)分為醫(yī)學(xué)專業(yè)和其他專業(yè)兩類，其中醫(yī)學(xué)專業(yè)師生共50000名．現(xiàn)通過分層抽樣抽取師生1200名進行問卷調(diào)查．則醫(yī)學(xué)專業(yè)應(yīng)抽取師生150名．【分析】用樣本容量乘以所占的比例，即可求解結(jié)論．【解答】解：某市高校400000名師生按照專業(yè)分為醫(yī)學(xué)專業(yè)和其他專業(yè)兩類，其中醫(yī)學(xué)專業(yè)師生共50000名．現(xiàn)通過分層抽樣抽取師生1200名進行問卷調(diào)查，故醫(yī)學(xué)專業(yè)應(yīng)抽取師生：×1200＝150．故答案為：150．【點評】本題主要考查分層抽樣的定義和方法，利用了總體中各層的個體數(shù)之比等于樣本中對應(yīng)各層的樣本數(shù)之比，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）為實現(xiàn)學(xué)生高中選科和大學(xué)專業(yè)選擇的有效銜接，廣東省于2019年采用“3+1+2”模式改革考試科目設(shè)置，即考生總成績由統(tǒng)一高考的語文、數(shù)學(xué)、外語3個科目成績，物理或歷史中的1門成績，和生物、政治、地理、化學(xué)中的2個科目成績組成．在選擇物理的學(xué)生中，選擇物理、化學(xué)、生物的概率是選擇其它組合的2倍，則選擇選擇物理、化學(xué)、生物的概率為；現(xiàn)有選擇物理的2名學(xué)生，他們選擇專業(yè)的組合互不影響，則至少有1人選擇物理、化學(xué)、生物的概率為．【分析】利用相互獨立事件的概率乘法公式，對立事件的概率公式計算即可．【解答】解：設(shè)選擇物理、化學(xué)、生物的概率為x，∵選擇物理、化學(xué)、生物的概率是選擇其它組合的2倍，∴x+＝1，∴x＝，即選擇物理、化學(xué)、生物的概率為．∵至少有1人選擇物理、化學(xué)、生物的對立事件為2名學(xué)生都不選擇物理、化學(xué)、生物，∴至少有1人選擇物理、化學(xué)、生物的概率為1﹣×＝．【點評】本題考查了相互獨立事件的概率乘法公式，對立事件的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．16．（5分）如圖，在水平面上放置兩個邊長為1的正三角形ABC與DEF，將△DEF沿垂直于水平面的方向向上平移至△D'E'F'，得到多面體D'E'F'﹣ABC，已知各側(cè)面（△D'BC，△D'E'C，△E'AC，△E'F'A，△F'BA及△F'D'B）均為正三角形，則多面體D'E'F'﹣ABC的外接球的體積為．【分析】由題意可得多面體由兩個正四棱錐F'﹣ABD'E'和C﹣ABD'E'組合而成，設(shè)正方形ABD'E'的中心為O，由條件可得O為多面體D'E'F'﹣ABC的外接球的球心，求出半徑，再由球的體積公式求解．【解答】解：由題意可知，四邊形ABD′E′為菱形，又多面體D'E'F'﹣ABC有外接球，則球心為菱形ABD′E′的中心，可得四邊形ABD′E′為正方形，即多面體由兩個正四棱錐F'﹣ABD'E'和C﹣ABD'E'組合而成．設(shè)正方形ABD'E'的中心為O，則F'O⊥平面ABD'E'．又∵，∴．同理，因此O到多面體各頂點距離相等，即O為外接球球心，∴外接球半徑，∴外接球體積為．故答案為：．【點評】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與運算求解能力，是中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程x2﹣2x+2＝0的一個根，且|z﹣i|≤1．（1）求復(fù)數(shù)z；（2）將z所對應(yīng)向量繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到向量，記所對應(yīng)復(fù)數(shù)為z1，求的值．【分析】（1）設(shè)z＝a+bi，其中a，b∈R，代入方程即可求解．（2）先求出z1＝﹣1+i，再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算和in的周期性即可求解．【解答】解：（1）設(shè)z＝a+bi，其中a，b∈R，由z2﹣2z+2＝0得a2﹣b2+2abi﹣2a﹣2bi+2＝0，即a2﹣b2﹣2a+2+2b（a﹣1）i＝0，所以，解得或者，由|z﹣i|≤1得，經(jīng)檢驗不滿足，所以，所以z＝1+i．（2）所對應(yīng)向量得坐標為（1，1），繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，z1＝﹣1+i，所以，由in，n∈N*得周期性可知，所以的值為i．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，考察了學(xué)生的數(shù)學(xué)運算，邏輯推理能力，屬于中檔題．18．（12分）已知．（1）若，且，求實數(shù)m，n的值；（2）若n＝1，且與的夾角為60°，求實數(shù)m的值．【分析】（1）由題意利用兩個向量垂直、平行的性質(zhì)，求得m、n的值．（2）由題意利用兩個向量的夾角公式，求得m的值．【解答】解：（1）若，則﹣2×1+1×m＝0，解得m＝2．因為，且，所以﹣1×n＝2×3，解得n＝﹣6，所以m＝2，n＝﹣6．（2）若n＝1，則，.，．因為與的夾角為60°，所以．解得，所以，m的值為或．【點評】本題主要考查平面向量的運算、向量平行的坐標表示、向量夾角的計算等知識，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查學(xué)生的邏輯推理，數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題．19．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sin2C﹣sin2A﹣sin2B＝sinAsinB．（1）求C；（2）若，求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間．【分析】（1）由正弦定理化簡已知等式可得c2﹣a2﹣b2＝ab，利用余弦定理可求cosC的值，結(jié)合C∈（0，π），可求C的值．（2）由（1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求f（x）＝，利用正弦函數(shù)的周期公式可求f（x）的最小正周期，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．【解答】解：（1）∵sin2C﹣sin2A﹣sin2B＝sinAsinB，∴由正弦定理，得c2﹣a2﹣b2＝ab，∴由余弦定理，得，∵C∈（0，π），∴．（2）由（1）得，∴f（x）＝2sinx（﹣cosx+sinx）﹣＝＝＝＝﹣sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T＝＝π，∵由﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是，k∈Z．【點評】本題主要考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式、輔助角公式、正弦函數(shù)性質(zhì)等知識，意在考查方程、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查學(xué)生的邏輯推理，數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)．20．（12分）某濱海城市沙灘風景秀麗，夏日美麗的海景和清涼的海水吸引了不少前來游玩的旅客．某飲品店通過公開競標的方式獲得賣現(xiàn)制飲品的業(yè)務(wù)．為此先根據(jù)前一年沙灘開放的160天的進入沙灘的人數(shù)做前期的市場調(diào)查，來模擬飲品店開賣之后的利潤情況．考慮沙灘承受能力有限，超過1.4萬人即停止預(yù)約，以下表格是160天內(nèi)進入沙灘的每日人數(shù)的頻數(shù)分布表．人數(shù)（萬）[0，0.2）[0.2，0.4）[0.4，0.6）[0.6，0.8）[0.8，1.0）[1.0，1.2）[1.2，1.4]頻數(shù)（天）88162424a32（1）繪制160天內(nèi)進入沙灘的每日人數(shù)的頻率分布直方圖，并求a和這組數(shù)據(jù)的65%分位數(shù)；（2）據(jù)統(tǒng)計，每10個進入沙灘的游客當中平均有1人會購買飲品，X（單位：個）為該沙灘的人數(shù)（X為10的倍數(shù)，如有8006人，則X取8000）．每杯飲品的售價為15元，成本為5元，當日未出售飲品當垃圾處理．若該店每日準備1000杯飲品，記Y為該店每日的利潤（單位：元），求Y和X的函數(shù)關(guān)系式．以頻率估計概率，求該店在160天的沙灘開放日中利潤不低于7000元的概率．【分析】（1）利用總?cè)藬?shù)即可求出a的值，利用分位數(shù)的計算方法求解65%分位數(shù)即可；（2）分兩段求解Y與X的關(guān)系，然后得到分段函數(shù)的解析式，利用古典概型的概率公式求解即可．【解答】解：（1）由總?cè)藬?shù)為160，則a＝48，由圖表知道人數(shù)在1.0以下的是50%，在1.2以下的是80%，我們不妨假設(shè)1.0到1.2是均勻分布的，1.0+＝1.1，所以65%分位數(shù)是1.1；畫出頻率分布直方圖如圖所示：（2）由題意知，當X≥10000時，Y＝10×1000＝10000元；當X＜10000時，＝1.5X﹣5000．所以，設(shè)銷售的利潤不少于7000元的事件記為A．實際上得到X≥8000，此時P（A）＝（24+48+32）÷160＝0.65．【點評】本題以實際生活為背景，考查新增內(nèi)容百分位數(shù)、頻率分布直方圖、概率，結(jié)合分段函數(shù)考查學(xué)生對實際情境的理解，簡化數(shù)學(xué)運算，考查基礎(chǔ)知識和基礎(chǔ)能力．21．（12分）如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上異于A，B的點，P是平面ABC外一點，且PA＝PB＝PC＝．（1）求證：平面PAB⊥平面ABC；（2）若AB＝2，點D是⊙O上一點，且與C在直徑AB同側(cè)，∠DAB＝∠ABC＝60°．（?。┰O(shè)平面PAB∩平面PCD＝l，求證：l∥CD；（ⅱ）求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的正切值．【分析】（1）連結(jié)OC，可證明PO⊥AB，再利用三角形全等，證明PO⊥OC，從而證明PO⊥平面ABC，由面面垂直的判定定理即可證明；（2）（i）利用角之間的關(guān)系，證明CD∥AB，由線面平行的判定定理證明CD∥平面PAB，然后由線面平行的性質(zhì)定理即可證明；（ii）取CD的中點E，連接PE，OE，利用二面角的平面角的定義，得到∠OPE是平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的平面角，在Rt△OPE中，利用邊角關(guān)系求解即可．【解答】（1）證明：連結(jié)OC，∵PA＝PB，∴PO⊥AB，又∵C是以AB為直徑的圓周上一點，∴OA＝OB＝