*北京科技大學自動化學院控制科學與工程系1第五章系統的穩(wěn)定性與

李雅普諾夫方法北京科技大學自動化學院控制科學與工程系*2系統的穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法5.1關于穩(wěn)定性的基本概念

5.3李亞普諾夫第二方法

5.4

李亞普諾夫第二方法在線性統的應用

5.6本章小結5.2李亞普諾夫第一方法5.5李亞普諾夫第二方法在非線性系統中的應用北京科技大學自動化學控制科學與工程系*35.1關于穩(wěn)定性的基本概念狀態(tài)軌跡：設所研究系統的齊次狀態(tài)方程為式中：x—n維狀態(tài)矢量；f—與x同維的矢量函數,是在給定初始條件下,有唯一解：上式描述了系統在n維狀態(tài)空間中從初始條件出發(fā)的一條狀態(tài)運動的軌跡，簡稱為系統的運動和狀態(tài)軌線。和時間t的函數；一般f為時變的非線性函數，如果不含t，則為定常的非線性函數.。北京科技大學自動化學控制科學與工程系*45.1關于穩(wěn)定性的基本概念

系統的平衡狀態(tài)：若系統存在狀態(tài)矢量所有t，使得：，對

成立，則稱為系統的平衡狀態(tài)。說明:1)對于任一個系統,不一定都存在平衡狀態(tài).2)如果一個系統存在平衡狀態(tài),其平衡狀態(tài)也不一定是唯一的.3)當平衡態(tài)的任意小鄰域內不存在系統的別的平衡態(tài)時，稱此平衡態(tài)為孤立的平衡態(tài)。

北京科技大學自動化學控制科學與工程系*55.1關于穩(wěn)定性的基本概念

5)由于任意一個已知的平衡狀態(tài),都可以通過坐標變換將其變換到坐標原點只討論系統在坐標原點處的穩(wěn)定性就可以了。處。所以今后將4)對于線性定常系統矩陣時，

，當A為非奇異的解

衡狀態(tài)，當A為奇異時，則會有無窮多個。是系統唯一的平6)穩(wěn)定性問題都是相對于某個平衡狀態(tài)而言的。

(這一點從線性定常系統中的描述中可以得到理解)7)如果一個系統有多個平衡點。由于每個平衡點處系統的穩(wěn)定性可能是不同的。因此對有多個平衡點的系統來說，要討論該系統的穩(wěn)定性必須逐個對各平衡點的穩(wěn)定性都要逐個討論。北京科技大學自動化學控制科學與工程系*65.1關于穩(wěn)定性的基本概念通過輸入和輸出關系表征系統的外部穩(wěn)定。通過狀態(tài)和其運動規(guī)律，表征系統內部穩(wěn)定。外部穩(wěn)定-BIBO穩(wěn)定定義：如果系統對一個有界輸入u(t).即產生一個有界輸出，即有界輸入有界輸出穩(wěn)定的，簡記為BIBO穩(wěn)定。，則稱系統為結論：系統BIBO穩(wěn)定的充要條件是系統傳遞函數極點都有負實部。

北京科技大學自動化學控制科學與工程系*75.1關于穩(wěn)定性的基本概念內部穩(wěn)定-漸近穩(wěn)定定義：線性系統u=0時)引起的零輸入響應為

如果滿足如下關系則稱系統是內部穩(wěn)定的。（漸近穩(wěn)定的）x(結論：線性定常系統是漸近穩(wěn)定的充要條件是其系統陣A的特征根都有負實部。北京科技大學自動化學控制科學與工程系*85.1關于穩(wěn)定性的基本概念BIBO穩(wěn)定與漸近穩(wěn)定的關系若系統系統是能控能觀的，則：漸近穩(wěn)定BIBO穩(wěn)定否則：漸近穩(wěn)定BIBO穩(wěn)定北京科技大學自動化學控制科學與工程系*95.1關于穩(wěn)定性的基本概念例：設系統的狀態(tài)空間表達式為:試分析系統的狀態(tài)穩(wěn)定性與BIBO穩(wěn)定性.解：1)有A的特征方程:可知系統的狀態(tài)是不穩(wěn)定的.2)由系統的傳遞函數:

故系統輸出穩(wěn)定.這是因為具有正實部的特征值

被系統的零點s=+1對消了，不穩(wěn)定部分被掩蓋。北京科技大學自動化學控制科學與工程系*10說明:1)這種系統在實際應用時是極不可靠的.若系統參數發(fā)生變化,則零、極點就無法實現對消.這樣輸出就能表現出不穩(wěn)定特性.2)只有當不出現不穩(wěn)定的零、極點對消(可以有穩(wěn)定的零、極點對消)，的穩(wěn)定性才與的穩(wěn)定性是一致的.5.1關于穩(wěn)定性的基本概念北京科技大學自動化學控制科學與工程系*115.1關于穩(wěn)定性的基本概念

，預先說明：若用表示狀態(tài)變量x與平衡狀態(tài)的距離，用點集表示以為中心，為半徑的超球體，那么則可表示成式中為歐幾里德范數。當很小時，則稱為的鄰域.因此若有，則意味著，同理，若方程式的解位于球域內，便有:

李雅普諾夫根據系統的自由響應是否(沒有控制信號u的驅動)有界把系統的穩(wěn)定性定義為四種情況:北京科技大學自動化學控制科學與工程系*125.1關于穩(wěn)定性的基本概念

是一致穩(wěn)定的。當的選擇不依賴于時,稱系統在李氏穩(wěn)定：對于自治系統,如果對任意實數,都對應存在實數,使得滿足不等式的任意初態(tài)出發(fā)的解,在時均有成立。說明:

1)這里實數與有關(類似于高數中極限、收斂的概念)。

2)一般情況下與也有關，當與無關時，則稱為一致穩(wěn)定的。北京科技大學自動化學控制科學與工程系*135.1關于穩(wěn)定性的基本概念

是一致漸近當的選擇不依賴于時,稱系統在穩(wěn)定的。說明:1)漸近穩(wěn)定是個比穩(wěn)定更加苛刻的限制定義.如果一個平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的,那么它一定穩(wěn)定,

反之不一定成立。

2)不論是穩(wěn)定還是漸近穩(wěn)定,都有一個共同的限制條件,即要求。即初始狀態(tài)要在一定范圍之內。成立時,稱系統在漸近穩(wěn)定：如果平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，而且當t無限增長時,對于任意使成立的,均有

是漸近穩(wěn)定的。北京科技大學自動化學控制科學與工程系*145.1關于穩(wěn)定性的基本概念

大范圍漸近穩(wěn)定：如果平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的,而且從狀態(tài)空間中所有初始狀態(tài)出發(fā)的軌線都具有漸近穩(wěn)定性(即沒有的限制)，而只有,且有在是大范圍漸近穩(wěn)定的。，則稱系統不穩(wěn)定：如果對于某個實數和任一實數，不管這個實數多么小,由內出發(fā)的狀態(tài)軌線，至少有一個軌線越過在附近是不穩(wěn)定的。

，則稱系統北京科技大學自動化學控制科學與工程系*155.1關于穩(wěn)定性的基本概念總而言之,球域限制著初始狀態(tài)的取值,規(guī)定了系統自身響應的邊界.無界+大范圍漸近穩(wěn)定穩(wěn)定有界+有界+漸近穩(wěn)定+有界+一致漸近穩(wěn)定+北京科技大學自動化學控制科學與工程系*165.蘋1關于桿穩(wěn)定麗性的漫基本繭概念北京岡科技終大學久自動龍化學口控制充科學栽與工藥程系*175.荷2李雅薦普諾糖夫第滴一方視法雅可倆比矩仗陣北京折科技囑大學愈自動遺化學狼控制然科學街與工饞程系*185.酸2李雅騰普諾雁夫第賺一方腸法定理1：（李雅生普諾奮夫第親一方罵法）若f(鼓x)的雅稼克比闖矩陣方在x=蒸xe處所析有的儉特征災根都虧有負看的實后部。小則原盲系統血在x=仔xe處是績漸進艘穩(wěn)定來的?；智曳€(wěn)盟定性潑與f(加x)的高呀階導包數無猾關若f(場x)的雅娃克比洽矩陣膛在x=春xe時所癥有的賄特征自根多華于一慈個的吸實部樸大于產零。芽則系濫統在x=且xe處不哭穩(wěn)定擔。若f(柄x)的雅甘克比怕矩陣賠在x=段xe處有腿實部寒為零械的特躍征根鑒其他耐均為鞭負的賺實部保，則良系統暗的穩(wěn)述定性械由f(凍x)的高次階導次數決航定。北京皮科技阻大學排自動駝化學姜控制喝科學牲與工否程系*19例：甘設系蝕統的腰狀態(tài)嗎方程牢為：x1=x1-x2x1x2=-臥x2+x1x2試用怖第一永方法肯分析秒系統完在平狐衡狀甚態(tài)上拿的穩(wěn)宰定性包。5.灣2李雅融普諾鼠夫第表一方蒙法北京宵科技存大學們自動往化學嘆院控張制科徐學與然工程制系..*北京迎科技沒大學創(chuàng)自動示化學編院控季制科在學與是工程泳系205.閃3李雅旅普諾眾夫第茅二方諸法(通用拆方法)李雅竹普諾臥夫第捧二方剪法又凈稱直晝接法暴，它殖的基默本思房誠路不求是通施過求窗解系出統的而運動宰方程戶，而程是借貓助于掃一個何李雅挑普諾功夫函茄數來羞直接萍對系概統平腦衡狀伯態(tài)的賀穩(wěn)定秋性做癢出判辛斷。

李雅普諾夫定義了一個正定的標量函數V(x),作為虛構的廣義能量函數，然后根據的符號特征來判斷系統的穩(wěn)定性。這個V(x)叫做李雅普諾夫函數。李雅站普諾斗夫第葉二方朗法的甜關鍵撞問題杰是尋降找李粱氏函素數V(勒x)旁.*北京脾科技規(guī)大學拾自動但化學儉院控烘制科資學與慢工程怒系215.造3李雅捉普諾齊夫第守二方忠法(通用棚方法)平衡點平衡點穩(wěn)定漸進穩(wěn)定能量函數表示穩(wěn)定的示意圖*北京天科技圓大學哀自動革化學蜘院控掩制科煎學與民工程幻玉系225.序3李雅鍋普諾麻夫第數二方繪法(通用鑄方法)一：幅預備通知識標量羽函數紋的符插號性干質：設V(奇x)為由n維矢禁量x所定恭的標魄量函弱數，交且在x=壯0處恒犬有V(缺x)軟=0添,對所怨有域亮中的墻任何率非零存矢量x，如燈果成冶立：1),則稱V(x)為正定的,例如：2),則稱V(x)為半正定的(或非負定的)，例如：3),則稱V(x)為負定的。4),則稱V(x)為半負定的,例如：

5)V(富x)呈>0或V(荷x)富<0越,則稱V(柄x)為不寺定的惱，例壁如：*北京唯科技淺大學本自動暫化學矮院控墓制科烤學與摸工程須系235.訊3李雅策普諾柏夫第劉二方閉法(通用輸方法)例5.眨4：判別便下列士各函雙數的悼符號符性質1)設

，標量函數為：

2)3)

，V(x)正定

*北京錯科技愛大學斗自動神化學仇院控丘制科算學與倘工程透系245.因3李雅聰普諾咱夫第伴二方藏法(通用句方法)二次帆型標賓量函事數：二次折型函清數在碌李雅勵普諾掠夫第角二法擦分析冷系統粱得穩(wěn)語定性滾中起借著重笑要的鋒作用逗。定義：（二次型標量函數）設

是一侄向量僚，矩行陣P為實激對稱棉矩陣卸。則稱分：為二次順型標謠量函緞數。*北京霧科技吸大學繞自動第化學扎院控雪制科戲學與蠶工程車系255.誼3李雅余普諾乏夫第謀二方倒法(通用儲方法)于是妻，我牙們常出稱為二喚次型礙函數服的標北準型鐵。定理：正定的充要條件是對稱矩陣P的所有特征值均大于零。簡證：令正交變換陣T,且則令:*北京湊科技邀大學恨自動顏化學匹院控浩制科跳學與從工程拋系265.家3李雅透普諾夕夫第之二方蟲法(通用義方法)二次金型標閣量函眠數V(里x)中P的性渴質和主說明海：1）若V(廊x)正定跌，則住稱P為正寬定，菜記蘋作P>汽0；2）若V(顆x)負定禍，則崗稱P為負須定，淘記插作P<亭0；3）若V(清x)半正毛定，所則稱P為半丙正定嘉，記排作P≥防0；4）若V(睛x)半負掃定，屈則稱P為半拌負定喜，記缸作P≤取0。由上血可見尤，P的符鋒號性雞質與V(塞x)定義裙的符辮號性漆質完全臟相同悔。*北京區(qū)科技痰大學閥自動弦化學嫂院控尤制科軋學與盆工程顆系275.恥3李雅誰普諾釀夫第彈二方葡法(通用育方法)二次目型標撐量函喊數性猴質的和判別隨方法情：定義沈法：見例5.資4。希爾維斯特判據法：設實對稱矩陣例試判跌斷如牙下P陣對杰應的孩二次庭型函騙數的徐正定掛性。(1哈)(2臣)半正宅定。正定。*北京足科技平大學書自動斃化學攜院控瞇制科守學與禍工程枝系285.決3李雅副普諾嘗夫第色二方趣法(通用殘方法)*北京秒科技蔬大學燈自動喉化學鍬院控揉制科太學與觀工程蹲系295.設3李雅旁普諾灑夫第抱二方尤法(通用籃方法)二：身李雅濫普諾擱夫第撈二方蓬法的受穩(wěn)定雨性判僚據設系捧統的填狀態(tài)處方程搖為,平衡朱狀態(tài)精為,如果緩存在挪一個閥標量蜂函數V(獄x)諷,滿足新：(1卵)頃V(召x)對所陡有x都是淋有連套續(xù)的科一階沾偏導煎數；(2奔)彎V(摘x)是正皺定的身；(3扁)闊V(育x)沿狀派態(tài)軌善道方揚向計流算的企時間閉導數分別林滿足差下列蜻條件億：

若為半負定，那么平衡狀態(tài)李雅普諾夫意義下穩(wěn)定——稱為李雅普諾夫穩(wěn)定判據。*北京慣科技企大學殃自動禁化學肉院控藥制科明學與津工程她系305.行3李雅李普諾曬夫第鐮二方途法(通用潑方法)

3)若為正定，那么平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的——李雅普諾夫不穩(wěn)定判據。任意初始狀態(tài)來說，除去x=0處，對

不恒為零，那么原點平衡狀態(tài)時漸近穩(wěn)定的，如果進一步還有，則系統是大范圍漸近穩(wěn)定的——李雅普諾夫漸近穩(wěn)定判據。為半負定，但對2)若為負定，或者雖然*北京食科技活大學在自動械化學孔院控施制科即學與肯工程集系31幾點暴說明奮：

1)對于同一個系統(不論它是線性的，還是非線性的)，可以找到不同的V(x)。只要能找到使負定或半負定的V(x)（正定），則按照上述判據即知系統穩(wěn)定性情況。5.關3李雅讓普諾盒夫第錦二方冶法(通用沸方法)

2)即使找不到使V(x)正定，負定的V(x)，也不能說明該系統是不穩(wěn)定的，而只是你沒有找到而已，當然若找到了符合條件（3）的V(x)則可證明系統不穩(wěn)定，找不到符合上面1）、2）、3）的V(x)不能下結論。*北京唐科技匯大學捆自動酬化學僑院控晃制科晝學與棋工程壺系325.廈3李雅剛普諾片夫第淘二方耗法(通用難方法)3)對于鵲，榆則隙，扎這意畫味著煩運動將在撿形成圣的曲管面上的運動且而不淡會收萌斂于塞原點，辜這相運當于堵極限紐奉環(huán)或惹者臨齡界穩(wěn)戲定。

4)若，這時運動軌跡只在某一時刻與某特定曲面相切，運動軌跡通過切點后會繼續(xù)向原點收斂，因此此情況的屬于漸進穩(wěn)定。*北京擋科技揉大學詞自動恢化學凡院控逐制科固學與毅工程綱系335.僻3李雅欄普諾亞夫第哄二方四法(通用氣方法)例：已知乎系統輸狀態(tài)速方程則為：試分木析系儉統平織衡狀減態(tài)的零穩(wěn)定傭性，(線性浴系統敗的穩(wěn)達定性拆只與A有關憂，與歪控制某和輸輕出無較關)。解：（1）求拍平衡賤狀態(tài)陰：（2）選茫取李逼雅普潤諾夫層函數V(極x)禮,（多質半線展性狀庭態(tài)方弄程系認統可病選擇嗎標準瞧二次象型的V(你x)）*北京真科技方大學鋸自動休化學后院控壯制科捕學與廁工程伍系345.特3李雅誰普諾龜夫第斑二方滑法(通用季方法)(3)求

可見只要就有成立。下面需要討論當成立否

若狀態(tài)垮方程已知條件矛盾可見不可能成立，∴該系統是漸進穩(wěn)定。*北京惠科技粘大學岡自動港化學禾院控秒制科塑學與篇工程墨系355.離3李雅框普諾造夫第尿二方誦法(通用抵方法)另選一個李氏函數，再判斷前面這道例題的穩(wěn)定性問題。(4綠)判斷喝大范廣圍漸亂進穩(wěn)認定性大范圍漸進穩(wěn)定性*北京閥科技友大學艱自動越化學株院控食制科索學與蹄工程決系365.蹲3李雅晶普諾仆夫第曠二方服法(通用瘡方法)系統的運動方程：取m=1時，系統的方程為取x1=x（位移），x2=系統的狀態(tài)方程為：

系統的能量為：V(x)=F(x1，x2)=*北京任科技寒大學蒸自動松化學某院控船制科棗學與璃工程問系375.奸3李雅溫普諾藏夫第株二方壟法(通用租方法)∴半負齡定。系統番在x=廣0處大攔范圍盤漸進齡穩(wěn)定繩的此系余統位冶移不抱為零連時，愛速度畏也不狹為零缺。所撕以在脂系統它運動睡軌跡佩上*北京練科技并大學脂自動凍化學助院控捕制科悶學與神工程憶系385.叮3李雅患普諾朵夫第櫻二方移法(通用歐方法)例：已知些非線璃性狀盞態(tài)方應程，試判沿別系腰統的暈穩(wěn)定俯性。解：材①求滲平衡票狀態(tài)

由得是唯一解*北京突科技短大學拾自動掃化學鄭院控輩制科憑學與借工程皮系39③求腎，傘因此梢該系統渡是漸替進穩(wěn)稻定的勒。5.城3李雅燒普諾區(qū)夫第由二方錢法(通用盤方法)②取當∴是大作范圍經漸進前穩(wěn)定般的。例：設系鞋統狀感態(tài)方大程如撒下，壁試判虛定其貞穩(wěn)定油性。解：①求毅平衡柴點②取*北京快科技傭大學態(tài)自動宅化學偷院控捧制科對學與稻工程墊系405.趣3李雅竿普諾季夫第胞二方斑法(通用知方法)③求④穩(wěn)定示性分花析幾點呼說明賀：1)李氏餐穩(wěn)定撤判定辭方法獄的關低鍵是伏找v(廊x)，但賠并沒攝有提纖供找v(撲x)的方竿法；*北京營科技剛大學戶自動木化學揪院控江制科爸學與努工程觸系415.蠢3李雅喇普諾脆夫第敢二方生法(通用較方法)4）由柴于構霜造v(壩x)較難艱，因腦此實王際上受李氏團判據則主要植用于正其他號方法但無法宏判定夏的情斤況。恰我們劣則主榴要掌陣握對階線性魔系統魚的判姓定。3）v(灣x)函數勸只提壓供了騎系統溫在瞧附險近的池穩(wěn)定抹情況笛，域外情牧況由裂的回情況污來延點伸。2)對于蓬一個奶給定課系統v(類x)的選膏取一章般不路是唯帳一的靠，但碼并不詳影響臥結論桿的一女致性證；*北京滲科技剝大學移自動條化學幕院控雁制科壺學與怕工程梳系425.序4李雅桃普洛纏夫方窮法在溝線性建系統微中的仙應用一：收線性喉定常庭連續(xù)辟系統燙漸進態(tài)穩(wěn)定剩性判科據為漸沉進穩(wěn)只定的套充要揭條件余是：樂對任峽意給溪定的懶正定終實對畏稱矩恒陣Q，必秤定存犧在正綿定的寒實對棍稱矩辣陣P,滿足杰李雅沃普諾虎夫方遠程。定理擦：設線永性定寶常系惱統為隊（A，B，C）則夸平衡贏狀態(tài)并且:是系釋統的忙李雅爽普諾蟻夫函華數。證明拜：充分浪性：若P為正六定的勁，則濃取則V(筍x)正定*北京遍科技握大學派自動諷化學贏院控且制科壤學與拌工程撕系435.聯4李雅耽普洛嗓夫方計法在疼線性騾系統孔中的唇應用負定康。所以系統在處漸近穩(wěn)定。必要丑性：系統在處漸近穩(wěn)定，則P唯一正定?？疾炝⒎匠?，*北京文科技秒大學歌自動末化學團院控貝制科敗學與藝工程餐系445.泄4李雅啞普洛筆夫方機法在別線性濱系統籠中的比應用P對稱P正定*北京堅科技年大學揮自動里化學由院控辭制科央學與紡工程醒系45用該噸判據燭判定腐線性足定常及系統翅的穩(wěn)霜定性僅請注鴨意以位下幾擠點：5.渣4李雅也普洛葉夫方灑法在霞線性俯系統曲中的栽應用

常先取Q=I，由求出P，再判定P的正定性.若P正定則大范圍漸進穩(wěn)定。

若沿任一軌跡不會恒為零,Q可取半正定。例1：試分賄析如黃下系俘統的監(jiān)狀態(tài)汪方程責平衡目點的直穩(wěn)定檢性。解：設Q=稱I*北京以科技言大學輔自動源化學羊院控淺制科宴學與限工程受系465.肅4李雅呆普洛絹夫方鉛法在派線性吸系統洗中的她應用則由兼：解得現：故P是正第定的掉，系椅統在覽平衡谷點一齡大范肥圍漸曠近穩(wěn)扎定的頌。*北京痰科技稿大學擇自動塘化學世院控廚制科蹦學與恨工程劣系475.塊4李雅毅普洛填夫方穴法在裂線性額系統聚中的奮應用二：筑線性菠時變釘連續(xù)浪系統傷漸進曉穩(wěn)定查性判登據為一及致漸胳進穩(wěn)聾定的役充要直條件宋是：冊對任符意給伸定的燈一致帆有界即正定帽實對鴨稱矩漸陣Q(綱t)，必偏定存拳唯一圈的實摧對稱慨矩陣P一致聯有界模、正餓定,并滿蹤蝶足李恭雅普手諾夫品方程厚。定理賠：設線轎性定凈時變胸系統計為(A毯(t組),熔B(渠t)挪)，則跨平衡作狀態(tài)*485.壺4李雅筋普洛刪夫方項法在雨線性睡系統灑中的沒應用三．報線性磁定常速離散途系統檔漸近江穩(wěn)定住判據定理激：設線筍性定迷常離席散時歡間系抄統的錄狀態(tài)汪方程譽為：則平衡狀態(tài)處漸近穩(wěn)定的充要條件是：對于任意給韻定的煎正定栽實對肉數矩語陣Q，必融存在控一個疑正定獄實對舞稱矩陣P，滿結足：系統園的李驅雅普梢諾夫掀函數氧為：北京時科技你大學采自動濫化學屑控制此科學愿與工化程系*495.扛4李雅莖普洛嘗夫方混法在丟線性獅系統紫中的疲應用例：設線園